Korzystając z własności potęg uprość, a następnie oblicz wartość wyrażenia dla podanych wartości \(a\) i \(b\), gdzie \(a,b>0.\)
\[a^{n}\cdot a^{m}= a^{n+m}\]
\[2^{3}\cdot 2^{5}=2^{3+5}=2^{8}\]
\[x^{3}\cdot x=x^{3+1}=x^{4}\]
\[a^{n}\div a^{m}=a^{n-m}\]
\[5^{10}\div 5^{15}=5^{-5}=\frac{1}{5^{5}}\]
\[a^{6}\div a=a^{6-1}=a^{5}\]
\[a^{n}\cdot b^{n}=\left ( a\cdot b \right )^{n}\]
\[4^{2}\cdot 5^{2}=\left ( 4\cdot 5 \right )^{2}\]
\(\left ( 0,5 \right )^{-4}\cdot 10^{-4}=\) \(\left ( 0,5\cdot 10 \right )^{-4}=5^{-4}=\frac{1}{5^{4}}\)
\[\frac{a^{n}}{b^{n}} = \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}\]
\(\left ( 3,6 \right )^{3}\div \left ( 1,2 \right )^{3}=\) \(\left ( 3,6\div 1,2 \right )^{3}=3^{3}=27\)
\(\left ( -45 \right )^{-1}\div \left ( 15 \right )^{-1}=\) \(\left ( -45\div 15 \right )^{-1}=3^{-1}=\frac{1}{3}\)
\[\left ( a^{n} \right )^{m}=a^{n\cdot m}\]
\[\left ( 5^{4} \right )^{5}=5^{4\cdot 5}=5^{20}\]
\(\left ( -2 ^{-3}\right )^{-2}=\left ( -2 \right )^{-3\cdot \left ( -2 \right )}=\) \(\left ( -2 \right )^{6}=64\)
Aby uprościć wyrażenie należy skorzystać z własności potęg.
Pierwszym krokiem jest skorzystanie ze wzoru na potęgę potęgi. Musimy również wiedzieć, że potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg.Mamy zatem\[\left [ \large{\displaystyle\frac{a^{-\frac{1}{3}}b(ab^{2})^{-2}a^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{b}\left ( \sqrt[3]{a} \right )^{-1}\left ( a^{2}b \right )^{\frac{3}{2}}} }\right ]^{\displaystyle\frac{1}{2}} =\left [ \large{\displaystyle\frac {a^{-\frac{1}{3}}ba^{-2}b^{-4}a^{\frac{2}{3}}} {b^{\frac{1}{2}}a ^{-\frac {1}{3}} a^{3}b ^{\frac{3}{2}}} }\right ]^{\displaystyle\frac{1}{2}}=\cdots \]W następnym kroku korzystamy z własności, że iloczyn potęg o tych samych podstawach jest równy potędze o wykładniku równym sumie wykładników mnożonych potęg \[\cdots =\left [ \large{\displaystyle\frac{a^{-\frac{1}{3}-2+\frac{2}{3}}b^{1-4}}{a^{-\frac{1}{3}+3}b^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}}} \right ]^{\displaystyle\frac{1}{2}}=\cdots \]Po wykonaniu działań na potęgach\[\cdots =\left [\large{ \displaystyle\frac{a^{-1\frac{2}{3}}b^{-3}}{a^{\frac{8}{3}}b^{2}} }\right ]^{\displaystyle\frac{1}{2}}=\cdots \]
Korzystamy z własności, że iloraz potęg o tych samych podstawach jest równy potędze o wykładniku równym różnicy wykładników dzielonych potęg.
\[\cdots =\left (\large{ a^{-\frac{5}{3}-\frac{8}{3}}b^{-3-2} }\right )^{\displaystyle\frac{1}{2}}=\left (\large{ a^{-\frac{13}{3}}b^{-5}} \right )^{\displaystyle\frac{1}{2}}=\cdots \] a to znowu korzystając z potęgowania potęgi wynosi \[\cdots =\large{ a ^{-\frac{13}{6}}b^{-\frac{5}{2}}}.\]
Aby obliczyć wartość danego wyrażenia dla podanych liczb, musimy te liczby podstawić w miejsce niewiadomych do uzyskanego wyrażenia.
