Zadanie 8.4

Zadanie 8.4
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Korzystając ze wzorów rekurencyjnych dla całek oblicz podane całki.

Wskazówki

Wzory rekurencyjne dla całek

Fakt (wzory rekurencyjne dla całek $\int \sin^{n}x\ dx}, {\displaystyle \int \cos^{n}x\ dx$ )

${\displaystyle 1. \ \ \int \sin^{n}x\ dx=-\frac{1}{n}\cos x \sin^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\ dx}, \ \ n\geqslant 2. \\ {\displaystyle 2. \ \ \int \cos^{n}x\ dx=\frac{1}{n}\sin x \cos^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x\ dx}, \ \ n\geqslant 2.$

Fakt (wzór rekurencyjny dla całek $\int \frac{dx}{\left ( 1+x^{2} \right )^{n}}$ )

${\displaystyle \int \frac{dx}{\left ( 1+x^{2} \right )^{n}}=\frac{x}{2(n-1)(1+x^{2})^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)}\int \frac{dx}{\left ( 1+x^{2} \right )^{n-1}}},$ gdzie

$n\geqslant 2.$

Całka 1

$\int \sin^{3}x\ dx$

Rozwiązanie

Korzystamy dwukrotnie ze wzoru

${\displaystyle \color{#388E3C}{\int \sin^{n}x\ dx=-\frac{1}{n}\cos x \sin^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\ dx}},$ dla

$n=3$ oraz dla

$n=2.$

$\int \sin^{3}x\ dx=-\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x+\frac{2}{3}\int \sin^{2}x\ dx=-\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x+\frac{2}{3}\left [-\frac{1}{2}\cos x\sin x+\frac{1}{2}\int \sin x\ dx \right ]=-\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x-\frac{1}{3}\cos x\sin x+\frac{1}{3}\int \sin x\ dx= -\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x-\frac{1}{3}\cos x\sin x-\frac{1}{3}\cos x=-\frac{1}{3}\cos x\left (\sin^{2}x+\sin x+1 \right )+C$

Odpowiedź

$\int \sin^{3}x\ dx=-\frac{1}{3}\cos x\left (\sin^{2}x+\sin x+1 \right )+C$

Całka 2

$\int \cos^{2}x\ dx$

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

${\displaystyle \color{#388E3C}{\int \cos^{n}x\ dx=\frac{1}{n}\sin x \cos^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x\ dx}},$ dla

$n=2.$

$\int \cos^{2}x\ dx=\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{1}{2}\int \cos^{0}x\ dx=\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{1}{2}\int 1\ dx=\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{1}{2}x+C$

Odpowiedź

$\int \cos^{2}x\ dx=\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{1}{2}x+C$

Całka 3

$\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{5}}$

Rozwiązanie

Krok 1

Z którego wzoru należy skorzystać przy rozwiązywaniu całki

$\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{5}}$ ?

${\displaystyle \int \sin^{n}x\ dx=-\frac{1}{n}\cos x \sin^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\ dx}, \ \ n\geqslant 2$

Odpowiedź nieprawidłowa

${\displaystyle \int \cos^{n}x\ dx=\frac{1}{n}\sin x \cos^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x\ dx}, \ \ n\geqslant 2$

Odpowiedź nieprawidłowa

${\displaystyle \int \frac{dx}{\left ( 1+x^{2} \right )^{n}}=\frac{x}{2(n-1)(1+x^{2})^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)}\int \frac{dx}{\left ( 1+x^{2} \right )^{n-1}}}, \ \ n\geqslant 2$

Odpowiedź prawidłowa

Krok 2

Stosując wybrany wyżej wzór dla

$n=5$ otrzymamy

${\displaystyle \int \frac{dx}{(1+x^{2})^{5}}=\frac{x}{2(5-1)(1+x^{2})^{5-1}}+\frac{2\cdot 5-3}{2(5-1)}\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{5-1}}=}\\ {\displaystyle =\frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7}{8}\color{#F57C00}{\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{4}}}}= \cdots$
Dla oznaczonej całki musimy ponownie zastosować powyższy wzór, tym razem dla

$n=4.$

Krok 3

$\cdots = \frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7}{8}\color{#F57C00}{\left [ \frac{x}{2\cdot 3(1+x^{2})^{3}}+\frac{5}{6}\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{3}} \right ]}=}\\ {\displaystyle \frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7x}{48(1+x^{2})^{3}}+\frac{35}{48}\color{#388E3C}{\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{3}}}=$
Jak widać, znów musimy zastosować dany wzór, tym razem dla

$n=3.$

Krok 4

$\cdots = \frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7x}{48(1+x^{2})^{3}}+\frac{35}{48}\color{#388E3C}{\left [ \frac{x}{2\cdot 2(1+x^{2})^{2}}+\frac{3}{4}\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{2}} \right ]}=}\\ {\displaystyle = \frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7x}{48(1+x^{2})^{3}}+\frac{35x}{192(1+x^{2})^{2}}+\frac{35}{64}\color{#F57C00}{\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{2}}}=\cdots$
I kolejny raz stosujemy wzór dla

