Aby skorzystać ze wzoru \({\displaystyle \color{#F57C00}{\int x^{n}\ dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C}},\) należy \(t\) podstawić za \(4+x.\) Pochodną wówczas z obu stron jest \(1.\)
\({\displaystyle \int \frac{dx}{(4+x)^{5}}=\begin{vmatrix}
4+x=t\\
dx=dt
\end{vmatrix}=\int \frac{dt}{t^{5}}=\int t^{-5}\ dt=\frac{t^{-5+1}}{-5+1}+C=\frac{(4+x)^{-4}}{-4}+C=\frac{1}{-4(4+x)^{4}}+C}\)

Wystarczy zauważyć, że pochodną funkcji \(2+\ln x \) jest \(\displaystyle \frac{1}{x}.\) Dokonujemy podstawienia \(2+\ln x=t.\)
\({\displaystyle \int \frac{2+\ln x}{x}\ dx=\begin{vmatrix}
2+\ln x=t\\
\frac{dx}{x}=dt
\end{vmatrix}=\int t\ dt= \frac{t^{2}}{2}+C=\frac{1}{2}(2+\ln x)^{2}+C}\)

Aby dokonać właściwego podstawienia musimy zapisać funkcję \(\textrm{ tg }x\) jako iloraz funkcji \(\sin x\) i \(\cos x.\) Wówczas zauważamy, że funkcja \(\sin x\) to częściowo pochodna funkcji \(\cos x.\) Można wstawić wcześniej dwukrotnie minus lub z równania przy podstawieniu wyznaczyć odpowiednio wyrażenie \(\sin x\ dx.\)
\({\displaystyle \int \textrm{ tg }x\ dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\ dx=\begin{vmatrix}
\cos x=t\\
-\sin x\ dx=dt \ \ /:(-1)\\
\sin x\ dx=-dt
\end{vmatrix}=-\int \frac{dt}{t}=-\ln \left | t \right | +C=-\ln \left | \cos x \right | +C}\)

Aby zastosować twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie, musimy tak zapisać funkcję podcałkową, aby uzyskać funkcję i jej pochodną. W tym przypadku zapisujemy wyrażenie \(x^{5}\) jako iloczyn czynników \(x^{2}\) oraz \(x^{3}.\) Podstawiając \(t=x^{3}\) uzyskamy pochodną \(3x^{2},\) czyli pozostanie nam pozbyć się stałej, dzieląc obustronnie przez \(3\). Po podstawieniu otrzymamy całkę, którą rozwiążemy korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części, zanim wrócimy do podstawienia.

\({\displaystyle \int x^{5}e^{x^{3}}\ dx=\int x^{3}e^{x^{3}}\cdot x^{2}\ dx=\begin{vmatrix}
x^{3}=t\\
3x^{2}\ dx=dt\\
x^{2}\ dx=\frac{dt}{3}
\end{vmatrix}=\int \frac{te^{t}dt}{3}=\frac{1}{3}\int te^{t}\ dt=\begin{vmatrix}
f(t)=t & g'(t)=e^{t}\\
f'(t)=1 & g(t)=e^{t}
\end{vmatrix}= \frac{1}{3}\left [ te^{t}-\int e^{t}\ dt \right ]= \frac{1}{3}te^{t}-\frac{1}{3}e^{t}+C=\frac{1}{3}x^{3}e^{x^{3}}-\frac{1}{3}e^{x^{3}}+C}\)

\({\displaystyle \int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ dx=\begin{vmatrix}
\sqrt{x}=t\\
\frac{1}{2\sqrt{x}}\ dx =dt\\
\frac{dx}{\sqrt{x}} =2dt
\end{vmatrix}=2\int \sin t\ dt=2(-\cos t)+C=-2\cos \sqrt{x}+C}\)