Zadanie 9.3

Polecenie

Oblicz całki oznaczone metodą całkowania przez części.

Wskazówki

Twierdzenie (o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych)

Jeżeli funkcje

$f$ i

$g$ mają ciągłe pochodne na przedziale

$\left \langle a;b \right \rangle,$ to

${\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)g'(x)\ dx=\Big [ f(x)g(x)\Big ]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\ dx}.$

Całka 1

$\int_{0}^{e} x\ln x^{2}\ dx$

Rozwiązanie

Korzystając z

$\int_{a}^{b} f(x)g'(x)\ dx=\Big [ f(x)g(x)\Big ]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)\ dx$ dostaniemy:

${\displaystyle \int_{0}^{e} x\ln x^{2}\ dx= \begin{vmatrix} f(x)=\ln x^{2} & g'(x)=x\\ f'(x)=\frac{1}{x^{2}}\cdot 2x & g(x)=\frac{x^{2}}{2} \end{vmatrix}= \Big [ \frac{x^{2}}{2}\ln x^{2} \Big ]_{0}^{e}-\int_{0}^{e} \left (\frac{2}{x}\cdot \frac{x^{2}}{2} \right )\ dx=\Big [ \frac{x^{2}}{2}\ln x^{2} \Big ]_{0}^{e}-\int_{0}^{e} x\ dx=\Big [ \frac{x^{2}}{2}\ln x^{2} \Big ]_{0}^{e}-\Big [ \frac{x^{2}}{2} \Big ]_{0}^{e}=\left (\frac{e^{2}}{2}\ln e^{2}-0 \right )-\left ( \frac{e^{2}}{2}-0 \right )=e^{2}-\frac{e^{2}}{2}=\frac{e^{2}}{2}}.$

Możemy również wyznaczyć całkę nieoznaczoną stosując metodę całkowania przez części oraz mając wynik zastosować twierdzenie Newtona - Leibniza dla odpowiednich granic całkowania.

Odpowiedź

$\int_{0}^{e} x\ln x^{2}\ dx=\frac{e^{2}}{2}$

Całka 2

$\int_{0}^{\pi}x\sin^{2}x\ dx$

Rozwiązanie

Aby obliczyć podaną całkę wyprowadzimy najpierw wzór, który potrzebny będzie przy obliczaniu całki z

$\sin^{2}x$ podczas całkowania przez części.

$\cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos 2x}\\ {\displaystyle \left (1-\sin^{2}x \right )-\sin^{2}x=\cos 2x}\\ {\displaystyle 1-2\sin^{2}x=\cos 2x}\\ {\displaystyle 1-\cos 2x=2\sin^{2}x}\\ {\displaystyle \sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
Zatem, stosując twierdzenie o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych, dostaniemy:

${\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin^{2}x\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=x & g'(x)=\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}\\ f'(x)=1 & g(x)=\frac{2x-\sin 2x}{4} \end{vmatrix}=\Big [ \frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{4}x\sin 2x \Big ]_{0}^{\pi} -\int_{0}^{\pi}\left ( \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x \right )\ dx=\frac{\pi^{2}}{2}-\frac{1}{4}\pi \sin 2\pi -0 -\Big[\frac{x^{2}}{4}+\frac{1}{8}\cos 2x \Big ]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^{2}}{2}-\left (\frac{\pi^{2}}{4}+\frac{1}{8}\cos 2\pi -0-\frac{1}{8}\cos 0 \right )= \frac{\pi^{2}}{2}-\frac{\pi^{2}}{4}-\frac{1}{8}\cos 2\pi +\frac{1}{8}\cos 0=\frac{\pi^{2}}{4}}.$

Odpowiedź

$\int_{0}^{\pi}x\sin^{2}x\ dx=\frac{\pi^{2}}{4}$

Całka 3

$\int_{0}^{2}x^{2}e^{-x}\ dx$

Rozwiązanie

Krok 1

Do wyznaczenia całki

$\int_{0}^{2}x^{2}e^{-x}\ dx$ wykorzystamy dwukrotnie twierdzenie o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych.
Za

$f$ i

$g'$ podstawiamy takie funkcje, aby zredukować wyrażenie podcałkowe.
Stosując twierdzenie następująco:

${\displaystyle \begin{vmatrix} f(x)=x^{2} & g'(x)=e^{-x}\\ f'(x)=2x & g(x)=-e^{-x} \end{vmatrix}},$
otrzymamy:

$\int_{0}^{2}x^{2}e^{-x}\ dx=$

$\Big [ -x^{2}e^{-x}\Big ]_{0}^{2}-\int_{0}^{2}xe^{-x}\ dx$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\Big [ x^{2}e^{-x}\Big ]_{0}^{2}- 2\int_{0}^{2}xe^{-x}\ dx$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\Big [ -x^{2}e^{-x}\Big ]_{0}^{2}+ 2\int_{0}^{2}xe^{-x}\ dx$

Odpowiedź prawidłowa

Krok 2

W kolejnym kroku stosujemy kolejny raz twierdzenie o całkowaniu przez części dla całki oznaczonej. Prawidłowym zastosowaniem twierdzenia, prowadzącym do rozwiązania, jest:

$\begin{vmatrix} f(x)=xe^{-x} & g'(x)=1\\ f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot (-1)e^{-x} & g(x)=0 \end{vmatrix}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\begin{vmatrix} f(x)=e^{-x} & g'(x)=x\\ f'(x)=-e^{-x} & g(x)=\frac{x^{2}}{2} \end{vmatrix}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\begin{vmatrix} f(x)=x & g'(x)=e^{-x}\\ f'(x)=1 & g(x)=-e^{-x} \end{vmatrix}$

