Zadanie 9.1

Zadanie 9.1
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Korzystając z definicji całki oznaczonej oblicz podaną całkę.

Wskazówki

Definicja całki oznaczonej

Jeżeli dla każdego Podziałem odcinka

$\left \langle a;b \right \rangle$ na

$n$ części (podprzedziałów), gdzie

$n\in \mathbb{N}$ , nazywamy każdy zbiór punktów

$P_{n} = \left \{ x_{0}, x_{1}, x_{2} , ..., x_{n} \right \}$ spełniających warunek

$a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < ... < x_{n} = b.$ Ciąg podziałów

$\left (P_{n} \right )$ nazywamy normalnym, jeżeli

${\displaystyle \lim_{n \to \infty} \delta _{n}=0}.$
Średnicą podziału

$P_{n}$ nazywamy liczbę

$\delta _{n}={\displaystyle \max_{1\leqslant k\leqslant n}\Delta x_{k}}$ tj. długość najdłuższego z podprzedziałów

$\left \langle x_{k-1}, x_{k} \right \rangle.$ przedziału

$\left \langle a;b \right \rangle$ i dowolnego wyboru argumentów

$\xi_{k}$ , ciąg sum częściowych Sumę

$S\left ( P_{n} \right )=\sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\Delta _{x_{k}}$ nazywamy sumą całkową funkcji f na przedziale

$\left \langle a;b \right \rangle$ . ma tę samą granicę skończoną, to granicę tę nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji

$f$ na przedziale

$\left \langle a;b \right \rangle$ i oznaczamy symbolem

${\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\ dx}.$
Zatem

${\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\ dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\Delta _{x_{k}}}.$

O funkcji

$f$ mówimy, że jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale

$\left \langle a;b \right \rangle$ (lub krócej całkowalna, gdy z kontekstu wynika o jaką całkę chodzi).

Liczbę

$a$ nazywamy dolną, natomiast

$b$ - górną granicą całkowania.

Interpretacja geometryczna sumy całkowej

Zgodnie z przytoczonym wzorem każdy składnik sumy całkowej możemy interpretować jako pole prostokąta o podstawie

$\Delta x_{k}$ i wysokości

$f(\xi _{k})$ , zaś suma całkowa jest sumą pól takich prostokątów.

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Niech

$y=f(x)$ będzie funkcją ciągłą, nieujemną na przedziale

$\left \langle a;b \right \rangle$ . Z interpretacji geometrycznej sum całkowych wynika, że całka oznaczona, jako granica ciągu tych sum, określa pole figury płaskiej w układzie prostokątnym kartezjańskim, ograniczonej wykresem funkcji

$f$ , osią

$Ox$ oraz prostymi

$x = a$ i

$x = b$ , nazywanej trapezem krzywoliniowym.
Zatem

${\displaystyle |P|=\int_{a}^{b}f(x)\ dx}.$

Gdy funkcja

$f$ jest niedodatnia na przedziale

$\left \langle a;b \right \rangle$ (jej wykres leży pod osią

$Ox$ ), wówczas całka oznaczona podaje pole trapezu krzywoliniowego ze znakiem minus

${\displaystyle |P|=-\int_{a}^{b}f(x)\ dx}.$

Uwaga 1

Dla funkcji

$f$ całkowalnej na

$\left \langle a;b \right \rangle$ oraz

$a\lt b$ zachodzi:

$\int_{a}^{b}f(x)\ dx=-\int_{b}^{a}f(x)\ dx.$

Uwaga 2

Dla funkcji całkowalnej

$f$

$\int_{a}^{a}f(x)\ dx=0.$

Twierdzenia

Twierdzenie (o całkowalności funkcji ciągłej)

Każda funkcja ciągła na

$\left \langle a;b \right \rangle$ jest całkowalna na tym przedziale w sensie Riemanna.

Fakt (obliczanie całek przy pomocy sumy całkowej podziału równomiernego

Jeżeli funkcja

$f$ jest całkowalna na przedziale

$\left \langle a;b \right \rangle,$ to

$\int_{a}^{b}f(x)\ dx=\lim_{n \to \infty}\left [ \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+k\frac{b-a}{n} \right ) \right ].$

Uwaga. Istnienie powyższej granicy nie zapewnia całkowalności funkcji, przykładem jest funkcja Dirichleta.

