Zadanie 10.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 10. Zastosowanie całek
  3. Zadanie 10.3

 Polecenie

Oblicz długość krzywych.

 Wskazówki

Długość łuku krzywej

Jeżeli funkcja \(f\) ma ciągłą pochodną na przedziale \(\left \langle a;b \right \rangle,\) to długość łuku krzywej \(L\) o równaniu \(y=f(x),\) gdzie \(x\in  \left \langle a;b \right \rangle\) wynosi
\[{\displaystyle |L|=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left [ f'(x) \right ]^{2}}\ dx }.\]
_rysunek_10.3.1

Długość łuku krzywej w układzie współrzędnych biegunowych

Niech funkcja \(r(\varphi)\) posiada ciągłą pochodną na odcinku \(\left \langle \alpha ;\beta  \right \rangle.\) Wówczas długość łuku krzywej \(r\) na przedziale \(\left \langle \alpha ;\beta  \right \rangle\) wynosi:
\[{\displaystyle |L|=\int_{\alpha }^{\beta } \sqrt{r^{2}(\varphi )+\left [ r'(\varphi ) \right ]^{2}}\ d \varphi  .}\]

Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie

Jeśli funkcje \(x(t)\) oraz \( y(t)\) mają ciągłe pochodne na przedziale \( \left \langle t_{1};t_{2} \right \rangle,\) wówczas długość łuku krzywej zadanej parametrycznie \(\begin{cases}
x=x(t)\\
y=y(t)
\end{cases}, \ \ t\in \left \langle t_{1}; t_{2}\right \rangle\) wynosi:
\[{\displaystyle |L|=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{\left [ x'(t) \right ]^{2}+\left [ y'(t) \right ]^{2}}\ dt .}\]

 Łuk 1

Półokrąg leżący w dwóch pierwszych ćwiartkach jako fragment okręgu o równaniu \(x^{2}+y^{2}=r^{2}.\)

 Rozwiązanie

Szkicujemy półokrąg w układzie współrzędnych.
_rysunek_10.3.2
Jak widać półokrąg można podzielić na dwie krzywe równej długości. Zatem obliczymy całkę od \(0\) do \(r\) aby uzyskać ćwiartkę okręgu i pomnożymy przez \(2.\)
Zatem długość półokręgu wynosi
\({\displaystyle |L|=2\int_{0}^{r}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}\ dx= 2\int_{0}^{r}\sqrt{\frac{r^{2}-x^{2}+x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}\ dx=2 \int_{0}^{r}\sqrt{\frac{r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}\ dx= 2r \int_{0}^{r}\frac{1}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\ dx= 2\cancel{r} \int_{0}^{r}\frac{1}{\cancel{r}\sqrt{1-\left (\frac{x}{r}  \right )^{2}}}\ dx= 2\int_{0}^{r}\frac{1}{\sqrt{1-\left (\frac{x}{r}  \right )^{2}}}\ dx= \begin{vmatrix}
\frac{x}{r}=t\\
dx=r\ dt
\end{vmatrix}= 2\int_{0}^{1}\frac{r\ dt}{\sqrt{1-t^{2}}}= 2r \Big [ \textrm{arctg }t \Big ]_{0}^{1}=2r(\frac{\pi}{2}-0)=\pi r.} \)
Oczywiście nie chodziło nam o wyprowadzenie wzoru, bo łatwiej obliczyć tę długość łuku stosując znany wzór na długość okręgu (obwód koła). W tym przykładzie pokazujemy jedno z zastosowań całek oznaczonych.

 Odpowiedź

\({\displaystyle |L|=\pi r}\)

 Łuk 2

Pierwszy zwój spirali Archimedesa \(r(\varphi)=a \varphi,\) dla \(\varphi \in \left \langle 0;2\pi \right \rangle.\)

