Zadanie 2.4.1

Zadanie 2.4.1
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Zapisz bez użycia wartości bezwzględnej.

Wskazówki

Definicja wartości bezwzględnej

Wartością bezwzględną liczby \(x\) nazywamy liczbę:
\[\left | x \right |=\left\{\begin{matrix}
x,& \textrm{dla} \quad x\geq 0\\
-x,& \textrm{dla} \quad x< 0
\end{matrix}\right.\]
Jeśli zatem \(x\) jest liczbą nieujemną, to wartością bezwzględna z \(x\) będzie ta sama liczba \(x\). Jeżeli natomiast \(x\) jest liczbą ujemną, to wartością bezwzględną liczby \(x\) będzie liczba do niej przeciwna, czyli \(-x\) (jest to również liczba dodatnia, gdyż liczba przeciwna do liczby ujemnej jest liczbą dodatnią).

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Dobrze spojrzeć na wartość bezwzględną w sposób geometryczny.

Wartość bezwzględna liczby \(x\) jest równa odległości liczby \(x\) od zera na osi liczbowej.
Liczba \(-x\) jest tak samo oddalona od zera jak liczba \(x\), zatem \(\left | x \right |=\left | -x \right |=x\) dla \(x \geq 0.\)

Geometryczna interpretacja wartości bezwzględnej na osi liczbowej

Własności wartości bezwzględnej

Własności wartości bezwzględnej dla \(a> 0\):
\[ \begin{array}{l}
|x|=a \quad \Leftrightarrow \quad x=a \quad\textrm{lub}\quad x=-a \\
|x|< a \quad \Leftrightarrow \quad -a< x< a \\
|x|\leq a \quad \Leftrightarrow \quad -a\leq x\leq a \\
|x|> a \quad \Leftrightarrow \quad (x> a \quad\textrm{lub}\quad x< -a) \\
|x|\geq a \quad\Leftrightarrow \quad (x\geq a \quad \textrm{lub} \quad x\leq -a).
\end{array}\]

Ćwiczenia

\(1. \quad \left | x-4 \right |\)

Rozwiązanie

Wystarczy skorzystać z definicji wartości bezwzględnej:
\[\left | x-4 \right |=\left\{\begin{matrix}
x-4,& \textrm{dla} \quad x-4\geq 0\\
-(x-4),& \textrm{dla} \quad x-4< 0
\end{matrix}\right. .\]

Po przekształceniach (usunięciu nawiasu oraz rozwiązaniu nierówności) dostaniemy:
\[\left | x-4 \right |=\left\{\begin{matrix}
x-4,& \textrm{dla} \quad x\geq 4\\
-x+4,& \textrm{dla} \quad x< 4
\end{matrix}\right. .\]

Odpowiedź

\(\left | x-4 \right |=\left\{\begin{matrix}
x-4, \textrm{dla} \quad x\geq 4\\
-x+4, \textrm{dla} \quad x< 4
\end{matrix}\right. \)

\(2. \quad 2\left | x+5 \right | + \displaystyle \frac{x-1}{\left | x-1 \right |}-\left | 2x-6 \right |\)

Rozwiązanie

Krok 1

W pierwszym kroku wyznaczymy dziedzinę wyrażenia, gdyż zawiera ono w sobie ułamek.
Zakładamy, że \(x-1\neq 0\) czyli \(x\neq 1.\) Dziedziną naszego wyrażenia jest więc zbiór \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}.\)

Krok 2

Wyznaczamy miejsca zerowe.

Wyznaczamy miejsca zerowe poszczególnych funkcji liniowych znajdujących się pod modułami:
\(x+5=0 \Rightarrow x=-5 \),
\(x-1=0 \Rightarrow x=1\)
\(2x-6=0 \Rightarrow x=3\)

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej mamy:

\(\left | x+5 \right |= \left\{\begin{matrix}
x+5,& \textrm{dla}\quad x+5\geq 0\\
-(x+5),& \textrm{dla}\quad x+5 \lt 0
\end{matrix}\right.\)

\(\left | x-1 \right |= \left\{\begin{matrix}
x-1,& \textrm{dla}\quad x-1\geq 0\\
-(x-1),& \textrm{dla}\quad x-1 \lt 0
\end{matrix}\right.\)

\(\left | 2x-6 \right |= \left\{\begin{matrix}
2x-6,& \textrm{dla}\quad 2x-6\geq 0\\
-(2x-6),& \textrm{dla}\quad 2x-6 \lt 0
\end{matrix}\right.\)

Po przekształceniach i rozwiązaniu nierówności otrzymamy:

\(\left | x+5 \right |= \left\{\begin{matrix}
x+5,& \textrm{dla}\quad x\geq -5\\
-x-5,& \textrm{dla}\quad x \lt -5
\end{matrix}\right.\)

\(\left | x-1 \right |= \left\{\begin{matrix}
x-1,& \textrm{dla}\quad x\geq 1 \\
-x+1,& \textrm{dla}\quad x \lt 1
\end{matrix}\right.\)

\(\left | 2x-6 \right |= \left\{\begin{matrix}
2x-6,& \textrm{dla}\quad x\geq 3 \\
-2x+6,& \textrm{dla}\quad x \lt 3
\end{matrix}\right.\)

Widać, że wszystkich przypadków byłoby \(2^{3}=8\), więc korzystanie z definicji w tym przypadku utrudni nam rozwiązanie zadania.

