Zadanie 2.3.2
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
  3. 2.3 Dwumian Newtona
  4. Zadanie 2.3.2

 Polecenie

Korzystając z trójkąta Pascala rozwiń potęgi.

 Wskazówki

Trójkąt Pascala

Współczynniki rozwinięcia dwumianu Newtona można otrzymać tworząc trójkąt Pascala. Każda z liczb (oprócz jedynek) w trójkącie Pascala jest równa sumie dwóch liczb nad nią. Przykładowo dla \(n=5:\)  \(5=1+4,\) \(10=4+6,\)

\[\begin{array}{rccccccccc}
n=0:&   & &   & &    & &    & &  1\\
n=1:&   & &   & &    & &    & 1 & &  1\\
n=2:&   & &   & &    & &  1 &    & 2 & &  1\\
n=3:&   & &   & &    & 1 & &  3 &    & 3 & &  1\\
n=4:&   & &   & &  1 &    & 4 & &  6 &    & 4 & &  1\\
n=5:&   & &   & 1 & &  5 &    & 10 & &  10 & &  5 &    & 1\\
n=6:&   & &  1 &    & 6 & &  15 & &  20 & &  15 & &  6 &    & 1\\
n=7:&   & 1 & &  7&    & 21 & &  35 & &  35 & &  21 & &  7 &    & 1\\
n=8:&  1 &    & 8&    & 28 & &  56 & &  70 & &  56 & &  28 & &  8&    & 1\\
\end{array} \]
Według danej reguły można wypisywać kolejne wiersze trójkąta Pascala.

 Przykłady

\[(a+b)^{8}=\mathbf{1}a^{8}+ \mathbf{8}a^{7}b+\mathbf{28}a^{6}b^{2}+\mathbf{56}a^{5}b^{3}+ \mathbf{70}a^{4}b^{4}+\mathbf{56}a^{3}b^{5}+ \mathbf{28}a^{2}b^{6}+ \mathbf{8}ab^{7}+ \mathbf{1}b^{8}.\]
W przypadku różnicy wyrażeń \(a\) i \(b\) wystarczy zmienić znak przy współczynnikach, gdzie wyrażenie \(b\) występuje w nieparzystej potędze.
\[(a-b)^{4}=\mathbf{1}a^{4}+ \mathbf{4}a^{3}(-b)+ \mathbf{6}a^{2}(-b)^{2}+\mathbf{4}a(-b)^{3}+\mathbf{1}(-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}.\]

 Ćwiczenia

\(1. \quad (3t+s)^{4}\)

 Rozwiązanie

Podpowiedź
Korzystamy z trójkąta Pascala aby rozpisać czwartą potęgę sumy liczb \(a\) i \(b\)
\[(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\] dla \(a=3t\) oraz \(b=s.\)
\((3t+s)^{4}=(3t)^{4}+4\cdot (3t)^{3}\cdot s+6\cdot (3t)^{2}\cdot s^{2}+4\cdot 3t\cdot s^{3}+s^{4}=81t^{4}+108t^{3}s+54t^{2}s^{2}+12ts^{3}+s^{4}\)

 Odpowiedź

\( (3t+s)^{4}=81t^{4}+108t^{3}s+54t^{2}s^{2}+12ts^{3}+s^{4}\)
\(2. \quad \left (\displaystyle\frac{1}{2}-\sqrt{2} \right )^{6}\)

 Rozwiązanie

Podpowiedź
Korzystamy z trójkąta Pascala aby rozpisać szóstą potęgę różnicy liczb \(a\) i \(b\)
\[(a-b)^{6}=a^{6}-6a^{5}b+15a^{4}b^{2}-20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}-6ab^{5}+b^{6}\] dla \(a=\Large{\frac{1}{2}}\) oraz \(b=\sqrt{2}.\)
\[\begin{array}{l}
\left ( \displaystyle\frac{1}{2}-\sqrt{2} \right )^{6}=\\=\left ( \displaystyle\frac{1}{2} \right )^{6}-6\cdot \left ( \displaystyle\frac{1}{2} \right )^{5}\cdot \sqrt{2}+15\cdot \left ( \displaystyle\frac{1}{2} \right )^{4}\cdot \sqrt{2}^{2}-20\cdot \left ( \displaystyle\frac{1}{2} \right )^{3}\cdot \sqrt{2}^{3}+15\cdot \left ( \displaystyle\frac{1}{2} \right )^{2}\cdot \sqrt{2}^{4}-6\cdot \left ( \displaystyle\frac{1}{2} \right )\cdot \sqrt{2}^{5}+\sqrt{2}^{6}=\\
=\displaystyle\frac{1}{64}-\displaystyle\frac{6\sqrt{2}}{32}+\displaystyle\frac{15\cdot 2}{16}-\displaystyle\frac{20\cdot 2\sqrt{2}}{8}+\displaystyle\frac{15\cdot 4}{4}-\displaystyle\frac{6\cdot 4\sqrt{2}}{2}+8=\\= \displaystyle\frac{1}{64}-\displaystyle\frac{3}{16}\sqrt{2}+\displaystyle\frac{15}{8}-5\sqrt{2}+15-12\sqrt{2}+8=\\=\displaystyle\frac{1}{64}+1\displaystyle\frac{7}{8}+23-17\sqrt{2}-\displaystyle\frac{3}{16}\sqrt{2}=\\=24\displaystyle\frac{57}{64}-17\displaystyle\frac{3}{16}\sqrt{2}=\displaystyle\frac{1593-1100\sqrt{2}}{64}.
\end{array}\]