Odpowiedź prawidłowa

Krok 3

W wyniku powyższych działań otrzymamy

$\int_{0}^{2}x^{2}e^{-x}\ dx=$

$\Big [ -x^{2}e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}\Big ]_{0}^{2}$

Odpowiedź prawidłowa

${\displaystyle\Big [ -x^{2}e^{-x}+2xe^{-x}+4e^{-x}\Big ]_{0}^{2}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

${\displaystyle\Big [ -x^{2}e^{-x}-2xe^{-x}+2e^{-x}\Big ]_{0}^{2}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 4

Podstawiając górną i dolą granicę całkowania dostaniemy:

$\int_{0}^{2}x^{2}e^{-x}\ dx=\Big [ -x^{2}e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}\Big ]_{0}^{2}=$

$-4e^{-2}-4e^{-2}-2e^{-2}-2=-10e^{-2}-2$

Odpowiedź nieprawidłowa

$-4e^{-2}-4e^{-2}-2e^{-2}+2=-10e^{-2}+2$

Odpowiedź prawidłowa

$-4e^{-2}+4e^{-2}-2e^{-2}+2=-2e^{-2}+2$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\int_{0}^{2}x^{2}e^{-x}\ dx= \begin{vmatrix} f(x)=x^{2} & g'(x)=e^{-x}\\ f'(x)=2x & g(x)=-e^{-x} \end{vmatrix}=\Big [ -x^{2}e^{-x}\Big ]_{0}^{2}+2\int_{0}^{2}xe^{-x}\ dx= \begin{vmatrix} f(x)=x & g'(x)=e^{-x}\\ f'(x)=1 & g(x)=-e^{-x} \end{vmatrix}=\Big [ -2^{2}e^{-2}-0\Big ]+2\Big[ -xe^{-x}\Big]_{0}^{2}+2\int_{0}^{2}e^{-x}\ dx= -4e^{-2}+2\Big[ -2e^{-2}-0\Big]+2\Big [ -e^{-x}\Big ]_{0}^{2}= -4e^{-2}-4e^{-2}-2e^{-2}+2\cdot e^{0}=-4e^{-2}-4e^{-2}-2e^{-2}+2=-10e^{-2}+2$

Odpowiedź

$\int_{0}^{2}x^{2}e^{-x}\ dx=-10e^{-2}+2$

Zadanie 9.2

Polecenie

Oblicz całki oznaczone metodą całkowania przez części.

Całka 1

$\int_{0}^{\ln 3}xe^{x}\ dx$

Odpowiedź

$\int_{0}^{\ln 3}xe^{x}\ dx=3\ln 3-2$

Rozwiązanie

$\int_{0}^{\ln 3}xe^{x}\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=x & g'(x)=e^{x}\\ f'(x)=1 & g(x)=e^{x} \end{vmatrix}=\Big[ xe^{x}\Big]_{0}^{\ln 3}- \int_{0}^{\ln 3}e^{x}\ dx=\Big[ xe^{x}-e^{x}\Big]_{0}^{\ln 3}=\ln 3\cdot e^{\ln 3}-e^{\ln 3}-(0\cdot e^{0}-e^{0})=3\ln 3-3+1=3\ln 3-2$

Całka 2

$\int_{0}^{1}\textrm{ arctg }x\ dx$

Odpowiedź

$\int_{0}^{1}\textrm{ arctg }x\ dx=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2$

Rozwiązanie

$\int_{0}^{1}\textrm{ arctg }x\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=\textrm{ arctg }x & g'(x)=1\\ f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}} & g(x)=x \end{vmatrix}=\Big [ x\textrm{ arctg }x \Big ]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}\ dx=\Big [ x\textrm{ arctg }x \Big ]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{2x}{1+x^{2}}\ dx=\Big [ x\textrm{ arctg }x \Big ]_{0}^{1}-\Big [ \frac{1}{2}\ln (1+x^{2}) \Big ]_{0}^{1}=1\textrm{ arctg }1-0-\frac{1}{2}\left ( \ln(1+1)-\ln 1 \right )=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}(\ln 2-0)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2$

Całka 3

$\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx$

Odpowiedź

$\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx=\frac{1}{8}$

Rozwiązanie

${\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx=\begin{vmatrix} f(x)=\ln x & g'(x)=\frac{1}{x}\\ f'(x)=\frac{1}{x} & g(x)=\ln x \end{vmatrix}=\Big [ \ln^{2}x \Big ]_{1}^{\sqrt{e}}-\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx}\\ \\ {\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx=\Big [ \ln^{2}x \Big ]_{1}^{\sqrt{e}}-\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx}\\ {\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx+\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx=\Big [ \ln^{2}x \Big ]_{1}^{\sqrt{e}}}\\ {\displaystyle 2\int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx=\Big [ \ln^{2}x \Big ]_{1}^{\sqrt{e}} \ \ /:2}\\ {\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx=\frac{1}{2}\Big [ \ln^{2}x \Big ]_{1}^{\sqrt{e}}}\\ {\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{\ln x}{x}\ dx=\frac{1}{2}\left ( \ln^{2}\sqrt{e} -\ln^{2} 1 \right )=\frac{1}{2}\left (\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-0 \right )=\frac{1}{8}}\\$

Polecenie

Wskazówki

Twierdzenie (o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych)

Całka 1

Rozwiązanie

Odpowiedź

Całka 2

Rozwiązanie

Odpowiedź

Całka 3

Rozwiązanie

Krok 1

Krok 2

Krok 3

Krok 4

Odpowiedź

Polecenie

Całka 1

Odpowiedź

Rozwiązanie

Całka 2

Odpowiedź

Rozwiązanie

Całka 3

Odpowiedź

Rozwiązanie

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Podsumowanie