Zadanie 9.4
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 9. Całka oznaczona
  3. Zadanie 9.4

 Polecenie

Stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całek oznaczonych oblicz całki.

 Wskazówki

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie dla całek oznaczonych)

Niech
  • funkcja \(f\) ciągła na odcinku \(\left \langle a;b \right \rangle\) posiada ciągłą na \(\left \langle a;b \right \rangle\) pierwszą pochodną,
  • funkcja \(\varphi (t):\left \langle \alpha ;\beta \right \rangle \ \rightarrow \ \left \langle a;b \right \rangle, \ \ \varphi (\alpha )=a, \ \varphi (\beta )=b,\)
wówczas zachodzi wzór
\[{\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\ dx=\int_{\alpha}^{\beta}f\left [ \varphi (t) \right ]\cdot \varphi '(t)\ dt}.\]

Własności całki oznaczonej funkcji parzystej, nieparzystej, okresowej

Jeśli funkcja \(f\) jest funkcją parzystą \(\Big ( f(x)=f(-x) \Big )\), wówczas:
\[{\displaystyle \int_{-a}^{a}f(x)\ dx=2\int_{0}^{a}f(x)\ dx}.\]
Jeśli funkcja \(f\) jest funkcją nieparzystą \( \Big ( -f(x)=f(-x) \Big ) \), wówczas:
\[{\displaystyle \int_{-a}^{a}f(x)\ dx=0}.\]
Jeśli funkcja \(f\) jest funkcją okresową, o okresie głównym \(T, \ \ \Big ( f(x+T)=f(x) \Big ) \), wówczas:
\[{\displaystyle \int_{a}^{a+T}f(x)\ dx=\int_{0}^{T}f(x)\ dx}.\]

 Całka 1

\({\displaystyle \int_{0}^{2}\frac{dx}{\sqrt{16-x^{2}}}}\)

 Rozwiązanie

amy Metoda podstawiania dla całek oznaczonych różni się od metody podstawiania dla całek nieoznaczonych w dwóch miejscach. Po pierwsze dokonując podstawienia zawsze musimy za jego pomocą zmienić granice całkowania. Jednocześnie, jeśli zmienimy granice całkowania nie ma już potrzeby wracania do podstawienia, co zawsze robiliśmy w przypadku całek nieoznaczonych.

W przypadku całki \({\displaystyle \int_{0}^{2}\frac{dx}{\sqrt{16-x^{2}}}}\) możemy użyć podstawienia \(x=4t.\) Można również wyłączyć \(16\) przed pierwiastek w mianowniku (otrzymamy \(4.\))
Granice całkowania zmieniamy podstawiając do wzoru na \({\displaystyle x=4t \ \ \rightarrow  \ \ t=\frac{x}{4}},\) zatem dolna granica całkowania wyniesie \({\displaystyle t=\frac{0}{4}=0}\) oraz górna granica całkowania \({\displaystyle t=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}}.\)
Mamy zatem:
\({\displaystyle \int_{0}^{2}\frac{dx}{\sqrt{16-x^{2}}}=\begin{vmatrix}
x=4t\\
dx=4dt
\end{vmatrix}=\int_{\frac{0}{4}}^{\frac{2}{4}}\frac{4dt}{\sqrt{16-16t^{2}}}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{4dt}{4\sqrt{1-t^{2}}}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}=\Big[ \textrm{ arcsin }t \Big]_{0}^{\frac{1}{2}}=\textrm{ arcsin }\frac{1}{2}-\textrm{ arcsin }0=\frac{\pi}{6}}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{0}^{2}\frac{dx}{\sqrt{16-x^{2}}}=\frac{\pi}{6}}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{e^{\cos x}}\ dx}\)

 Rozwiązanie

Funkcja podcałkowa zawiera funkcję sinus i jej pochodną lub odwrotnie (funkcję cosinus i jej pochodną). Jak zdecydować za jaką funkcję dokonać podstawienia?
Wybieramy takie podstawienie, aby wyznaczona pochodna podstawionej za \(t\) funkcji, znajdowała się jako niezależna funkcja (nie jako element funkcji złożonej). To oznacza, że wybierzemy podstawienie \(\cos x=t.\)

Dokonując powyższego podstawienia wyznaczamy całkę, zmieniając odpowiednio granice całkowania.
Otrzymamy wówczas:
\({\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{e^{\cos x}}\ dx=\begin{vmatrix}
\cos x=t\\
-\sin x\ dx=dt\\
\sin x\ dx=-dt
\end{vmatrix}=\int_{1}^{-1}\frac{-dt}{e^{t}}=-\int_{1}^{-1}e^{-t}\ dt =\cdots },\)
gdzie granice całkowania obliczamy, podstawiając \(\cos 0 = 0\) oraz \(\cos \pi = -1.\)

