Zadanie 10.7
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 10. Zastosowanie całek
  3. Zadanie 10.7

 Polecenie

Znajdź momenty bezwładności (względem obu osi układu współrzędnych) oraz środek ciężkości jednorodnego trójkąta o gęstości \(\rho =1,\) którego wierzchołki mają współrzędne \(A=(0,0),\  B=(4,0), \ C=(0,1).\)

 Wskazówki

Momenty statyczne i momenty bezwładności trapezu krzywoliniowego

Niech \(T\) będzie trapezem krzywoliniowym opisanym następująco:
\[T=\left \{ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}: 0\leqslant y\leqslant f(x), \ \ a\leqslant x\leqslant b \right \}.\]
Zakładamy, że trapez \(T\) jest figurą jednorodną (masa jest na nim rozłożona równomiernie), której gęstość powierzchniowa \(\rho \) (masa przypadająca na jednostkę pola) jest stała.

Moment statyczny \(M_{x}\) i moment bezwładności \(I_{x}\) trapezu \(T\) względem osi \(OX\) wyrażają się za pomocą wzorów
\[{\displaystyle M_{x}=\frac{1}{2}\rho \int_{a}^{b}f^{2}(x)\ dx,} \quad \quad
{\displaystyle I_{x}=\frac{1}{3}\rho \int_{a}^{b}f^{3}(x)\ dx.}\]

Moment statyczny \(M_{y}\) i moment bezwładności \(I_{y}\) trapezu \(T\) względem osi \(OY\) wyrażają się za pomocą wzorów
\[{\displaystyle M_{y}=\rho \int_{a}^{b}xf(x)\ dx,} \quad \quad
{\displaystyle I_{y}=\rho \int_{a}^{b}x^{2}f(x)\ dx.}\]

Środek ciężkości

Środek ciężkości \(C=(x_{C},y_{C})\) trapezu \(T\), którego pole wynosi \({\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\ dx}\) jest punktem o współrzędnych zadanych wzorami : \[{\displaystyle x_{C}=\frac{M_{y}}{\rho S}, \quad y_{C}=\frac{M_{x}}{\rho S}.}\]

Wniosek (Środek ciężkości figury płaskiej)

Środek ciężkości figury płaskiej \(A\) danej następująco \[{\displaystyle A=\left \{ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}: f_{1}(x)\leqslant y \leqslant f_{2}(x),\ \ \ a\leqslant x\leqslant b \right \}}\] o polu równym \(S\) ma współrzędne:
\[{\displaystyle x_{C}=\frac{\int_{a}^{b}x\left (f_{2}(x)-f_{1}(x) \right )\ dx}{S} ,} \ \ \ \ \ \ \ \
{\displaystyle y_{C}=\frac{\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left (f_{2}^{2}(x)-f_{1}^{2}(x) \right )\ dx}{S} .}\]

 Rozwiązanie

_rysunek_10.7.1
Dany trójkąt jest trójkątem prostokątnym, którego przyprostokątne zawierają się w osiach układu współrzędnych a przeciwprostokątna zawiera się w prostej \({\displaystyle y=-\frac{1}{4}x+1}\) - prosta przechodząca przez punkty \((0,1)\) i \((4,0).\)
Obszar wyznaczony przez podany trójkąt można zapisać następująco: \({\displaystyle T=\left \{ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}: 0\leqslant y\leqslant -\frac{1}{4}x+1,0 \leqslant x\leqslant 4 \right \} }.\)
Liczymy momenty bezwładności zbioru \(T,\) korzystając z odpowiednich wzorów.
\({\displaystyle I_{x}=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot \int_{0}^{4} \left ( -\frac{1}{4}x+1 \right )^{3}\ dx = \begin{vmatrix}
-\frac{1}{4}x+1=t\\
-\frac{1}{4}dx=dt\\
dx=-4dt
\end{vmatrix}= \frac{1}{3}\int_{1}^{0}t^{3}(-4 dt)= \frac{4}{3}\int_{0}^{1}t^{3}dt=\frac{4}{3}\Big [  \frac{t^{4}}{4}\Big ]_{0}^{1}= \frac{4}{3}\cdot \frac{1}{4} (1-0)=\frac{1}{3}, }
\\
{\displaystyle I_{x}=1\cdot \int_{0}^{4}x^{2} \left ( -\frac{1}{4}x+1 \right )\ dx = \int_{0}^{4} \left (-\frac{1}{4}x^{3}+x^{2}  \right )\ dx = \Big [-\frac{1}{4}\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}  \Big ]_{0}^{4}= -\frac{1}{16}\cdot 4^{4}+\frac{1}{3}\cdot 4^{3}=\frac{64}{3}-16=\frac{16}{3} .}\)
Momenty statyczne wyznaczamy ze wzorów podanych we wskazówkach:
\({\displaystyle M_{x}= \frac{1}{2}\int_{0}^{4}\left ( -\frac{1}{4}x+1 \right )^{2}dx=\begin{vmatrix}
-\frac{1}{4}x+1=t\\
-\frac{1}{4}dx=dt\\
dx=-4dt
\end{vmatrix}= \frac{1}{2}\int_{1}^{0} t^{2}(-4dt)= \frac{4}{2}\int_{0}^{4} t^{2}\ dt=2\Big [ \frac{t^{3}}{3}\Big ]_{0}^{1}=\frac{2}{3},}
\\
{\displaystyle M_{y}=\int_{0}^{4}x\left ( -\frac{1}{4}x+1 \right )dx=\int_{0}^{4}\left ( -\frac{1}{4}x^{2}+x \right )dx=\Big [ -\frac{1}{4}\cdot \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2} \Big ]_{0}^{4}=-\frac{1}{4}\cdot \frac{4^{3}}{3}+\frac{4^{2}}{2}=-\frac{16}{3}+\frac{16}{2}=\frac{8}{3}.}\)
Aby obliczyć współrzędne środka ciężkości \(C\) musimy wyznaczyć wcześniej momenty statyczne względem obu osi oraz pole powierzchni trójkąta \(T.\) Pole powierzchni trójkąta \(T\) możemy wyznaczyć za pomocą całki \({\displaystyle S=\int_{0}^{4}\left ( -\frac{1}{4}x+1 \right )\ dx= \Big [  -\frac{1}{4}\cdot \frac{x^{2}}{2}+x \Big ]_{0}^{4}=-\frac{4^{2}}{8}+4=2 }.\)