Zatem podstawiając za \(a= \displaystyle\frac{1}{\sqrt[5]{2}}, b = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) dostaniemy:
\[ \large{ (\displaystyle\frac{1}{\sqrt[5]{2}})^{-\frac{13}{6}} (\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}})^{-\frac{5}{2}} =(2^{-\frac{1}{5}})^{-\frac{13}{6}}(2^{-\frac{1}{2}})^{-\frac{5}{2}}=2^{\frac{13}{30}}2^{\frac{5}{4}}= 2^{\frac{13}{30}+\frac{5}{4}}=2^{\frac{26}{60}+\frac{75}{60}}=2^{\frac{101}{60}}}.\]
Uproszczone wyrażenie ma postać:
\[\frac{64 b^{3}}{a^{2}}\]
\[\frac{a^{2}}{64 b^{3}}\]
\[\frac{2b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}}}\]
\[\frac{a^{\frac{1}{3}}}{2b^{\frac{1}{2}}}\]
Licząc wartość liczbową wyrażenia \(\left ( \sqrt[3]{\displaystyle\frac{b^{2}}{a}}\cdot \displaystyle\frac{2}{\sqrt{a^{2}b}}\cdot a\cdot \sqrt[3]{b} \right )^{-6},\) dla \( a=2\sqrt{2}, b=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\) dostaniemy:
\[4\]
\[\frac{1}{64}\]
\[\frac{1}{4}\]
\[64\]
Wszystkie etapy zadania 2.1.1.2 zostały wykonane prawidłowo.
Musimy tak przekształcić dane wyrażenie aby można było je skrócić lub zapisać w prostszej postaci.Tutaj widać wyraźnie, że wszystkie liczby są potęgami liczby 3. Będziemy również dążyć do tego aby w mianowniku wyłączyć wspólny czynnik przed nawias, i tym sposobem uprościć wyrażenie. W innym przypadku uproszczenie nie byłoby możliwe, gdyż nie wolno skracać z tylko jednym składnikiem sumy.Zapiszmy zatem wszystkie liczby za pomocą potęg o podstawie 3:\[\displaystyle\frac{3^{\frac{3}{2}}\cdot 3^{2n}}{3^{2(n-1)}+3 ^{2n+1}}=\displaystyle\frac{3^{\frac{3}{2}}\cdot 3^{2n}}{3^{2n-2}+3 ^{2n+1}}.\]W mianowniku wybieramy wspólny czynnik \(3^{2n}\) i wyłączamy go przed nawias:\(\displaystyle\frac{3^{\frac{3}{2}}\cdot 3^{2n}}{3^{2n}\left ( 3^{-2}+3^{1} \right )}.\)W liczniku i mianowniku mamy wspólny czynnik tj. \(3^{2n}\) . Skracamy go i przekształcamy ułamek działając na liczbach wymiernych.\(\displaystyle\frac{3^{\frac{3}{2}}}{ 3^{-2}+3^{1} } =\displaystyle \frac{3^{\frac{3}{2}}} {\frac{1}{9} +3 } =\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{9}+\frac{27}{9}} =\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{\frac{28}{9}}=\displaystyle\frac{9\cdot 3\sqrt{3}}{28}=\displaystyle\frac{27\sqrt{3}}{28}.\)
Wybierz odpowiedź i sprawdź. Aby przejść do kolejnego kroku musisz udzielić poprawnej odpowiedzi.