 Odpowiedź

\(  \left (\displaystyle\frac{1}{2}-\sqrt{2} \right )^{6} = \displaystyle\frac{1593-1100\sqrt{2}}{64}\)
\(3. \quad \left ( x^{2}-t \right )^{8}\)

 Rozwiązanie

Podpowiedź
Korzystamy z trójkąta Pascala aby rozpisać ósmą potęgę różnicy liczb \(a\) i \(b\)
\[(a-b)^{8}=a^{8}-8a^{7}b+28a^{6}b^{2}-56a^{5}b^{3}+70a^{4}b^{4}-56a^{3}b^{5}+28a^{2}b^{6}-8ab^{7}+b^{8}\] dla \(a=x^{2}\) oraz \(b=t.\)
\(\left ( x^{2}-t \right )^{8}=\left ( x^{2} \right )^{8}-8\left (  x^{2} \right )^{7}t+28\left ( x^{2} \right )^{6}t^{2}-56\left ( x^{2} \right )^{5}t^{3}+70\left ( x^{2} \right )^{4}t^{4}-56\left ( x^{2} \right )^{3}t^{5}+28\left ( x^{2} \right )^{2}t^{6}-8x^{2}t^{7}+t^{8}=\)
\(=x^{16}-8x^{14}t+28x^{12}t^{2}-56x^{10}t^{3}+70x^{8}t^{4}-56x^{6}t^{5}+28x^{4}t^{6}-8x^{2}t^{7}+t^{8}\)

 Odpowiedź

\( \left ( x^{2}-t \right )^{8}=x^{16}-8x^{14}t+28x^{12}t^{2}-56x^{10}t^{3}+70x^{8}t^{4}-56x^{6}t^{5}+28x^{4}t^{6}-8x^{2}t^{7}+t^{8}\)

 Polecenie

Korzystając z trójkąta Pascala rozwiń potęgi.

 Ćwiczenia

\(1.\quad \left ( \displaystyle\frac{x^{2}}{2}+1 \right )^{7}\)

 Odpowiedź

\(\left ( \displaystyle\frac{x^{2}}{2}+1 \right )^{7} =\displaystyle\frac{1}{128}x^{14}+\frac{7}{64}x^{12}+\frac{21}{32}x^{10}+\frac{35}{16}x^{8}+\frac{35}{8}x^{6}+\frac{21}{4}x^{4}+\frac{7}{2}x^{2}+1\)

 Rozwiązanie

\[  \begin{array}{l} \displaystyle\left ( \frac{x^{2}}{2}+1 \right )^{7}=\\ = \displaystyle\left ( \frac{x^{2}}{2} \right )^{7}+7\left ( \frac{x^{2}}{2} \right )^{6}\cdot 1+21\left ( \frac{x^{2}}{2} \right )^{5}\cdot 1^{2}+35\left ( \frac{x^{2}}{2} \right )^{4}\cdot 1^{3}+35\left ( \frac{x^{2}}{2} \right )^{3}\cdot 1^{4}+21\left ( \frac{x^{2}}{2} \right )^{2}\cdot 1^{5}+7\left ( \frac{x^{2}}{2} \right )^{1}\cdot 1^{6}+1^{7}= \\ = \displaystyle \frac{1}{128}x^{14}+\frac{7}{64}x^{12}+\frac{21}{32}x^{10}+\frac{35}{16}x^{8}+\frac{35}{8}x^{6}+\frac{21}{4}x^{4}+\frac{7}{2}x^{2}+1. \end{array}\]
\(2. \quad \left ( 2x-y \right )^{3}\)

 Odpowiedź

\(\left ( 2x-y \right )^{3}=8x^{3}-12x^{2}y+6xy^{2}-y^{3}\)

 Rozwiązanie

\[\left ( 2x-y \right )^{3}=(2x)^{3}-3(2x)^{2}y+3\cdot 2xy^{2}-y^{3}=8x^{3}-12x^{2}y+6xy^{2}-y^{3}.\]
\(3. \quad\left ( \sqrt{3}+2 \right )^{5}\)

 Odpowiedź

\(\left ( \sqrt{3}+2 \right )^{5}=1769\sqrt{3}+3124\)

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
\left ( \sqrt{3}+2 \right )^{5}=\sqrt{3}^{5}+5\sqrt{3}^{4}\cdot 4+10\sqrt{3}^{3}\cdot 4^{2}+10\sqrt{3}^{2}\cdot 4^{3}+5\sqrt{3}\cdot 4^{4}+4^{5}=9\sqrt{3}+180+480\sqrt{3}+1920+1280\sqrt{3}+1024=1769\sqrt{3}+3124.
\end{array}\]