Własności całki oznaczonej

Własność 1

Dla każdej funkcji ciągłej

$f$ na odcinku

$\left \langle a;b \right \rangle$ i dowolnego

$c \in \left \langle a;b \right \rangle$ zachodzi:

$\int_{a}^{b}f(x)\ dx=\int_{a}^{c}f(x)\ dx+\int_{c}^{b}f(x)\ dx.$

Własność 2

Dla funkcji

$f$ ciągłej na odcinku

$\left \langle a;b \right \rangle$ takiej, że

$A\leqslant f(x)\leqslant B$ zachodzi:

$A(b-a)\leqslant \int_{a}^{b}f(x)\ dx\leqslant B(b-a).$

Własność 3

Niech funkcja

$f$ będzie całkowalna na odcinku

$\left \langle a;b \right \rangle,$ wówczas:

$\int_{a}^{b}\alpha f(x)\ dx=\alpha \int_{a}^{b}f(x)\ dx.$

Własność 4

Niech funkcje

$f$ i

$g$ będą całkowalne na odcinku

$\left \langle a;b \right \rangle,$ wówczas:

$\int_{a}^{b}\left [f(x)+g(x) \right ]\ dx= \int_{a}^{b}f(x)\ dx+\int_{a}^{b}g(x)\ dx.$

Własność 5

Niech funkcje

$f$ i

$g$ będą całkowalne na odcinku

$\left \langle a;b \right \rangle,$ wówczas iloczyn

$f(x)\cdot g(x)$ jest również funkcją całkowalną.

Uwaga !!!

Nie jest prawdziwy wzór:

${\displaystyle \int_{a}^{b}\left [f(x)\cdot g(x) \right ]\ dx= \int_{a}^{b}f(x)\ dx\cdot \int_{a}^{b}g(x)\ dx}.$

Własność 6

Niech funkcja

$f$ będzie całkowalna na odcinku

$\left \langle a;b \right \rangle,$ wówczas

$\left | f(x) \right |$ jest również całkowalna na

$\left \langle a;b \right \rangle$ oraz zachodzi wzór

$\left | \int_{a}^{b}f(x)\ dx \right |\leqslant \int_{a}^{b}\left |f(x) \right |\ dx.$

Własność 7

Niech funkcja

$f$ będzie całkowalna na odcinku

$\left \langle a;b \right \rangle$ oraz

$f(x)\geqslant 0,$ wówczas:

$\int_{a}^{b}f(x)\ dx\geqslant 0.$

Własność 8

Niech funkcje

$f$ i

$g$ będą całkowalne na odcinku

$\left \langle a;b \right \rangle$ oraz

$f(x)\leqslant g(x),$ wówczas:

$\int_{a}^{b}f(x)\ dx\leqslant \int_{a}^{b}g(x)\ dx.$

$\int_{1}^{5}x\ dx$

Rozwiązanie

Obliczmy całkę oznaczoną

$\int_{1}^{5}x\ dx$ , korzystając z jej definicji.

Funkcja podcałkowa

$f(x)=x$ jest ciągła, zatem na mocy twierdzenia o całkowalności funkcji ciągłej, całka ta istnieje. Przy dowolnym wyborze ciągu podziałów normalnych odcinka

$\left \langle 1;5 \right \rangle$ oraz układu punktów pośrednich ciąg

$n$ - tych sum całkowych Riemanna

$(Sn)_{n=1}^{\infty}$ jest zawsze zbieżny do tej samej granicy. Wybieramy jeden szczególny ciąg podziałów normalnych

$(\Delta_{n})_{n=1}^{\infty}$ odcinka

$\left \langle 1;5 \right \rangle$ oraz układy punktów pośrednich tak, by łatwo obliczyć granicę

