Processing math: 100%
Zadanie 10.6

 Polecenie

Przez 15 sekund od startu pojazd poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a=2ms2. Później przez 50 sekund jechał ze stałą prędkością. Po tym czasie rozpoczął hamowanie z opóźnieniem a=1ms2. Oblicz drogę jaką przebył samochód od startu do chwili zatrzymania.

 Wskazówka

Droga w ruchu zmiennym

Niech punkt materialny porusza się ruchem prostoliniowym ze zmienną w czasie prędkością V. Droga przebyta przez ten punkt w przedziale czasu t1;t2 jest dana wzorem
L=t2t1V(t)dt,
gdzie V(t) jest prędkością chwilową.

 Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór na prędkość chwilową w ruchu jednostajnie przyspieszonym V(t)=V0+a(tt0), gdzie V0 oznacza prędkość początkową chwili t0, wyznaczamy prędkość chwilową z jaką poruszał się pojazd.
Ponieważ
V(t1)=0+2(t0)=2tV(t2)=215=30V(t1)=301(t65)=95t,
zatem
V(t)={2t,0t1530,15<t6595t,65<t95.

Korzystając z wzoru L=t2t1V(t)dt liczymy drogę, jaką pokonał pojazd.
Korzystamy również z własności całek oznaczonych.
L=950V(t)dt=1502tdt+651530dt+9565(t+95)dt=[t2]150+30[t]6515+[t22+95t]9565=2250+30(6515)+[9522+952(6522+9565)]=225+150090252+9025+422526175=2175m.

 Odpowiedź

Samochód od startu do chwili zatrzymania przebył drogę 2 kilometry i 175 metrów.

 Polecenie

Przez 10 sekund od startu pojazd poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a=3ms2. Przez następną minutę jechał ze stałą prędkością. Po tym czasie rozpoczął hamowanie z opóźnieniem a=1ms2. Oblicz drogę jaką przebył samochód od startu do chwili zatrzymania.

 Odpowiedź

Samochód od startu do chwili zatrzymania przebył drogę 2 kilometry i 400 metrów.

 Rozwiązanie

V(t1)=0+3(t0)=3tV(t2)=310=30V(t1)=301(t70)=t+100
Zatem
V(t)={3t,0t1030,10<t70100t,70<t100
Liczymy więc drogę
L=1000V(t)dt=1003tdt+701030dt+10070(t+100)dt=3[t22]100+30[t]7010+[t22+100t]10070=150+30(7010)+[10022+1002(7022+10070)]=150+18005000+10000+24507000=1950+450=2400m.