 Rozwiązanie

Pierwszy zwój spirali Archimedesa opisany jest w układzie współrzędnych biegunowych, czyli jako funkcja \(r\) zmiennej \(\varphi.\) Nas interesuje pierwszy zwój, zatem kąt \(\varphi\) należy do przedziału \(\left \langle 0;2\pi \right \rangle.\)
_rysunek_10.3.3
Korzystamy ze wzoru na długość łuku w układzie współrzędnych biegunowych.
Musimy wyznaczyć pochodną funkcji \(r\) i podstawić do  \({\displaystyle |L|=\int_{\alpha }^{\beta } \sqrt{r^{2}(\varphi )+\left [ r'(\varphi ) \right ]^{2}}\ d \varphi}\) .
\(r(\varphi)=a\varphi\\
{\displaystyle r'(\varphi)=\frac{a\varphi^{2}}{2}}\\
{\displaystyle |L|=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{a^{2}\varphi ^{2}+\left (\frac{a\varphi ^{2}}{2}  \right )^{2}} \ d\varphi = \cdots}\)
Wyznaczamy powyższą całkę przez podstawienie. Można dla ułatwienia wyłączyć przed całkę stałą \(a\) oraz przed znak pierwiastka \(\varphi.\) Możemy, bo wiemy do jakiego przedziału należy zmienna \(\varphi\) i, że przyjmuje wartości nieujemne.
\({\displaystyle \cdots =a\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\varphi ^{2}\left (1+\frac{\varphi ^{2}}{4}  \right )} \ d\varphi =a\int_{0}^{2\pi}\varphi\sqrt{1+\frac{\varphi ^{2}}{4}} \ d\varphi= \begin{vmatrix}
1+\frac{\varphi ^{2}}{4}=t\\
\frac{1}{2}\varphi\ d \varphi=dt\\
\varphi\ d \varphi=2dt
\end{vmatrix} =2a\int_{1}^{1+\pi^{2}}\sqrt{t}\ dt=2a \Big [ \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \Big ]_{1}^{1+\pi^{2}}=\frac{4a}{3}\Big [t^{\frac{3}{2}}\Big ]_{1}^{1+\pi^{2}}=\frac{4a}{3}\left ( \sqrt{\left ( 1+\pi^{2} \right )^{3}}-1 \right )}
\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle |L|=\frac{4a}{3}\left ( \sqrt{\left ( 1+\pi^{2} \right )^{3}}-1 \right )}\)

 Łuk 3

Asteroida określona parametrycznie \(\left\{\begin{matrix}
x(t)=a\cos^{3}t\\
y(t)=a\sin^{3}t
\end{matrix}\right., t \in \left \langle 0;2\pi \right \rangle.\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Asteroida, to krzywa jaką zakreśla ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po wnętrzu okręgu o większym promieniu (w stosunku 1:4).
Aby wyznaczyć długość łuku tej krzywej korzystamy ze wzoru \({\displaystyle \color{#F57C00}{ |L|=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{\left [ x'(t) \right ]^{2}+\left [ y'(t) \right ]^{2}}\ dt }},\) gdyż krzywa opisana jest parametrycznie. Licząc pochodne funkcji \(x\) i \(y\) otrzymamy:

\(\left\{\begin{matrix}
x'(t)=3a\sin t\cos^{2}t\\
y'(t)=-3a\sin^{2}t\cos t
\end{matrix}\right., t\in \left \langle 0;2\pi \right \rangle\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(\left\{\begin{matrix}
x'(t)=-3a\sin t\cos^{2}t\\
y'(t)=3a\sin^{2}t\cos t
\end{matrix}\right., t\in \left \langle 0;2\pi \right \rangle\)

Odpowiedź prawidłowa

\(\left\{\begin{matrix}
x'(t)=3a\sin t\cos^{2}t\\
y'(t)=3a\sin^{2}t\cos t
\end{matrix}\right., t\in \left \langle 0;2\pi \right \rangle\)

Odpowiedź nieprawidłowa
Korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:
\(\begin{cases}
x'(t)=a\cdot 3\cos^{2}t\cdot (-\sin t)=-3a\sin t\cos^{2}t\\
y'(t)=a\cdot 3\sin^{2}t\cdot \cos t=3a\sin^{2}t\cos t
\end{cases}.\)

 Krok 2

Korzystamy z wyżej podanego wzoru, ustalając wcześniej, że długość całej asteroidy to suma czterech takich samych długości łuku z jednej ćwiartki. Zatem długość całej krzywej opisuje całka:

\({\displaystyle |L|=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9a^{2}\sin^{2}t\cos^{4}t+9a^{2}\sin^{4}t\cos^{2}t}\ dt }\)

Odpowiedź prawidłowa

\({\displaystyle |L|=4\int_{0}^{\pi}\sqrt{9a^{2}\sin^{2}t\cos^{4}t+9a^{2}\sin^{4}t\cos^{2}t}\ dt }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle |L|=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9a^{2}\sin^{2}t\cos^{4}t+9a^{2}\sin^{4}t\cos^{2}t}\ dt }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 3

Które podstawienie do wzoru i wyłączenie wspólnego czynnika przed znak pierwiastka a stałej przed całkę jest poprawne?