Otrzymaną całkę można obliczyć w pamięci, ale możemy również dokonać stosownego podstawienia \(-t =s\), kolejny raz zmieniając granice całkowania.
Wystarczy zastosować twierdzenie Newtona - Laibniza.
\({\displaystyle \cdots =\begin{vmatrix}
-t=s\\
-dt=ds\\
dt=-ds
\end{vmatrix}=\int_{-1}^{1}e^{s}\ ds=\Big[ e^{s} \Big]_{-1}^{1}=e^{1}-e^{-1}=e-\frac{1}{e}}.\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{e^{\cos x}}\ dx=e-\frac{1}{e}}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+\sqrt{1-x^{2}}}}\)

 Rozwiązanie

Aby rozwiązać całkę należy użyć jednego z podstawień. Sprawdź, które podstawienie doprowadzi do rozwiązania i wybierz to właściwe.

\[\begin{vmatrix}
x=\sin t\\
dx=\cos t\ dt
\end{vmatrix}\]

\[\begin{vmatrix}
x=\cos t\\
dx=-\sin t\ dt
\end{vmatrix}\]

 Podstawienie 1

\({\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+\sqrt{1-x^{2}}}=\begin{vmatrix}
x=\sin t\\
dx=\cos t\ dt
\end{vmatrix}=\cdots }\)
Zmieniamy granice całkowania. Ponieważ funkcja sinus jest okresowa, to rozwiązań podanych niżej równań jest nieskończenie wiele. Wybieramy zwykle te, które znajdują się najbliżej punktu \(0\) oraz należą do tego samego "fragmentu" funkcji okresowej. Korzystamy w ten sposób z  \({\displaystyle \int_{a}^{a+T}f(x)\ dx=\int_{0}^{T}f(x)\ dx}\) .
\({\displaystyle -1=\sin t \ \ \Rightarrow \ \ t=-\frac{\pi}{2}}\\
{\displaystyle 1=\sin t  \ \ \Rightarrow \ \ t=\frac{\pi}{2}}.\)
Mamy zatem:
\({\displaystyle \cdots = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos t\ dt}{1+\sqrt{1-\sin^{2}t}}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos t\ dt}{1+\cos t}= \cdots }\)
W tej chwili należy pomyśleć jakie zastosować kolejne podstawienie. Jest to całka oznaczona z funkcji trygonometrycznych, gdzie funkcja cosinus występuje w nieparzystej potędze. W grę wchodzi podstawienie uniwersalne \( {\displaystyle s=\textrm{ tg }\frac{t}{2}}.\) Przekształcamy otrzymane wyrażenie i obliczamy całkę.
\( {\displaystyle \cdots =\begin{vmatrix}
s=\textrm{ tg }\frac{t}{2}\\
\cos t=\frac{1-s^{2}}{1+s^{2}}\\
dt=\frac{2ds}{1+s^{2}}
\end{vmatrix}=\int_{-1}^{1}\frac{\frac{1-s^{2}}{1+s^{2}}\cdot \frac{2ds}{1+s^{2}}}{1+\frac{1-s^{2}}{1+s^{2}}}=\int_{-1}^{1}\frac{\frac{2(1-s^{2})}{(1+s^{2})^{2}}ds}{\frac{1+s^{2}+1-s^{2}}{1+s^{2}}}=\int_{-1}^{1}\frac{2(1-s^{2})}{1+s^{2}}\cdot \frac{ds}{2}=\int_{-1}^{1}\frac{1-s^{2}}{1+s^{2}}ds=\int_{-1}^{1}\frac{-(1+s^{2})+2}{1+s^{2}}ds=\int_{-1}^{1}\left [ -1+\frac{2}{1+s^{2}}\right ]ds=\Big [-s+2\textrm{ arctg }s  \Big ]_{-1}^{1}= -1+2\textrm{ arctg }1-(1+2\textrm{ arctg }(-1))=-1+2\cdot \frac{\pi}{4}-1-2\cdot\left (-\frac{\pi}{4}  \right )=\pi-2}\)

 Podstawienie 2

\({\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+\sqrt{1-x^{2}}}=\begin{vmatrix}
x=\cos t\\
dx=-\sin t\ dt
\end{vmatrix}=\cdots }\)
Zmieniamy granice całkowania. Ponieważ funkcja sinus jest okresowa, to rozwiązań podanych niżej równań jest nieskończenie wiele. Wybieramy zwykle te, które znajdują się najbliżej punktu \(0\) oraz należą do tego samego "fragmentu" funkcji okresowej.
\({\displaystyle -1=\cos t \ \ \Rightarrow \ \ t=-\pi}\\
{\displaystyle 1=\cos t  \ \ \Rightarrow \ \ t=0}.\)
Mamy zatem:
\({\displaystyle \cdots = \int_{-\pi}^{0}\frac{-\sin t\ dt}{1+\sqrt{1-\cos^{2}t}}=-\int_{-\pi}^{0}\frac{\sin t\ dt}{1+\sin t}= \cdots }\)
W tej chwili należy pomyśleć jakie zastosować kolejne podstawienie. Jest to całka oznaczona z funkcji trygonometrycznych, gdzie funkcja cosinus występuje w nieparzystej potędze. W grę wchodzi podstawienie uniwersalne \( {\displaystyle s=\textrm{ tg }\frac{t}{2}}.\) Zmieniając granice całkowania niestety trafimy na problem.
Przy podstawieniu
\( {\displaystyle \cdots =\begin{vmatrix}
s=\textrm{ tg }\frac{t}{2}\\
\cos t=\frac{1-s^{2}}{1+s^{2}}\\
dt=\frac{2ds}{1+s^{2}}
\end{vmatrix}}\)
zmieniamy granice całkowania:
\({\displaystyle  s=\textrm{ tg }\Big ( -\frac{\pi}{2}\Big )}\) - nie istnieje.
Nie można zatem obliczyć tej całki dokonując powyższego podstawienia.