Krok 3

W trzecim kroku zajmiemy się wyznaczeniem przedziałów liczbowych. Rysujemy oś liczbową i zaznaczamy miejsca zerowe. Zaznaczamy przedziały, dla których dane funkcje przyjmują wartości nieujemne lub ujemne. Wyznaczamy poszczególne przedziały liczbowe.
Liczbę \(1\) wyłączamy ze względu na to, że nie znajduje się ona w dziedzinie wyrażenia.

Krok 4

Działając w odpowiednich przedziałach opuszczamy wartość bezwzględną zmieniając lub nie zmieniając znaku wyrażenia.\(\\ \)
\(I.\quad x\in \left ( -\infty ;-5 \right ) \\\)
\(2\left | x+5 \right |+ \displaystyle \frac{x-1}{\left | x-1 \right |}-\left | 2x-6 \right |=
2(-x-5)+ \displaystyle \frac{x-1}{-(x-1)}-(-2x+6)=-2x-10-1+2x-6=-17 \\ \)
\( II.\quad x\in \left \langle-5 ;1 \right)\\ \)
\(2\left | x+5 \right |+ \displaystyle \frac{x-1}{\left | x-1 \right |}-\left | 2x-6 \right |=
2(x+5)+ \displaystyle \frac{x-1}{-(x-1)}-(-2x+6)=2x+10-1+2x-6=4x+3 \\ \)
\( III.\quad x\in (1;3) \\ \)
\(2\left | x+5 \right |+ \displaystyle \frac{x-1}{\left | x-1 \right |}-\left | 2x-6 \right |=
2(x+5)+ \displaystyle \frac{x-1}{x-1}-(-2x+6)=2x+10+1+2x-6=4x+5 \\ \)
\( IV.\quad x\in \left \langle3;\infty \right ) \\ \)
\(2\left | x+5 \right |+ \displaystyle \frac{x-1}{\left | x-1 \right |}-\left | 2x-6 \right |=
2(x+5)+ \displaystyle \frac{x-1}{x-1}-(2x-6)=2x+10+1-2x+6=17.\)

Krok 5

W kroku piątym robimy podsumowanie obliczeń i zapisujemy odpowiedź uwzględniając odpowiednie założenia (przedziały liczbowe).

Odpowiedź

\[2\left | x+5 \right |+ \displaystyle \frac{x-1}{\left | x-1 \right |}-\left | 2x-6 \right |=
\left\{\begin{matrix}
17,& \textrm{dla} \quad x\in \left \langle3;\infty \right )\\
4x+5,& \textrm{dla} \quad x\in (1;3)\\
4x+3,& \textrm{dla} \quad x\in \left \langle-5 ;1 \right)\\
-17,& \textrm{dla} \quad x\in \left \langle-\infty ;-5 \right)
\end{matrix}\right.\]

Rozwiązanie

Jeżeli mamy już podany przedział liczbowy, to to podobnie jak w przykładzie wcześniejszym określamy znaki wyrażeń znajdujących się pod wartością bezwzględną, przy czym ograniczamy się do podanego przedziału. Można narysować na osi liczbowej przedziały liczbowe, zaznaczając na niej wcześniej miejsca zerowe funkcji znajdujących się pod wartością bezwzględną.
Najłatwiej w tym przypadku będzie określenie znaków wyrażeń dla danego przedziału liczbowego
\(\left | x+4 \right |=x+4\) dla każdego \(x\in \left \langle 2;3 \right ),\)
\(\left | x-3 \right |=-x+3\) dla każdego \(x\in \left \langle 2;3 \right ).\)
Podstawiając do wyjściowego wyrażenia mamy:
\(\big| \left | x+4 \right |-6 \big|+3|x-3|=|x+4-6|+3(-x+3)=|x-2|-3x+9.\)
Dla każdego \(x\in \left \langle 2;3 \right )\) \(|x-2|=x-2.\)
Zatem
\( \big| \left | x+4 \right |-6 \big|+3|x-3|=|x+4-6|+3(-x+3)=|x-2|-3x+9=x-2-3x+9=-2x+7.\)

Odpowiedź

\(\big| \left | x+4 \right |-6 \big|+3|x-3|=-2x+7\)

\(4. \quad 3x-\left | 2x+4 \right |+3\left | x-5 \right |\) dla \( x\in \left \langle -2;-1 \right ) \)

Rozwiązanie

Krok 1

Podpowiedź

Wybierz prawidłową odpowiedź i kliknij "Sprawdź". Musisz udzielić prawidłowej odpowiedzi, aby przejść do kroku kolejnego.