\({\displaystyle 4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sqrt{ \sin^{2}t+ \cos^{2}t}\ dt }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle 12a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos t \sqrt{ \sin^{2}t+ \cos^{2}t}\ dt }\)

Odpowiedź prawidłowa

\({\displaystyle 3a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos t \sqrt{ \sin^{2}t+ \cos^{2}t}\ dt }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 4

Upraszczając wyrażenie podcałkowe i wyznaczając całkę korzystamy ze wzorów:

\(\cos 2t=\cos^{2}t-\sin^{2}t\\
{\displaystyle \textrm{ tg }t = \frac{\sin t}{\cos t}}\)

Odpowiedź nideprawidłowa

\(\sin^{2}t+\cos^{2}t=1\\
\cos 2t=\cos^{2}t-\sin^{2}t\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(\sin 2t =2\sin t\cos t\\
\sin^{2}t+\cos^{2}t=1\)

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 5

Po wyznaczeniu całki oznaczonej otrzymamy długość łuku równy:

\[6a\]

Odpowiedź prawidłowa

\[3\pi a\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[6\pi\]

Odpowiedź nieprawidłowa
\({\displaystyle |L|=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9a^{2}\sin^{2}t\cos^{4}t+9a^{2}\sin^{4}t\cos^{2}t}\ dt =
 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9a^{2}\sin^{2}t\cos^{2}t\left ( \sin^{2}t+ \cos^{2}t  \right )}\ dt=
4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3a\sin t\cos t \sqrt{ \sin^{2}t+ \cos^{2}t}\ dt =
4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3a\sin t\cos t \sqrt{1}\ dt = 
4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3a\sin t\cos t\ dt = 
\frac{4\cdot 3}{2}a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\sin t\cos t\ dt= 6a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin 2t\ dt=
6a\cdot \frac{1}{2}\Big [ -\cos 2t \Big ]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=
3a\left ( -\cos 2\cdot \frac{\pi}{2}+\cos 0 \right )=3a\cdot (-(-1)+1)=6a}\)

 Odpowiedź

Długość łuku asteroidy danej parametrycznie \(\) wynosi \(|L|=6a.\)

 Polecenie

Oblicz długość krzywych.

 Łuk 1

Fragment cykloidy \( \begin{cases}
x(t)=3(t-\sin t)\\
y(t)=3(1-\cos t)
\end{cases}, t\in \left \langle 0;\pi \right \rangle.\)

 Odpowiedź

Długość łuku fragmentu cykloidy \(\begin{cases}
x(t)=3(t-\sin t)\\
y(t)=3(1-\cos t)
\end{cases}\) dla \( t\in \left \langle 0;\pi \right \rangle\) wynosi \(12.\)

 Rozwiązanie

\(\begin{cases}
x(t)=3(t-\sin t)\\
y(t)=3(1-\cos t)
\end{cases}, t\in \left \langle 0;\pi \right \rangle
\\
\begin{cases}
x'(t)=3(1-\cos t)\\
y'(t)=3\sin t
\end{cases}, t\in \left \langle 0;\pi \right \rangle
\\
{\displaystyle |L|=\int_{0}^{\pi}\sqrt{9(1-\cos t)^{2}+9\sin^{2}t}\ dt=
3\int_{0}^{\pi}\sqrt{1-2\cos t+\cos^{2}t+\sin^{2}t}\ dt=
3\int_{0}^{\pi}\sqrt{1-2\cos t+\underbrace{\cos^{2}t+\sin^{2}t}_{=1}}\ dt=
3\int_{0}^{\pi}\sqrt{1-2\cos t+1}\ dt=3\int_{0}^{\pi}\sqrt{2-2\cos t}\ dt=3\int_{0}^{\pi}\sqrt{2(1-\cos t)}\ dt=3\int_{0}^{\pi}\sqrt{2\cdot 2\sin^{2} \frac{t}{2}}\ dt=3\cdot 2\int_{0}^{\pi} \left | \sin \frac{t}{2} \right |\ dt= 6\int_{0}^{\pi}\sin \frac{t}{2} \ dt= 6\Big[ -2 \cos \frac{t}{2} \Big ]_{0}^{\pi}=6[-2\cos \frac{\pi}{2}-(-2\cos 0)]=6\cdot 2=12}\)

