Zadanie 8.1
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 8. Całka nieoznaczona
  3. Zadanie 8.1

 Polecenie

Oblicz podane całki nieoznaczone.

 Wskazówki

Definicja funkcji pierwotnej

Funkcja \(F\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f\) na przedziale \(\left \langle a;b \right \rangle\), jeżeli \[F'(x)=f(x),\] dla każdego \(x \in \left \langle a;b \right \rangle.\)

Definicja całki nieoznaczonej

Niech \(F\) będzie funkcją pierwotną funkcji \(f\) na przedziale \(\left \langle a;b \right \rangle.\) Całką nieoznaczoną funkcji \(f\) na przedziale \(\left \langle a;b \right \rangle\) nazywamy całą rodzinę funkcji \[ \left \{ F(x)+C: C \in \mathbb{R}\right \}.\]

Całkę nieoznaczoną funkcji \(f\) oznaczamy przez \(\displaystyle \int f(x)\ dx\) lub krótko \( \displaystyle \int f .\)

Twierdzenia

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)
Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotną na tym przedziale.
Twierdzenie (pochodna całki nieoznaczonej)
Niech funkcja \(f\) ma funkcję pierwotną na przedziale \(\left \langle a;b \right \rangle.\) Wtedy dla każdego \(x \in \left \langle a;b \right \rangle\)
\[{\displaystyle \left [\int f(x) dx  \right ]'=f(x)}.\]
Twierdzenia (całka nieoznaczona pochodnej)
Niech funkcja \(f'\) ma funkcję pierwotną na przedziale \(\left \langle a;b \right \rangle.\) Wtedy dla każdego \(x \in \left \langle a;b \right \rangle\)
\[{\displaystyle \int f'(x) dx =f(x)+C},\]
gdzie \(C \in \mathbb{R}.\)

Całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych

Wzór Zakres zmienności
\({\displaystyle \int 0\ dx=C}\) \(x \in \mathbb{R}\)
\({\displaystyle \int x^{n}\ dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}}+C\) \( x \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}\cup \left \{ 0 \right \}\)
\({\displaystyle \int x^{p}\ dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}}+C\) \(p \in \left \{ -2,-3,-4,\cdots \right \}, x \in \left ( -\infty;0 \right ) \vee x \in \left ( 0; \infty \right )\)
\({\displaystyle \int x^{\alpha}\ dx= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}}+C\) \(\alpha \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{C},\) \(x\) w zależności od parametru \(\alpha\)
\({\displaystyle \int \frac{1}{x}}\ dx=\ln\left | x \right | +C\) \(x \in \left ( -\infty;0 \right ) \vee x \in \left ( 0; \infty \right )\)
\({\displaystyle \int a^{x}\ dx= \frac{a^{x}}{\ln a}}+C\) \(0 \lt a\neq 1, x \in \mathbb{R}\)
\({\displaystyle \int e^{x}\ dx =e^{x}+C}\) \(x \in \mathbb{R}\)
\({\displaystyle \int \sin x\ dx=-\cos x+C}\) \(x \in \mathbb{R}\)
\({\displaystyle \int \cos x\ dx= \sin x+C}\) \(x \in \mathbb{R}\)
\({\displaystyle \int \frac{dx}{\sin^{2}x}=-\textrm{ ctg }x +C}\) \(x \in \left ( k\pi;(k+1)\pi \right ),\) gdzie \(k\in \mathbb{C}\)
\({\displaystyle \int \frac{dx}{\cos^{2}x}=\textrm{ tg }x +C}\) \({\displaystyle x \in \left ( - \frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+ k\pi \right )},\) gdzie \(k\in \mathbb{C}\)
\({\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^{2}}=\textrm{ arctg }x+C}\) \( x \in\mathbb{R}\)
\({\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\textrm{arcsin }x+C}\) \(\left | x \right |\lt 1\)
\({\displaystyle \int \textrm{sh } x\ dx=\textrm{ ch }x+C}\) \(x \in \mathbb{R}\)
\({\displaystyle \int \textrm{ch } x\ dx=\textrm{ sh }x+C}\) \(x \in \mathbb{R}\)
\({\displaystyle \int \frac{dx}{\textrm{sh }^{2} x}=-\textrm{ cth }x+C}\) \(x\neq 0\)
\({\displaystyle \int \frac{dx}{\textrm{ch }^{2} x}=-\textrm{ th }x+C}\) \(x \in \mathbb{R}\)
  \(C\) oznacza dowolną stałą rzeczywistą