$n=2.$

Krok 5

$\cdots = \frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7x}{48(1+x^{2})^{3}}+\frac{35x}{192(1+x^{2})^{2}}+\frac{35}{64}\color{#F57C00}{\left [ \frac{x}{2\cdot 1(1+x^{2})}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^{2}} \right ]}=\cdots$
Wystarczy obliczyć całkę

${\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^{2}}},$ korzystając ze

$\int \frac{dx}{1+x^{2}}=\textrm{ arctg }x+C,\ \ x \in\mathbb{R}$ , podanego w zadaniu 8.1 w całkach nieoznaczonych ważniejszych funkcji elementarnych.

$\cdots = \frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7x}{48(1+x^{2})^{3}}+\frac{35x}{192(1+x^{2})^{2}}+\frac{35x}{128(1+x^{2})}+\frac{35}{128}\textrm{ arctg }x +C$

Odpowiedź

$\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{5}}=\frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7x}{48(1+x^{2})^{3}}+\frac{35x}{192(1+x^{2})^{2}}+\frac{35x}{128(1+x^{2})}+\frac{35}{128}\textrm{ arctg }x +C$

Zadanie 8.3

Polecenie

Korzystając ze wzorów rekurencyjnych dla całek oblicz podane całki.

Całka 1

$\int \frac{2dx}{(1+x^{2})^{3}}$

Odpowiedź

$\int \frac{2dx}{(1+x^{2})^{3}}=\frac{x}{2(1+x^{2})^{2}}+\frac{3x}{4(1+x^{2})}+\frac{3}{4}\textrm{ arctg }x+C$

Rozwiązanie

$\int \frac{2dx}{(1+x^{2})^{3}}=2\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{3}}=2\left [ \frac{x}{2(3-1)(1+x^{2})^{3-1}}+\frac{2\cdot 3-3}{2(3-1)}\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{3-1}} \right ]= \frac{x}{2(1+x^{2})^{2}}+\frac{3}{2}\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{x}{2(1+x^{2})^{2}}+\frac{3}{2}\left [ \frac{x}{2(2-1)(1+x^{2})^{2-1}}+\frac{2\cdot 2-3}{2(2-1)}\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{2-1}} \right ]=\frac{x}{2(1+x^{2})^{2}}+\frac{3x}{4(1+x^{2})}+\frac{3}{4}\int \frac{dx}{1+x^{2}}=\frac{x}{2(1+x^{2})^{2}}+\frac{3x}{4(1+x^{2})}+\frac{3}{4}\textrm{ arctg }x+C$

Całka 2

$\int (1-\sin^{2}x)\cos x\ dx$

Odpowiedź

$\int (1-\sin^{2}x)\cos x\ dx=\frac{1}{3}\sin x\cos^{2}x +\frac{2}{3}\sin x+C$

Rozwiązanie

$\int (1-\sin^{2}x)\cos x\ dx=\int \cos^{2}x\cos x\ dx=\int \cos^{3}x\ dx=\frac{1}{3}\sin x\cos^{2}x +\frac{2}{3}\int \cos x\ dx=\frac{1}{3}\sin x\cos^{2}x +\frac{2}{3}\sin x+C$

Całka 3

$\int \cos^{2}x\sin x\ dx$

Odpowiedź

$\int \cos^{2}x\sin x\ dx=-\frac{1}{3}\cos x+\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x+C$

Rozwiązanie

$\int \cos^{2}x\sin x\ dx=\int (1-\sin^{2}x)\sin x\ dx=\int \sin x\ dx-\int \sin^{3}x\ dx=-\cos x-\left [ -\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x+\frac{3-1}{3}\int \sin^{(3-2)}x\ dx \right ]=-\cos x+\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x-\frac{2}{3}\int \sin x\ dx=-\cos x+\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x+\frac{2}{3}\cos x+C=-\frac{1}{3}\cos x+\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x+C$

Zadanie 8.5

1. Logika

2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

3. Funkcje

4. Ciągi

5. Granice. Ciągłość funkcji

6. Pochodne

7. Badanie przebiegu zmienności funkcji

8. Całka nieoznaczona

9. Całka oznaczona

10. Zastosowanie całek

Ankieta

Polecenie

Wskazówki

Wzory rekurencyjne dla całek

Całka 1

Rozwiązanie

Odpowiedź

Całka 2

Rozwiązanie

Odpowiedź

Całka 3

Rozwiązanie

Krok 1

Krok 2

Krok 3

Krok 4

Krok 5

Odpowiedź

Polecenie

Całka 1

Odpowiedź

Rozwiązanie

Całka 2

Odpowiedź

Rozwiązanie

Całka 3

Odpowiedź

Rozwiązanie