 Łuk 2

Fragment prostej \(f(x)=x,\) dla \(x\in \left \langle 4;6 \right \rangle.\)

 Odpowiedź

Długość odcinka jako fragmentu prostej \(f(x)=x,\) dla  \(x\in \left \langle 4;6 \right \rangle\) wynosi \(2\sqrt{2}.\)

 Rozwiązanie

\(f(x)=x, x\in \left \langle 4;6 \right \rangle
\\
f'(x)=1
\\
{\displaystyle |L|=\int_{4}^{6}\sqrt{1+1^{2}}\ dx=\int_{4}^{6}\sqrt{2}\ dx= \sqrt{2}\int_{4}^{6}dx=\sqrt{2} \Big [ x \Big ]_{4}^{6}= \sqrt{2} \Big [ 6-4 \Big ]= 2\sqrt{2}}\)

 Łuk 3

Długość pętli \(\begin{cases}
x(t)=3t^{2}\\
y(t)=3t-t^{3}
\end{cases},\) dla \(t\in \left \langle 0; 2\pi \right \rangle.\)

 Odpowiedź

Długość pętli \(\begin{cases}
x(t)=3t^{2}\\
y(t)=3t-t^{3}
\end{cases},\) dla \( t\in \left \langle 0; 2\pi \right \rangle\) wynosi \(14\pi.\)

 Rozwiązanie

\(\begin{cases}
x(t)=3t^{2}\\
y(t)=3t-t^{3}
\end{cases}, \ \ t\in \left \langle 0; 2\pi \right \rangle
\\
\begin{cases}
x'(t)=6t\\
y(t)=3-3t^{2}
\end{cases}
\\
{\displaystyle |L|=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(6t)^{2}+(3-3t)^{2}}\ dt= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{36t^{2}+9-6t^{2}+9t^{4}}\ dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{9t^{4}+18t^{2}+9}\ dt= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left (3t^{2}+3  \right )^{2}}\ dt= \int_{0}^{2\pi}\left | 3t^{2}+3 \right |\ dt= \int_{0}^{2\pi} \left (3t^{2}+3  \right )\ dt= \Big [ \frac{3t^{3}}{3}+3t\Big ]_{0}^{2\pi}=(2\pi)^{3}+3\cdot 2\pi-(0+0)=14\pi}\)

 Polecenie

Poniżej znajduje się 6 zadań, w których dokładnie jedna odpowiedź jest prawidłowa. Wybierz właściwą odpowiedź i sprawdź jej poprawność przyciskiem "Sprawdź" lub na końcu "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Długość łuku paraboli \({\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}},\) dla \(x \in \left \langle 0;4 \right \rangle\) można opisać całką:

Zadanie 2

Długość pierwszego zwoju spirali Archimedesa \(r(\varphi )=3\varphi,\) dla \(x \in \left \langle 0;2\pi \right \rangle\) jest równa

Zadanie 3

Długość łuku stanowiącego część wykresu funkcji \(y=\ln x,\) dla \(x \in \left \langle \sqrt{3};\sqrt{15} \right \rangle\) można opisać całką:

Zadanie 4

Długość łuku stanowiącego część wykresu funkcji \(y=\ln x,\) dla \(x \in \left \langle \sqrt{3};\sqrt{15} \right \rangle\) wynosi:

Zadanie 5

Długość łuku fragmentu wykresu funkcji \(f(x)=\sqrt{1-x^{2}},\) dla \(x \in \left \langle -1;1 \pi \right \rangle\) wynosi:

Zadanie 6

Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie \(\begin{cases}
x(t)=\sin^{2}t\\
y(t)=2\cos^{2}t-1
\end{cases},\) dla \({\displaystyle  t\in \left \langle 0; \frac{\pi}{2} \right \rangle}\) wynosi:

Podsumowanie