${\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{n}}.$ Dla ustalonego

$n$ punktami podziału

$x_{k}=1+\frac{4}{n}k,\ \ (k=0,…,n)$ oraz punkty pośrednie

$\xi_{k}=x_{k},\ \ (k=1,…,n).$ Każdy z odcinków

$\left \langle x_{k-1};x_{k} \right \rangle$ ma tę samą długość

${\displaystyle \Delta_{x_{k}}=\frac{4}{n}}.$
Czyli

$\delta _{n}=\max \left \{ \Delta _{x_{k}}:k=1,2,\cdots,n \right \}=\frac{4}{n}$ oraz

$\lim_{n\to \infty}\delta _{n}=0.$
Możemy teraz obliczyć całkę, korzystając z

$\int_{a}^{b}f(x)\ dx=\lim_{n \to \infty}\left [ \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+k\frac{b-a}{n} \right ) \right ]$ .

$\begin{array}{l} {\displaystyle \int_{1}^{5}x\ dx=\lim_{n\to \infty}\left [\frac{4}{n}\sum_{k=1}^{n}\left ( 1+ k\frac{4}{n}\right ) \right ]= \lim_{n\to \infty}\left [\frac{4}{n}\sum_{k=1}^{n}1+ \frac{16}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n} k \right ]= \lim_{n\to \infty}\left [\frac{4}{n}\cdot n+ \frac{16}{n^{2}}(1+2+\cdot +n) \right ]= \lim_{n\to \infty}\left [\frac{4}{n}\cdot n+ \frac{16}{n^{2}}\frac{1+n}{2}\cdot n \right ]= \lim_{n\to \infty}\left [4+8\frac{1+n}{n}\right ]=4+8\lim_{n\to \infty}\frac{1+n}{n}= 4+8\lim_{n\to \infty}\frac{\cancelto{0}{\frac{1}{n}}+1}{1}=4+8=12.} \end{array}$

Odpowiedź

$\int_{1}^{5}x\ dx=12$

9. Całka oznaczona

Polecenie

Korzystając z definicji całki oznaczonej oblicz całkę

$\int_{0}^{1}e^{x}\ dx$ .

Odpowiedź

$\int_{0}^{1}e^{x}\ dx=e-1$

Rozwiązanie

Ponieważ funkcja

$f(x)=e^{x}$ jest całkowalna na przedziale

$\left \langle 0;1 \right \rangle,$ zatem możemy skorzystać ze

$\int_{a}^{b}f(x)\ dx=\lim_{n \to \infty}\left [ \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+k\frac{b-a}{n} \right ) \right ]$ .

$\begin{array}{l} {\displaystyle \int_{0}^{1}e^{x}\ dx=\lim_{n\to \infty}\left [ \frac{1-0}{n}\sum_{k=1}^{n}e^{0+k\frac{1-0}{n}} \right ]=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}e^{\frac{k}{n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\left (e^{\frac{1}{n}} +e^{\frac{2}{n}}+\cdot +e^{\frac{n}{n}} \right )=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\frac{e^{\frac{1}{n}}\cdot \left ((e^{\frac{1}{n}})^{n}-1 \right )}{e^{\frac{1}{n}}-1}=\lim_{n\to \infty} \frac{e^{\frac{1}{n}}\cdot \left (e-1 \right )}{\frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}}=\lim_{n\to \infty} \frac{e^{\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}\cdot \left (e-1 \right )}{\cancelto{1}{\frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}}}=1(e-1)=e-1.} \end{array}$
W obliczeniach stosujemy wzór na sumę

$n$ - wyrazów ciągu geometrycznego oraz na granicę

${\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1}.$

Dynamiczna karta pracy

1. Logika

2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

3. Funkcje

4. Ciągi

5. Granice. Ciągłość funkcji

6. Pochodne

7. Badanie przebiegu zmienności funkcji

8. Całka nieoznaczona

9. Całka oznaczona

10. Zastosowanie całek

Ankieta

Polecenie

Wskazówki

Definicja całki oznaczonej

Twierdzenia

Własności całki oznaczonej

Uwaga !!!

Rozwiązanie

Odpowiedź

Polecenie

Odpowiedź

Rozwiązanie