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+\sqrt{1-x^{2}}}=\pi-2}\)

 Polecenie

Stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie dla całek oznaczonych oblicz całki.

 Całka 1

\({\displaystyle \int_{1}^{5}x^{2}\sqrt{x-1}\ dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{1}^{5}x^{2}\sqrt{x-1}\ dx=\frac{7088}{105}}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int_{1}^{5}x^{2}\sqrt{x-1}\ dx=\begin{vmatrix}
\sqrt{x-1}=t \ \ \Rightarrow \ \ x-1=t^{2} \ \ \Rightarrow \ \ x=t^{2}+1\\
\frac{1}{2\sqrt{x-1}}dx=dt \ \ \Rightarrow \ \ dx=2tdt
\end{vmatrix}=\int_{0}^{2}(t^{2}+1)^{2}\cdot t\ dt=2\int_{0}^{2}\left ( t^{6}+2t^{4}+t^{2} \right )\ dt=2\Big [ \frac{t^{7}}{7}+2\frac{t^{5}}{5}+\frac{t^{3}}{3} \Big ]_{0}^{2} =2\left [ \frac{128}{7}+2\frac{32}{5}+\frac{2^{3}}{3} -(0+0+0)\right ]=\frac{256}{6}+\frac{128}{5}+\frac{16}{3}=\frac{3840}{105}+\frac{2688}{105}+\frac{560}{105}=\frac{7088}{105}}\)

 Całka 2

\({\displaystyle \int_{\ln \frac{\sqrt{3}}{2}}^{\ln \frac{1}{2}}\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{\ln \frac{\sqrt{3}}{2}}^{\ln \frac{1}{2}}\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}=-\frac{\pi}{6}}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int_{\ln \frac{\sqrt{3}}{2}}^{\ln \frac{1}{2}}\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}=\begin{vmatrix}
e^{x}=t & \ \rightarrow  \  t_{1}=e^{\ln \frac{1}{2}}=\frac{1}{2}, \ t_{2}=e^{\ln \frac{\sqrt{3}}{2}}= \frac{\sqrt{3}}{2}\\
e^{x}dx=dt
\end{vmatrix}=\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}=\Big[ \textrm{ arcsin }t \Big]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}}=\textrm{ arcsin }\frac{1}{2} -\textrm{ arcsin }\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}}\)

 Całka 3

\({\displaystyle \int_{1}^{3}\frac{3x}{1+x^{2}}dx}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \int_{1}^{3}\frac{3x}{1+x^{2}}\ dx=\frac{3\ln 5}{2}}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle \int_{1}^{3}\frac{3x}{1+x^{2}}\ dx=\frac{3}{2}\int_{1}^{3}\frac{2x}{1+x^{2}}\ dx=\frac{3}{2}\Big [ \ln(1+x^{2}) \Big ]_{1}^{3}=\frac{3}{2}\left ( \ln 10-\ln 2 \right )=\frac{3\ln 5}{2}}\)
Cały quiz polega na rozwiązaniu całki \({\displaystyle \int_{-2}^{2}\sqrt{16-x^{2}}\ dx}
\) metodą podstawiania. Rozwiąż kolejno zadania 1-6 aby rozwiązać całkę i wybierz prawidłową odpowiedź.
W zadaniach 1-6 dokładnie jedna odpowiedź jest prawidłowa. Wybierz ją i sprawdź klikając przycisk "Sprawdź" lub na końcu "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Licząc całkę \({\displaystyle \int_{-2}^{2}\sqrt{16-x^{2}}\ dx}\) powinniśmy skorzystać z podstawienia:

Zadanie 2

Korzystając z podanego w zadaniu 1 podstawienia zmieniamy granice całkowania, w następujący sposób:

Zadanie 3

W wyniku zastosowanego podstawienia (oraz po obliczeniu nowych granic całkowania) otrzymamy:

Zadanie 4

Aby przekształcić funkcję podcałkową i wyznaczyć podaną całkę, zastosujemy wzór:

Zadanie 5

Po zastosowaniu wybranego w zadaniu 4 wzoru otrzymamy całkę:

Zadanie 6

Licząc całkę oraz stosując twierdzenie Newtona - Leibniza otrzymamy:

Podsumowanie