Przedstawiając kolejne potęgi jako potęgę liczby 4, dostaniemy:
\[\frac{4^{n}+5\cdot 4^{n+2}}{4^{2n}}\]
\[\frac{4^{n}+5\cdot 4^{n+2}}{4^{4n}}\]
\[\frac{16^{n}+5\cdot 16^{n+2}}{16^{2n}}\]
\[\frac{16^{n}+5\cdot 16^{n+2}}{16^{4n}}\]
Wyłączając wspólny czynnik przed nawias i przekształcając odpowiednio mianownik mamy:
\[\frac{16^{n}\left (1 +5\cdot 16^{2}\right )}{16^{n}\cdot 16^{3n}}\]
\[\frac{4^{n}\left (1 +5\cdot 4^{2}\right )}{4^{n}\cdot 4^{n}}\]
\[\frac{16^{n}\left (1 +5\cdot 16^{2}\right )}{16^{n}\cdot 16^{n}}\]
\[\frac{4^{n}\left (1 +5\cdot 4^{2}\right )}{4^{n}\cdot 4^{3n}}\]
Skracając wspólny czynnik z mianownikiem mamy:
\[\frac{1 +5\cdot 16^{2}}{16^{n}}\]
\[\frac{1 +5\cdot 4^{2}}{4^{3n}}\]
\[\frac{1 +5\cdot 16^{2}}{16^{3n}}\]
\[\frac{1 +5\cdot 4^{2}}{4^{n}}\]
\[81\cdot 4^{-n}\]
\[1281\cdot 16^{-n}\]
\[81\cdot 4^{-3n}\]
\[1281\cdot 16^{-3n}\]
Wszystkie etapy zadania 2.1.2.2 zostały wykonane prawidłowo.
Korzystając z własności potęg uprość, a następnie oblicz wartość wyrażenia dla podanych wartości (jeśli są podane), gdzie \(a,b>0\), \(n\in \mathbb{N}.\)
Odpowiedz na pytania wybierając dokładnie jedną prawidłową odpowiedź. Możesz sprawdzić poprawność swojego rozwiązania klikając przycisk "Sprawdź" lub na końcu klikając przycisk "Sprawdź poprawność odpowiedzi".
Uproszczone wyrażenie \(\displaystyle\frac{2^{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt[3]{2}^{5}}\) ma postać:
\[\frac{1}{\sqrt[3]{2}^{4}}\]
\[\sqrt[3]{2}^{5}\]
\[\sqrt[3]{2}\]
Dla dowolnego \(n\in \mathbb{N}\) wyrażenie \(\displaystyle\frac{4^{n}-3\cdot 2^{n}}{2^{3n}}\) jest równe:
\[\displaystyle\frac{2^{n}-1}{2}\]
\[\displaystyle\frac{2^{n}-3}{2}\]
\[\displaystyle\frac{2^{n}-3}{4^{n}}\]
Dla dowolnych \(a,b> 0\) podane wyrażenie \(\left ( \sqrt[3]{a} \right )^{-2}\cdot \displaystyle\frac{a\sqrt[3]{b}^{2}}{\left ( a^{2}b \right )^{\frac{2}{3}}}\) po uproszczeniu ma postać:
\[a^{-1}\]
\[a^{-2}b\]
\[ab^{-2}\]
Wartość wyrażenia \(\displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}\left ( ab^{2} \right )^{2}}{b^{\frac{1}{3}}\left ( ab^{2} \right )^{\frac{1}{3}}}\) dla \(a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}, b=\sqrt[3]{3}\) wynosi:
\[3\]
\[2\]
\[1\]
Drogi użytkowniku, czytelniku, kursancie, jeśli masz pomysł, by udoskonalić e-kurs, chcesz zadać pytanie, natrafiłeś/aś na jakiś problem lub chcesz wyrazić słowa uznania dla naszej pracy, napisz do nas a jeśli chcesz pozostaw swój adres e-mail, byśmy mogli Ci odpowiedzieć.
