Zadanie 8.4
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 8. Całka nieoznaczona
  3. Zadanie 8.4

 Polecenie

Korzystając ze wzorów rekurencyjnych dla całek oblicz podane całki.

 Wskazówki

Wzory rekurencyjne dla całek

Fakt (wzory rekurencyjne dla całek \({\displaystyle \int \sin^{n}x\ dx}, {\displaystyle \int \cos^{n}x\ dx}\) )
\({\displaystyle 1. \ \ \int \sin^{n}x\ dx=-\frac{1}{n}\cos x \sin^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\ dx}, \ \ n\geqslant 2. \\
{\displaystyle 2. \ \ \int \cos^{n}x\ dx=\frac{1}{n}\sin x \cos^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x\ dx}, \ \ n\geqslant 2.\)
Fakt (wzór rekurencyjny dla całek \({\displaystyle \int \frac{dx}{\left ( 1+x^{2} \right )^{n}}}\) )
\({\displaystyle \int \frac{dx}{\left ( 1+x^{2} \right )^{n}}=\frac{x}{2(n-1)(1+x^{2})^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)}\int \frac{dx}{\left ( 1+x^{2} \right )^{n-1}}},\) gdzie  \(n\geqslant 2.\)

 Całka 1

\({\displaystyle \int \sin^{3}x\ dx}\)

 Rozwiązanie

Korzystamy dwukrotnie ze wzoru \({\displaystyle \color{#388E3C}{\int \sin^{n}x\ dx=-\frac{1}{n}\cos x \sin^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\ dx}},\) dla \( n=3\) oraz dla \(n=2.\)

\({\displaystyle \int \sin^{3}x\ dx=-\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x+\frac{2}{3}\int \sin^{2}x\ dx=-\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x+\frac{2}{3}\left [-\frac{1}{2}\cos x\sin x+\frac{1}{2}\int \sin x\ dx  \right ]=-\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x-\frac{1}{3}\cos x\sin x+\frac{1}{3}\int \sin x\ dx= -\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x-\frac{1}{3}\cos x\sin x-\frac{1}{3}\cos x=-\frac{1}{3}\cos x\left (\sin^{2}x+\sin x+1 \right )+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \sin^{3}x\ dx=-\frac{1}{3}\cos x\left (\sin^{2}x+\sin x+1 \right )+C}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int \cos^{2}x\ dx}\)

 Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru \({\displaystyle \color{#388E3C}{\int \cos^{n}x\ dx=\frac{1}{n}\sin x \cos^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x\ dx}},\) dla \(n=2.\)
\({\displaystyle \int \cos^{2}x\ dx=\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{1}{2}\int \cos^{0}x\ dx=\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{1}{2}\int 1\ dx=\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{1}{2}x+C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \cos^{2}x\ dx=\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{1}{2}x+C}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int \frac{dx}{(1+x^{2})^{5}}}\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Z którego wzoru należy skorzystać przy rozwiązywaniu całki \({\displaystyle \int \frac{dx}{(1+x^{2})^{5}}}\)?

\({\displaystyle  \int \sin^{n}x\ dx=-\frac{1}{n}\cos x \sin^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\ dx}, \ \ n\geqslant 2 \)

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle \int \cos^{n}x\ dx=\frac{1}{n}\sin x \cos^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x\ dx}, \ \ n\geqslant 2\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle \int \frac{dx}{\left ( 1+x^{2} \right )^{n}}=\frac{x}{2(n-1)(1+x^{2})^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)}\int \frac{dx}{\left ( 1+x^{2} \right )^{n-1}}}, \ \ n\geqslant 2\)

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 2

Stosując wybrany wyżej wzór dla \(n=5\) otrzymamy
\({\displaystyle \int \frac{dx}{(1+x^{2})^{5}}=\frac{x}{2(5-1)(1+x^{2})^{5-1}}+\frac{2\cdot 5-3}{2(5-1)}\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{5-1}}=}\\
{\displaystyle =\frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7}{8}\color{#F57C00}{\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{4}}}}= \cdots\)
Dla oznaczonej całki musimy ponownie zastosować powyższy wzór, tym razem dla \(n=4.\)

 Krok 3

\({\displaystyle \cdots = \frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7}{8}\color{#F57C00}{\left [ \frac{x}{2\cdot 3(1+x^{2})^{3}}+\frac{5}{6}\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{3}} \right ]}=}\\
{\displaystyle \frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7x}{48(1+x^{2})^{3}}+\frac{35}{48}\color{#388E3C}{\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{3}}}=}\)
Jak widać, znów musimy zastosować dany wzór, tym razem dla \(n=3.\)