Środek ciężkości \({\displaystyle C= \left ( \frac{M_{y}}{\rho S},\frac{M_{x}}{\rho S} \right )}\)  jest więc punktem o współrzędnych
\({\displaystyle C= \left ( \frac{\frac{8}{3}}{1\cdot 2},\frac{\frac{2}{3}}{1\cdot 2} \right )= \left ( \frac{4}{3},\frac{1}{3} \right ).}\)

 Odpowiedź

Momenty bezwładności względem obu osi oraz środek ciężkości trójkąta \(T\) wynoszą odpowiednio:
\({\displaystyle I_{x}=\frac{1}{3},}\\
{\displaystyle I_{x}=\frac{16}{3},}\\
{\displaystyle C= \left ( \frac{4}{3},\frac{1}{3} \right ).}\)

 Polecenie

Znajdź momenty bezwładności (względem obu osi układu współrzędnych) oraz środek ciężkości jednorodnego trójkąta o gęstości \(\rho =1,\) którego wierzchołki mają współrzędne \(A=(0,0),\  B=(2,0), \ C=(0,6).\)

 Odpowiedź

Momenty bezwładności względem obu osi oraz środek ciężkości trójkąta \(T\) wynoszą odpowiednio:
\({\displaystyle I_{x}=4,}\\
{\displaystyle I_{x}=4,}\\
{\displaystyle C= \left ( \frac{2}{3},2 \right ).}\)

 Rozwiązanie

_rysunek_10.7.2
Dany trójkąt jest trójkątem prostokątnym, którego przyprostokątne zawierają się w osiach układu współrzędnych a przeciwprostokątna zawiera się w prostej \({\displaystyle y=-3x+6}\) - prosta przechodząca przez punkty \((0,2)\) i \((6,0).\)
Obszar wyznaczony przez podany trójkąt można zapisać następująco: \({\displaystyle T=\left \{ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}: 0\leqslant y\leqslant -3x+6,0 \leqslant x\leqslant 2 \right \} }.\)

Liczymy momenty bezwładności zbioru \(T,\) korzystając z odpowiednich wzorów.
\({\displaystyle I_{x}=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot \int_{0}^{2} \left (-3x+6 \right )^{3}\ dx=\frac{3}{3}\cdot \int_{0}^{2} \left (-x+2 \right )^{3}\ dx = \begin{vmatrix}
-x+2=t\\
-dx=dt\\
dx=-dt
\end{vmatrix}= -\int_{2}^{0}t^{3} dt= \int_{0}^{2}t^{3}dt=\Big [ \frac{t^{4}}{4}\Big ]_{0}^{2}= \frac{1}{4} (16-0)=4, }
\\
{\displaystyle I_{x}=1\cdot \int_{0}^{2}x^{2} \left (-3x+6 \right )\ dx = \int_{0}^{2} \left (-3x^{3}+6x^{2}  \right )\ dx = \Big [-3\frac{x^{4}}{4}+6\frac{x^{3}}{3}  \Big ]_{0}^{2}= -3\cdot \frac{2^{4}}{4}+6\cdot \frac{2^{3}}{3}=-12+16=4.}\)

Momenty statyczne wyznaczamy ze wzorów podanych we wskazówkach:
\({\displaystyle M_{x}= \frac{1}{2}\cdot 1 \int_{0}^{2}\left ( -3x+6\right )^{2}dx= \frac{1}{2}\int_{0}^{2}(9x^{2}-36x+36)\ dx= \frac{9}{2}\Big [ \frac{x^{3}}{3}- \frac{4x^{2}}{2}+4x\Big ]_{0}^{2}=\frac{9}{2}\left ( \frac{8}{3}-8+8-(0-0+0) \right )=12,}
\\
{\displaystyle M_{y}=1\cdot \int_{0}^{2}x\left ( -3x+6 \right )dx=-3\int_{0}^{2}\left ( x^{2}-2x \right )dx=-3\Big [ \frac{x^{3}}{3}-2\frac{x^{2}}{2} \Big ]_{0}^{2}=-3 \left ( \frac{8}{3}-4\right )=4.}\)

Aby obliczyć współrzędne środka ciężkości \(C\) musimy skorzystać z wyznaczonych wcześniej momentów statycznych względem obu osi oraz pole powierzchni trójkąta \(T.\) Pole powierzchni trójkąta \(T\) możemy wyznaczyć za pomocą całki \({\displaystyle S=\int_{0}^{2}\left ( -3x+6 \right )\ dx= -3\Big [ \frac{x^{2}}{2}-2x \Big ]_{0}^{2}=-3(2-4)=6 }.\)

Środek ciężkości \({\displaystyle C= \left ( \frac{M_{y}}{\rho S},\frac{M_{x}}{\rho S} \right )}\)  jest więc punktem o współrzędnych
\({\displaystyle C= \left ( \frac{4}{1\cdot 6},\frac{12}{1\cdot 6} \right )= \left ( \frac{2}{3},2 \right ).}\)