Zadanie 8.2
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 8. Całka nieoznaczona
  3. Zadanie 8.2

 Polecenie

Oblicz podane całki nieoznaczone.

 Wskazówki

Twierdzenie (o liniowości całki nieoznaczonej)

Jeżeli funkcje \(f\) i \(g\) mają funkcje pierwotne, to
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle 1. \ \ \int \left ( f(x)+g(x) \right )\ dx=\int f(x)\ dx+ \int g(x)\ dx }\\
{\displaystyle 2. \ \ \int \left ( f(x)-g(x) \right )\ dx=\int f(x)\ dx- \int g(x)\ dx }\\
{\displaystyle 3. \ \ \int \left ( cf(x) \right )\ dx= c\int f(x)\ dx, c\in \mathbb{R}}
\end{array}\]
Uwaga
  • Pierwszy wzór jest prawdziwy dla dowolnej ilości składników.
  • Nie istnieją wzory opisujące całkę iloczynu i ilorazu. Na ogół całka iloczynu dwóch funkcji (ilorazu) nie jest równa iloczynowi (ilorazowi) całek tych funkcji.

 Całka 1

\({\displaystyle \int \frac{2+x^{2}}{1+x^{2}}\ dx}\)

 Rozwiązanie

Wystarczy zauważyć, że rozpisując wyrażenie w liczniku, otrzymamy sumę funkcji elementarnych. Wykorzystujemy liniowość całki nieoznaczonej oraz wzory \({\displaystyle \int x^{n}\ dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C}\) oraz \({\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^{2}}=\textrm{ arctg }x+C}.\)
\({\displaystyle \int \frac{2+x^{2}}{1+x^{2}}\ dx= \int \frac{1+x^{2}+1}{1+x^{2}}=\int \left (1+\frac{1}{1+x^{2}}  \right )\ dx =x+\textrm{arctg }x+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{2+x^{2}}{1+x^{2}}\ dx= x+\textrm{arctg }x+C}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int \frac{2^{x}+6^{x}}{3^{x}}\ dx}\)

 Rozwiązanie

Korzystamy z liniowości całki nieoznaczonej oraz ze wzoru \({\displaystyle \int a^{x}\ dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C, 0 \lt a\neq 1, x \in \mathbb{R}}.\)
\({\displaystyle \int \frac{2^{x}+6^{x}}{3^{x}}\ dx=\int \frac{2^{x}}{3^{x}}\ dx+\int \frac{6^{x}}{3^{x}}\ dx=\int \left (\frac{2}{3}  \right )^{x}\ dx+\int \left (\frac{6}{3}  \right )^{x}\ dx=\int \left (\frac{2}{3}  \right )^{x}\ dx+\int 2^{x}\ dx=\frac{\left (\frac{2}{3}  \right )^{x}}{\ln \frac{2}{3}}+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{2^{x}+6^{x}}{3^{x}}\ dx=\frac{\left (\frac{2}{3}  \right )^{x}}{\ln \frac{2}{3}}+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int \frac{x^{2}+6}{x}\ dx}\)

 Rozwiązanie

Korzystamy z liniowości całki nieoznaczonej oraz ze wzorów:
  • \({\displaystyle \int x^{n}\ dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C}\)
  • \({\displaystyle \int \frac{1}{x}\ dx=\ln\left | x \right | +C}.\)
\({\displaystyle \int \frac{x^{2}+6}{x}\ dx=\int \left (\frac{x^{2}}{x}+\frac{6}{x}  \right )\ dx=\int x \ dx+ 6\int \frac{1}{x}\ dx= \frac{x^{2}}{2}+6\ln\left | x \right |+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{x^{2}+6}{x}\ dx= \frac{x^{2}}{2}+6\ln\left | x \right |+C}\)

 Całka 4

\({\displaystyle \int \frac{\sin 2x}{\cos x}\ dx}\)

 Rozwiązanie

Do obliczenia tej całki korzystamy (oprócz liniowości całki nieoznaczonej) ze wzoru \( {\displaystyle \int \sin x\ dx=-\cos x+C}.\) Wcześniej rozpisujemy funkcję podcałkową, korzystając ze wzoru na  \(\sin 2x= 2 \sin x \cos x\) .
\({\displaystyle \int \frac{\sin 2x}{\cos x}\ dx=\int \frac{2\sin x \cos x}{\cos x}\ dx=\int 2\sin x\ dx=2\int \sin x\ dx= -2 \cos x+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{\sin 2x}{\cos x}\ dx= -2 \cos x+C}\)