 Krok 4

\({\displaystyle \cdots = \frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7x}{48(1+x^{2})^{3}}+\frac{35}{48}\color{#388E3C}{\left [ \frac{x}{2\cdot 2(1+x^{2})^{2}}+\frac{3}{4}\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{2}} \right ]}=}\\
{\displaystyle = \frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7x}{48(1+x^{2})^{3}}+\frac{35x}{192(1+x^{2})^{2}}+\frac{35}{64}\color{#F57C00}{\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{2}}}=\cdots}\)
I kolejny raz stosujemy wzór dla \(n=2.\)

 Krok 5

\({\displaystyle \cdots = \frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7x}{48(1+x^{2})^{3}}+\frac{35x}{192(1+x^{2})^{2}}+\frac{35}{64}\color{#F57C00}{\left [ \frac{x}{2\cdot 1(1+x^{2})}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^{2}} \right ]}=\cdots }\)
Wystarczy obliczyć całkę \({\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^{2}}},\) korzystając ze  \({\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^{2}}=\textrm{ arctg }x+C,\ \ x \in\mathbb{R}}\) , podanego w zadaniu 8.1 w całkach nieoznaczonych ważniejszych funkcji elementarnych.
\({\displaystyle \cdots = \frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7x}{48(1+x^{2})^{3}}+\frac{35x}{192(1+x^{2})^{2}}+\frac{35x}{128(1+x^{2})}+\frac{35}{128}\textrm{ arctg }x +C}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{dx}{(1+x^{2})^{5}}=\frac{x}{8(1+x^{2})^{4}}+\frac{7x}{48(1+x^{2})^{3}}+\frac{35x}{192(1+x^{2})^{2}}+\frac{35x}{128(1+x^{2})}+\frac{35}{128}\textrm{ arctg }x +C}\)

 Polecenie

Korzystając ze wzorów rekurencyjnych dla całek oblicz podane całki.

 Całka 1

\({\displaystyle \int \frac{2dx}{(1+x^{2})^{3}}}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{2dx}{(1+x^{2})^{3}}=\frac{x}{2(1+x^{2})^{2}}+\frac{3x}{4(1+x^{2})}+\frac{3}{4}\textrm{ arctg }x+C}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int \frac{2dx}{(1+x^{2})^{3}}=2\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{3}}=2\left [ \frac{x}{2(3-1)(1+x^{2})^{3-1}}+\frac{2\cdot 3-3}{2(3-1)}\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{3-1}} \right ]= \frac{x}{2(1+x^{2})^{2}}+\frac{3}{2}\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{x}{2(1+x^{2})^{2}}+\frac{3}{2}\left [ \frac{x}{2(2-1)(1+x^{2})^{2-1}}+\frac{2\cdot 2-3}{2(2-1)}\int \frac{dx}{(1+x^{2})^{2-1}} \right ]=\frac{x}{2(1+x^{2})^{2}}+\frac{3x}{4(1+x^{2})}+\frac{3}{4}\int \frac{dx}{1+x^{2}}=\frac{x}{2(1+x^{2})^{2}}+\frac{3x}{4(1+x^{2})}+\frac{3}{4}\textrm{ arctg }x+C}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int (1-\sin^{2}x)\cos x\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int (1-\sin^{2}x)\cos x\ dx=\frac{1}{3}\sin x\cos^{2}x +\frac{2}{3}\sin x+C}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int (1-\sin^{2}x)\cos x\ dx=\int \cos^{2}x\cos x\ dx=\int \cos^{3}x\ dx=\frac{1}{3}\sin x\cos^{2}x +\frac{2}{3}\int \cos x\ dx=\frac{1}{3}\sin x\cos^{2}x +\frac{2}{3}\sin x+C}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int \cos^{2}x\sin x\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \cos^{2}x\sin x\ dx=-\frac{1}{3}\cos x+\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x+C}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int \cos^{2}x\sin x\ dx=\int (1-\sin^{2}x)\sin x\ dx=\int \sin x\ dx-\int \sin^{3}x\ dx=-\cos x-\left [ -\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x+\frac{3-1}{3}\int \sin^{(3-2)}x\ dx \right ]=-\cos x+\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x-\frac{2}{3}\int \sin x\ dx=-\cos x+\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x+\frac{2}{3}\cos x+C=-\frac{1}{3}\cos x+\frac{1}{3}\cos x\sin^{2}x+C}\)