Zadanie 10.6
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 10. Zastosowanie całek
  3. Zadanie 10.6

 Polecenie

Przez 15 sekund od startu pojazd poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem \({\displaystyle a=2 \frac{m}{s^{2}}}.\) Później przez 50 sekund jechał ze stałą prędkością. Po tym czasie rozpoczął hamowanie z opóźnieniem \({\displaystyle a=-1 \frac{m}{s^{2}}}.\) Oblicz drogę jaką przebył samochód od startu do chwili zatrzymania.

 Wskazówka

Droga w ruchu zmiennym

Niech punkt materialny porusza się ruchem prostoliniowym ze zmienną w czasie prędkością \(V.\) Droga przebyta przez ten punkt w przedziale czasu \(\left \langle t_{1};t_{2} \right \rangle\) jest dana wzorem
\[{\displaystyle L=\int_{t_{1}}^{t_{2}}V(t)dt},\]
gdzie \(V(t)\) jest prędkością chwilową.

 Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór na prędkość chwilową w ruchu jednostajnie przyspieszonym \(V(t)=V_{0}+a(t-t_{0}),\) gdzie \(V_{0}\) oznacza prędkość początkową chwili \(t_{0},\) wyznaczamy prędkość chwilową z jaką poruszał się pojazd.
Ponieważ
\(V(t_{1})=0+2(t-0)=2t\\
V(t_{2})=2\cdot 15=30\\
V(t_{1})=30-1(t-65)=95-t,\)
zatem
\[V(t)=\left\{\begin{matrix}
2t, & 0 \leqslant t\leqslant 15\\
30, & 15 <t\leqslant 65 \\
95-t, & 65 <t\leqslant 95
\end{matrix}\right..\]

Korzystając z wzoru \({\displaystyle L=\int_{t_{1}}^{t_{2}}V(t)dt}\) liczymy drogę, jaką pokonał pojazd.
Korzystamy również z własności całek oznaczonych.
\({\displaystyle L=\int_{0}^{95}V(t)dt= \int_{0}^{15}2t dt +\int_{15}^{65}30dt +\int_{65}^{95}(-t+95)dt =\Big [ t^{2} \Big ]_{0}^{15} +30 \Big [ t \Big ]_{15}^{65}+\Big [ -\frac{t^{2}}{2}+95t \Big ]_{65}^{95}=225-0+30(65-15)+\left [ -\frac{95^{2}}{2}+95^{2}-\left ( -\frac{65^{2}}{2}+95\cdot 65 \right ) \right ]=225+1500-\frac{9025}{2}+9025+\frac{4225}{2}-6175=2175 \textrm{m}.}\)

 Odpowiedź

Samochód od startu do chwili zatrzymania przebył drogę 2 kilometry i 175 metrów.

 Polecenie

Przez 10 sekund od startu pojazd poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem \({\displaystyle a=3 \frac{m}{s^{2}}}.\) Przez następną minutę jechał ze stałą prędkością. Po tym czasie rozpoczął hamowanie z opóźnieniem \({\displaystyle a=-1 \frac{m}{s^{2}}}.\) Oblicz drogę jaką przebył samochód od startu do chwili zatrzymania.

 Odpowiedź

Samochód od startu do chwili zatrzymania przebył drogę 2 kilometry i 400 metrów.

 Rozwiązanie

\(V(t_{1})=0+3(t-0)=3t\\
V(t_{2})=3\cdot 10=30\\
V(t_{1})=30-1(t-70)=-t+100\)
Zatem
\(V(t)=\left\{\begin{matrix}
3t, & 0 \leqslant t\leqslant 10\\
30, & 10 <t\leqslant 70 \\
100-t, & 70 <t\leqslant 100
\end{matrix}\right.\)
Liczymy więc drogę
\({\displaystyle L=\int_{0}^{100}V(t)dt= \int_{0}^{10}3t dt +\int_{10}^{70}30dt +\int_{70}^{100}(-t+100)dt =3\Big [ \frac{t^{2}}{2} \Big ]_{0}^{10} +30 \Big [ t \Big ]_{10}^{70}+\Big [ -\frac{t^{2}}{2}+100t \Big ]_{70}^{100}=150+30(70-10)+\left [ -\frac{100^{2}}{2}+100^{2}-\left ( -\frac{70^{2}}{2}+100\cdot 70 \right ) \right ]=150+1800-5000+10000+2450-7000= 1950+450=2400\textrm{m}.}\)