Polecenie
Przez 15 sekund od startu pojazd poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a=2ms2. Później przez 50 sekund jechał ze stałą prędkością. Po tym czasie rozpoczął hamowanie z opóźnieniem a=−1ms2. Oblicz drogę jaką przebył samochód od startu do chwili zatrzymania.
Wskazówka
Droga w ruchu zmiennym
Niech punkt materialny porusza się ruchem prostoliniowym ze zmienną w czasie prędkością V. Droga przebyta przez ten punkt w przedziale czasu ⟨t1;t2⟩ jest dana wzorem
L=∫t2t1V(t)dt,
gdzie V(t) jest prędkością chwilową.
L=∫t2t1V(t)dt,
gdzie V(t) jest prędkością chwilową.
Rozwiązanie
Wykorzystujemy wzór na prędkość chwilową w ruchu jednostajnie przyspieszonym V(t)=V0+a(t−t0), gdzie V0 oznacza prędkość początkową chwili t0, wyznaczamy prędkość chwilową z jaką poruszał się pojazd.
Ponieważ
V(t1)=0+2(t−0)=2tV(t2)=2⋅15=30V(t1)=30−1(t−65)=95−t,
zatem
V(t)={2t,0⩽t⩽1530,15<t⩽6595−t,65<t⩽95.
Korzystając z wzoru L=∫t2t1V(t)dt liczymy drogę, jaką pokonał pojazd.
Korzystamy również z własności całek oznaczonych.
L=∫950V(t)dt=∫1502tdt+∫651530dt+∫9565(−t+95)dt=[t2]150+30[t]6515+[−t22+95t]9565=225−0+30(65−15)+[−9522+952−(−6522+95⋅65)]=225+1500−90252+9025+42252−6175=2175m.
Ponieważ
V(t1)=0+2(t−0)=2tV(t2)=2⋅15=30V(t1)=30−1(t−65)=95−t,
zatem
V(t)={2t,0⩽t⩽1530,15<t⩽6595−t,65<t⩽95.
Korzystając z wzoru L=∫t2t1V(t)dt liczymy drogę, jaką pokonał pojazd.
Korzystamy również z własności całek oznaczonych.
L=∫950V(t)dt=∫1502tdt+∫651530dt+∫9565(−t+95)dt=[t2]150+30[t]6515+[−t22+95t]9565=225−0+30(65−15)+[−9522+952−(−6522+95⋅65)]=225+1500−90252+9025+42252−6175=2175m.
Odpowiedź
Samochód od startu do chwili zatrzymania przebył drogę 2 kilometry i 175 metrów.
Polecenie
Przez 10 sekund od startu pojazd poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a=3ms2. Przez następną minutę jechał ze stałą prędkością. Po tym czasie rozpoczął hamowanie z opóźnieniem a=−1ms2. Oblicz drogę jaką przebył samochód od startu do chwili zatrzymania.
Odpowiedź
Samochód od startu do chwili zatrzymania przebył drogę 2 kilometry i 400 metrów.
Rozwiązanie
V(t1)=0+3(t−0)=3tV(t2)=3⋅10=30V(t1)=30−1(t−70)=−t+100
Zatem
V(t)={3t,0⩽t⩽1030,10<t⩽70100−t,70<t⩽100
Liczymy więc drogę
L=∫1000V(t)dt=∫1003tdt+∫701030dt+∫10070(−t+100)dt=3[t22]100+30[t]7010+[−t22+100t]10070=150+30(70−10)+[−10022+1002−(−7022+100⋅70)]=150+1800−5000+10000+2450−7000=1950+450=2400m.
Zatem
V(t)={3t,0⩽t⩽1030,10<t⩽70100−t,70<t⩽100
Liczymy więc drogę
L=∫1000V(t)dt=∫1003tdt+∫701030dt+∫10070(−t+100)dt=3[t22]100+30[t]7010+[−t22+100t]10070=150+30(70−10)+[−10022+1002−(−7022+100⋅70)]=150+1800−5000+10000+2450−7000=1950+450=2400m.