Ustalamy znak \(|2x+4|\) dla każdego \(x\in \left \langle -2;-1 \right ).\)

\(2x+4\) dla każdego \(x\in \left \langle -2;-1 \right )\) jest liczbą nieujemną, zatem \(\left | 2x+4\right |= 2x+4.\)

Odpowiedź prawidłowa

\(2x+4\) dla każdego \(x\in \left \langle -2;-1 \right )\) jest liczbą ujemną, zatem \(\left | 2x+4\right |= -(2x+4).\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 2

Ustalamy znak \(|x-5|\) dla każdego \(x\in \left \langle -2;-1 \right ).\)

\(x-5\) dla każdego \(x\in \left \langle -2;-1 \right )\) jest liczbą dodatnią, zatem \(\left | x-5\right |= x-5.\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(x-5\) dla każdego \(x\in \left \langle -2;-1 \right )\) jest liczbą ujemną, zatem \(\left | x-5\right |= -x+5.\)

Odpowiedź prawidłowa

Krok 3

Uwzględniając powyższe wartości wyrażeń, zapisujemy bez użycia wartości bezwzględnej
\( 3x-\left | 2x+4 \right |+3\left | x-5 \right |=3x-(2x+4)+3(-x+5)=3x-2x-4-3x+15=-2x+11.\)

Krok 4 - Odpowiedź

\(3x-\left | 2x+4 \right |+3\left | x-5 \right |=-2x+11\) dla \( x\in \left \langle -2;-1 \right ) .\)

2.4 Wartość bezwzględna

Polecenie

Zapisz bez użycia wartości bezwzględnej.

Ćwiczenia

\(1. \quad 2\left | x+3 \right |-\left | 1-x \right |\)

Odpowiedź

\(2\left | x+3 \right |-\left | 1-x \right |=\left\{\begin{matrix}
-x-7, \textrm{dla} \ x\in \left ( -\infty ;-3 \right )\\
3x+5, \textrm{dla} \ x\in \left \langle -3;1 \right \rangle \\
x+7, \textrm{dla} \ x\in \left ( 1;\infty \right )
\end{matrix}\right.\)

Rozwiązanie

\(2\left | x+3 \right |-\left | 1-x \right |\)
Funkcje liniowe pod modułami mają miejsca zerowe dla argumentów \(-3\) i \(1\).
Zaznaczamy przedziały liczbowe na osi.

Odpowiedź

Rozwiązanie

\(\left | 3x \right |=3x,\) dla \(x\in \left ( 2;3 \right ),\)
\(\left | x-1 \right |=x-1,\) dla \(x\in \left ( 2;3 \right ) .\)

Zatem dla \(x\in \left ( 2;3 \right ) \) \[ \left | 3x \right |+\left | x-1 \right |= 3x+x-1=4x-1.\]

Odpowiedź

Rozwiązanie

Dla \(x\in \left \langle -1;1 \right \rangle\)

\(|x+4|=x+4\)
\(|x+3|=x+3.\)

\(|2x+5|=2x+5.\)

Zatem \(-x-4+\big|2x+5\big|=-x-4+2x+5=x+1.\)

\(4. \quad \displaystyle\frac{|x+4|}{|x-4|}+2|x-1|\) dla \(x\in (-\infty ;-4)\)

Odpowiedź

\(\displaystyle\frac{|x+4|}{|x-4|}+2|x-1|= \displaystyle\frac{-2x^{2}+11x-4}{x-4}\) dla \(x\in (-\infty ;-4).\)

Rozwiązanie

Dla \(x\in (-\infty ;-4)\):

\(|x+4|=-x-4,\)
\(|x-4|=-x+4,\)
\(|x-1|=-x+1.\)

Zatem
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{|x+4|}{|x-4|} + 2|x-1| = \displaystyle\frac{-(x+4)}{-(x-4)} + 2(-x+1) =\\
=\displaystyle\frac{x+4}{x-4}-2x+2= \displaystyle\frac{x+4+(-2x+2)(x-4)}{x-4}=\\
=\displaystyle\frac{x+4-2x^{2}+8x+2x-8}{x-4}= \displaystyle\frac{x+4-2x^{2}+10x-8}{x-4}= \\
=\displaystyle\frac{-2x^{2}+11x-4}{x-4}.
\end{array}\]
Ponieważ \(\Delta =11^{2}-4(-2)(-4)=121-32=89\) zatem trójmian z licznika ułamka nie ma całkowitych pierwiastków. Co za tym idzie nie da się już uprościć danego wyrażenia.

Zadanie 2.4.2, 2.4.3