Zadanie 10.5

Polecenie

Oblicz objętość bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu podanych krzywych wokół wskazanych osi.

Wskazówki

Objętość bryły obrotowej

Jeżeli funkcja \(f\) jest funkcją ciągłą na przedziale \(\left \langle a;b \right \rangle,\) to objętość \(V\) bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji \(y=f(x)\) wokół osi \(Ox\) wynosi \[{\displaystyle |V|=\pi \int_{a}^{b} f^{2}(x)\ dx}.\]

Jeżeli funkcja \(f\) jest funkcją ciągłą na przedziale \(\left \langle a;b \right \rangle,\) to objętość \(V\) bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji \(y=f(x)\) wokół osi \(Oy\) wynosi \[{\displaystyle |V|=2\pi \int_{a}^{b} xf(x)\ dx}.\]

Wzory dla krzywej w postaci parametrycznej

Jeśli krzywa jest zadana równaniami:
\(\left\{\begin{matrix}
x=x(t)\\
y=y(t)
\end{matrix}\right. ,\) gdzie \(t\in \left \langle \alpha ;\beta \right \rangle,\) gdzie funkcje \(x, y, x'\) są ciągłe oraz nieujemne na \(\left \langle \alpha ;\beta \right \rangle,\) wówczas pole powierzchni bryły powstałej przez obrót krzywej wokół

osi \(Ox\) wynosi: \[{\displaystyle |V|=\pi\int_{\alpha }^{\beta } \left | x'(t) \right |y^{2}(t)\ dt},\]

osi \(Oy\) wynosi: \[{\displaystyle |V|=2\pi\int_{\alpha }^{\beta } x'(t)x(t)y(t)\ dt}.\]

Bryła 1

Bryła powstała przez obrót elipsy \({\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1}\) wokół osi \(Ox.\)

Rozwiązanie

Krzywa \({\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1},\) to elipsa o środku w punkcie \(\left ( 0,0 \right ),\) gdzie \(a=3\) i \(b=2\) są długościami półosi.

Obracamy wokół osi \(Ox\) tylko tą część wykresu, która znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, uzyskując połowę całej bryły.
Równanie tej części wykresu otrzymamy wyznaczając zmienną \(y\) ze wzoru.
\({\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1}\\
{\displaystyle \frac{y^{2}}{4}=1-\frac{x^{2}}{9}}\\
{\displaystyle y^{2}=4\left (1-\frac{x^{2}}{9}\right )}\\
{\displaystyle y=2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}}}\)

Korzystając ze wzoru na \({\displaystyle |V|=\pi \int_{a}^{b} f^{2}(x)\ dx}\) możemy zapisać:
\({\displaystyle |V|=2\cdot \pi \int_{0}^{3}4\left ( 1-\frac{x^{2}}{9} \right )\ dx=8 \pi \int_{0}^{3}\left ( 1-\frac{x^{2}}{9} \right )\ dx= 8 \pi \Big [ x-\frac{1}{9}\cdot \frac{x^{3}}{3} \Big ]_{0}^{3}=8 \pi \Big [ 3-\frac{3^{3}}{27}-(0-0) \Big ]=8\pi (3-1)=16\pi. }\)

Odpowiedź

Objętość bryły powstałej w wyniku obrotu elipsy \({\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1}\) wokół osi \(Ox\) wynosi \({\displaystyle |V|=16\pi}.\)

Bryła 2

Bryła powstała przez obrót wykresu funkcji \(f(x)=\sin x,\) dla \(x \in \left \langle 0;\pi \right \rangle\) wokół osi \(Ox.\)

Rozwiązanie

Wykres funkcji , na przedziale \(\left \langle 0;\pi \right \rangle\) obracamy wokół osi \(Ox\) otrzymując poniższą bryłę.

Aby wyznaczyć objętość bryły korzystamy ze wzoru \({\displaystyle |V|=\pi \int_{a}^{b} f^{2}(x)\ dx}.\)
Zatem \({\displaystyle |V|=\pi\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\ dx}.\) Aby wyznaczyć całkę korzystamy z \(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\) oraz wzoru na \(\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x\) .
Wyznaczamy kwadrat sinusa i wstawiamy co całki.
\({\displaystyle \cos 2x=1-\sin^{2}x-\sin^{2}x} \\ {\displaystyle \cos 2x=1-2\sin^{2}x} \\ {\displaystyle 2\sin^{2}x=1-\cos 2x}\\ {\displaystyle \sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}.}\)
Objętość bryły wyniesie więc
\({\displaystyle |V|=\pi\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\ dx=\pi\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}\ dx= \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}\left (1-\cos 2x \right )\ dx= \frac{\pi}{2}\Big [1-\cos 2x \Big ]_{0}^{\pi}= \frac{\pi}{2}\left [ \pi-\frac{1}{2}\sin 2\pi-(0-\frac{1}{2}\sin 0) \right ]=\frac{\pi}{2}\cdot \pi=\frac{\pi^{2}}{2}.}\)

Odpowiedź

Objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wykresu funkcji \(f(x)=\sin x,\) dla \(x \in \left \langle 0;\pi \right \rangle\) wokół osi \(Ox\) wynosi
\({\displaystyle |V|=\frac{\pi^{2}}{2}.}\)

Bryła 3

Bryła powstała przez obrót wykresu funkcji \(f(x)=\ln(x-2),\) dla \(x \in \left \langle 3;2e \right \rangle\) wokół osi \(Ox.\)