 Całka 5

\({\displaystyle \int \left ( \textrm{ tg }^{2}x+1 \right )\ dx }\)

 Rozwiązanie

Korzystamy z liniowości całki nieoznaczonej, z  \(\sin^{2} x+\cos^{2} x=1\)  oraz ze wzoru \({\displaystyle \int \frac{dx}{\cos^{2}x}=\textrm{ tg }x +C}.\)
\({\displaystyle \int \left ( \textrm{ tg }^{2}x+1 \right )\ dx= \int \left ( \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}+1 \right )\ dx= \int \left ( \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}+ \frac{\cos^{2}x}{\cos^{2}x}\right )\ dx=  \int \frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cos^{2}x}\ dx= \int \frac{1}{\cos^{2}x}\ dx =\textrm{tg }x+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \left ( \textrm{ tg }^{2}x+1 \right )\ dx=\textrm{tg }x+C}\)

 Polecenie

Oblicz podane całki nieoznaczone.

 Całka 1

\({\displaystyle \int \frac{2x^{2}+3}{1+x^{2}}\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{2x^{2}+3}{1+x^{2}}\ dx= 2x+\textrm{ arctg }x+C}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int \frac{2x^{2}+3}{1+x^{2}}\ dx= \int \frac{2\left (x^{2}+1  \right )+1}{1+x^{2}}\ dx= \int \left (2+\frac{1}{1+x^{2}}  \right )\ dx=\int 2\ dx + \int \frac{1}{1+x^{2}}\ dx= 2x+\textrm{ arctg }x+C}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int \frac{3^{x}+4^{x}}{2^{x}}\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{3^{x}+4^{x}}{2^{x}}\ dx= \frac{\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}}{\ln \left ( \frac{3}{2} \right )}+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int \frac{3^{x}+4^{x}}{2^{x}}\ dx= \int \left (\frac{3^{x}}{2^{x}}+\frac{4^{x}}{2^{x}}  \right )\ dx= \int \left [\left (\frac{3}{2}  \right )^{x}+2^{x}  \right ]\ dx= \int \left (\frac{3}{2}  \right )^{x}\ dx +\int 2^{x}  \ dx= \frac{\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}}{\ln \left ( \frac{3}{2} \right )}+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int \frac{1-\sqrt[3]{x}}{x}\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{1-\sqrt[3]{x}}{x}\ dx= \ln \left | x \right |-3\sqrt[3]{x}+C}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int \frac{1-\sqrt[3]{x}}{x}\ dx=\int \frac{1}{x}\ dx -\int \frac{\sqrt[3]{x}}{x}\ dx=\int \frac{1}{x}\ dx -\int x^{-\frac{2}{3}}\ dx= \ln \left | x \right |-\frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1}+C= \ln \left | x \right |-\frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}+C= \ln \left | x \right |-3\sqrt[3]{x}+C}\)

 Polecenie

Dopasuj całkę nieoznaczoną z odpowiednią funkcją.
Uwaga
W zadaniach 1-5 prawidłowa jest dokładnie jedna odpowiedź. Po zaznaczeniu sprawdź czy Twoja odpowiedź jest poprawna, klikając przycisk "Sprawdź" lub na końcu - przycisk "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Obliczając całkę \({\displaystyle \int \frac{3+x^{2}}{x^{2}}\ dx}\) dostaniemy:

Zadanie 2

Licząc całkę \({\displaystyle \int \left ( 2+\sin x \right )\ dx}\) otrzymamy:

Zadanie 3

Licząc całkę \({\displaystyle \int \frac{\sqrt[3]{x}-x^{2}}{3x}\ dx}\) otrzymamy:

Zadanie 4

Wyznaczając całkę \({\displaystyle \int \textrm{ tg }^{2}x\ dx}\) dostaniemy:

Zadanie 5

Całka \({\displaystyle \int \frac{3^{x}-4^{x}}{12^{x}}\ dx}\) wynosi:

Podsumowanie