 Całka 1

\({\displaystyle \int x^{2}\ dx}\)

 Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru \({\displaystyle \int x^{n}\ dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C}\) dla \(n=2,\) wyznaczamy całkę z funkcji \(x^{2}\) dla dowolnej liczby rzeczywistej \(C.\)
\[{\displaystyle \int x^{2}\ dx =  \frac{x^{2+1}}{2+1}+C=\frac{1}{3}x^{3}+C}.\]

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int x^{2}\ dx =\frac{1}{3}x^{3}+C}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int \sqrt[5]{x^{3}}\ dx}\)

 Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru \({\displaystyle \int x^{\alpha}\ dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C},\) jednak najpierw doprowadzamy funkcję pod całką do postaci \(x^{\alpha}.\)
\({\displaystyle \int \sqrt[5]{x^{3}}\ dx =\int x^{\frac{3}{5}}\ dx = \frac{x^{\frac{3}{5}+1}}{\frac{3}{5}+1}+C=\frac{x^{\frac{8}{5}}}{\frac{8}{5}}+C=\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}}+C=\frac{5}{8}\sqrt[5]{x^{8}}+C=\frac{5}{8}x\sqrt[5]{x^{3}}+C}.\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \sqrt[5]{x^{3}}\ dx =\frac{5}{8}x\sqrt[5]{x^{3}}+C}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int 12^{x}\ dx}\)

 Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru \({\displaystyle \int a^{x}\ dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C}:\)
\[{\displaystyle \int 12^{x}\ dx= \frac{12^{x}}{\ln 12}+C}.\]

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int 12^{x}\ dx= \frac{12^{x}}{\ln 12}+C}\)

 Polecenie

Oblicz podane całki nieoznaczone.

 Całka 1

\({\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt[3]{x^{7}}}}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt[3]{x^{7}}}=  \int x^{-\frac{7}{3}}\ dx =\frac{x^{-\frac{7}{3}+1}}{-\frac{7}{3}+1} +C=-\frac{3}{4}x^{-\frac{4}{3}}+C}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int \frac{\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{4}{3}}}\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \frac{\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{4}{3}}}\ dx=\int x^{\frac{1}{3}-\frac{4}{3}}\ dx=\int \frac{1}{x}\ dx=\ln\left | x \right |+C}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int \left ( 1+\textrm{ctg }^{2}x \right )\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int \left ( 1+\textrm{ctg }^{2}x \right )\ dx=\int \left ( 1+\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x} \right )\ dx=}\\
{\displaystyle \int \left ( \frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin^{2}x} \right )\ dx=\int \frac{1}{\sin^{2}x}\ dx=
-\textrm{ ctg }x+C}\)

 Polecenie

Dobierz właściwą funkcję pierwotną do podanych funkcji podcałkowych, wpisując jako wynik odpowiedni numer funkcji pierwotnej.
Uwaga
Sprawdź poprawność rozwiązania przyciskiem "Sprawdź" lub na końcu klikając "Sprawdź poprawność odpowiedzi".
1. \({\displaystyle -\cos x+C}\) 2.\({\displaystyle \textrm{ arctg }x+C}\) 3. \({\displaystyle e^{x}+C}\) 4. \({\displaystyle C}\) 5. \({\displaystyle 4x+C}\)
6.\({\displaystyle \textrm{ sh }x+C}\) 7.\({\displaystyle \frac{x^{8}}{8}+C}\) 8. \({\displaystyle \ln\left | x \right |+C}\) 9.\({\displaystyle \textrm{ tg }x +C}\) 10.\({\displaystyle \frac{3^{x}}{\ln 3}}+C\)

\({\displaystyle \int \frac{1}{x}\ dx}\)

\(=\)

 \({\displaystyle \int x^{7}\ dx}\)

\(=\)

 \({\displaystyle \int \sin x\ dx}\)

\(=\)

\({\displaystyle \int e^{x}\ dx }\)

\(=\)

\({\displaystyle \int 0\ dx}\)

\(=\)

 \({\displaystyle \int 3^{x}\ dx}\)

\(=\)

 \({\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^{2}}}\)

\(=\)

\({\displaystyle \int \textrm{ch } x\ dx}\)

\(=\)

 \({\displaystyle \int \frac{dx}{\cos^{2}x}}\)

\(=\)

\({\displaystyle \int 4\ dx}\) 

\(=\)

Podsumowanie