Rozwiązanie

Krok 1

W pierwszym kroku stosujemy wzór na objętość bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji \(y=f(x)\) wokół osi \(Ox:\) \[{\displaystyle |V|=\pi \int_{a}^{b} f^{2}(x)\ dx}.\]
Objętość powstałej przez obrót wokół osi \(Ox\) wykresu funkcji \(f(x)=\ln(x-2)\) wynosi zatem:

\({\displaystyle |V|=\pi \int_{0}^{2e} \ln^{2}(x-2)\ dx}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle |V|=\pi \int_{3}^{2e} \ln^{2}(x-2)\ dx}\)

Odpowiedź prawidłowa

\({\displaystyle |V|=\pi \int_{3}^{2e} \ln(x-2) \ dx}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 2

Aby wyznaczyć całkę \({\displaystyle |V|=\pi \int_{3}^{2e} \ln^{2}(x-2)\ dx}\) skorzystamy z metody podstawiania oraz całkowania przez części. Po zastosowaniu podstawienia \({\displaystyle \begin{vmatrix}
x-2=t\\
dx=dt
\end{vmatrix}}\) otrzymamy:

\({\displaystyle |V|=\pi \int_{1}^{2e-2} \ln^{2}t\ dt}\)

Odpowiedź prawidłowa

\({\displaystyle |V|=\pi \int_{1}^{2e-2} \ln^{2}(t+2)\ dt}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle |V|=\pi \int_{3}^{2e} \ln^{2}t\ dt}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 3

Całkę \({\displaystyle |V|=\pi \int_{1}^{2e-2} \ln^{2}t\ dt}\) wyznaczymy stosując dwukrotnie metodę całkowania przez części dla całek oznaczonych. Objętość bryły wynosi zatem:

\(\pi \Big [ (2e-2)\ln^{2}(2e-2) - \\ 2 (2e-2)\ln (2e-2) +2(2e-2)\Big ]\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(\pi \Big [ (2e-2)\ln^{2}(2e-2) - \\ 2 (2e-2)\ln (2e-2) +4e-6\Big ]\)

Odpowiedź prawidłowa

\(\pi \Big [ (2e-2)\ln^{2}(2e-2) - \\ 2 (2e-2)\ln (2e-2) +2e-3\Big ]\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle |V|=\pi \int_{1}^{2e-2} \ln^{2}t\ dt=
\begin{vmatrix}
f(t)=\ln^{2}t & g'(t)=1\\
f'(t)=\frac{2\ln t}{t} & g(t)=t
\end{vmatrix}=\pi \int_{1}^{2e-2} \ln^{2}t\ dt=\pi \left (\Big [ t\ln^{2}t\Big ]_{1}^{2e-2} -\int_{1}^{2e-2} \frac{2t\ln t}{t}\ dt \right )=\pi \left (\Big [ t\ln^{2}t\Big ]_{1}^{2e-2} -2\int_{1}^{2e-2} \ln t\ dt \right )=\pi \Big [ t\ln^{2}t -2 t\ln t +2t\Big ]_{1}^{2e-2}=\pi \Big [ (2e-2)\ln^{2}(2e-2) -2 (2e-2)\ln (2e-2) +2(2e-2)-1\left (\ln^{2}1-2\ln 1+2 \right )\Big ]=\pi \Big [ (2e-2)\ln^{2}(2e-2) -2 (2e-2)\ln (2e-2) +2(2e-2)-2\Big ]=\pi \Big [ (2e-2)\ln^{2}(2e-2) -2 (2e-2)\ln (2e-2) +4e-6\Big ]}\)

Odpowiedź

Objętość bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji \(f(x)=\ln(x-2),\) dla \(x \in \left \langle 3;2e \right \rangle\) wokół osi \(Ox\) wynosi \(\pi \Big [ (2e-2)\ln^{2}(2e-2) -2 (2e-2)\ln (2e-2) +4e-6\Big ].\)

Bryła 4

Bryła powstała przez obrót wykresu funkcji \(f(x)=3\sqrt{x}\) wokół osi \(Oy\) na przedziale \(\left \langle 1;2 \right \rangle.\)

Rozwiazanie

Korzystamy ze wzoru na \({\displaystyle |V|=2\pi \int_{a}^{b} xf(x)\ dx}\) .
\({\displaystyle |V|=2\pi\int_{1}^{2}x\cdot 3\sqrt{x}\ dx=6\pi\int_{1}^{2}x\cdot x^{\frac{1}{2}}\ dx=6\pi\int_{1}^{2} x^{\frac{3}{2}}\ dx= 6 \pi \Big[ \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}\Big]_{1}^{2}=\frac{12\pi}{5}\left (2^{\frac{5}{2}}-1^{\frac{5}{2}} \right )=\frac{12\pi}{5}\left ( \sqrt{32}-1 \right )=\frac{12\pi}{5}\left (4\sqrt{2}-1 \right )}\)

Odpowiedź

Objętość bryły powstałej w wyniku obrotu wykresu funkcji \(f(x)=3\sqrt{x}\) wokół osi \(Oy,\) na przedziale \(\left \langle 1;2 \right \rangle\) wynosi \(
{\displaystyle |V|=\frac{12\pi}{5}\left (4\sqrt{2}-1 \right )}.\)

Zadanie 10.4