Zadanie 2.4.4
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
  3. 2.4 Wartość bezwzględna
  4. Zadanie 2.4.4

 Polecenie

Rozwiązać równania lub nierówności.

 Wskazówki

Definicja wartości bezwzględnej

Wartością bezwzględną z \(x\in \mathbb{R}\) nazywamy liczbę
\[|x|=\left\{\begin{matrix}
x,& \quad \textrm{ dla} \quad x\geq 0\\
-x,& \quad \textrm{ dla} \quad x< 0
\end{matrix}\right.\]

Własności wartości bezwzględnej

Dla  \(a> 0\) zachodzą następujące własności:

\[ \begin{array}{l}
(1) \quad |x|=a \quad \Leftrightarrow \quad x=a \quad\textrm{lub}\quad x=-a \\
(2) \quad |x|< a \quad \Leftrightarrow \quad -a< x< a \\
(3) \quad |x|\leq a \quad \Leftrightarrow \quad -a\leq x\leq a \\
(4) \quad |x|> a \quad \Leftrightarrow  \quad (x> a \quad\textrm{lub}\quad x< -a) \\
(5) \quad |x|\geq a \quad\Leftrightarrow \quad (x\geq a \quad \textrm{lub} \quad x\leq -a). \end{array}\]

Dla dowolnych \(x, y \in \mathbb{R}\) zachodzą własności:
\[ \begin{array}{l}
(1^{o}) \quad |x|\geq 0\\
(2^{o}) \quad |x|=|-x|\\
(3^{o}) \quad |x|=\sqrt{x^{2}}\\
(4^{o}) \quad |x\cdot y|=|x|\cdot |y|\\
(5^{o}) \quad \Bigg| \displaystyle \frac{x}{y}\Bigg|= \displaystyle\frac{|x|}{|y|}, y\neq 0.\end{array} \]

 Ćwiczenia

\(1. \quad |x|+|x-3|=4\)

 Rozwiązanie

W pierwszym kroku wyznaczamy liczby (miejsca zerowe funkcji liniowych znajdujących się pod wartościami bezwzględnymi), dla których wyrażenia \(x-3\) i \(x\) zmieniają znak.
\(x=0\vee  x-3=0 \Leftrightarrow  x=0 \vee  x=3. \)
Zaznaczamy je na osi liczbowej i dzielimy zbiór liczb rzeczywistych na przedziały liczbowe, w których zmienia się znak wyrażeń \(x\) i \(x-3\) z ujemnych na nieujemne \(I, II\) i \(III.\)
Podział zbioru R na przedziały liczbowe w zależności od znaku wyrażeń x, x-3.
W kolejnym kroku rozwiązujemy równanie z podziałem na trzy przedziały liczbowe.
\(I.\)
Dla \(x\in \left ( -\infty ;0 \right )\) równanie \(|x|+|x-3|=4\) przyjmuje postać
\[-x-(x-3)=4\\
-x-x+3=4\\
-2x=1\\
x=-\displaystyle\frac{1}{2}\]
Liczba \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) należy do zbioru \(\left ( -\infty ;0 \right )\) zatem jest rozwiązaniem równania wyjściowego.
\(II.\)
Dla \(x\in  \left \langle  0;3\right )\) równanie \(|x|+|x-3|=4\) przyjmuje postać
\[x-(x-3)=4\\
x-x+3=4\\
3=4\]
Jest to równanie sprzeczne, dlatego w przedziale \( \left \langle  0;3\right )\) równanie nie ma rozwiązania. (\(x\in \varnothing \).)
\(III.\)
Dla \(x\in  \left \langle 3; \infty \right )\) równanie \(|x|+|x-3|=4\) przyjmuje postać
\[x+x-3=4\\
2x=4+3\\
x=\displaystyle \frac{7}{2}\\
x= 3\frac{1}{2}\]
Liczba \(x= 3\displaystyle\frac{1}{2}\) należy do przedziału \(\left \langle 3; \infty \right ),\) dlatego jest rozwiązaniem wyjściowego równania.

Podsumowując mamy dwa rozwiązania \(x=-\displaystyle\frac{1}{2} \vee x=3\frac{1}{2}.\)

 Odpowiedź

\(x\in \left \{  -\displaystyle\frac{1}{2}, 3\displaystyle\frac{1}{2}\right \}\)
\(2. \quad x+3|x-4|=6\)

 Rozwiązanie

Aby pozbyć się wartości bezwzględnej możemy skorzystać z definicji
\[\left | x-4 \right |=\left\{\begin{matrix}
x-4, \quad \textrm{ dla} \quad x-4\geq 0 \\
-x+4, \quad\textrm{ dla}\quad x-4<0
\end{matrix}\right.
\quad\quad \Leftrightarrow \quad\quad
\left | x-4 \right |=\left\{\begin{matrix}
x-4,\quad \textrm{ dla}\quad x\geq 4 \quad(I.)\\
-x+4,\quad \textrm{ dla}\quad x<0 \quad(II.)
\end{matrix}\right..\]
Zatem rozpatrujemy dwa przedziały liczbowe \(I\) i \(II.\)
\(I.\)
Dla \( x\geq 4\) równanie \(x+3|x-4|=6\) ma postać
\[x+3(x-4)=6\\
x+3x-12=6\\
4x=18\\
x=4,5\]
Liczba \(x=4,5 \geq 4\) zatem jest rozwiązaniem równania.
\(II.\)
Dla \( x< 4\) równanie \(x+3|x-4|=6\) ma postać
\[x-3(x-4)=6\\
x-3x+12=6\\
-2x=-6\\
x=3\]
Liczba \(x=3< 4\) zatem jest rozwiązaniem równania.
Podsumowując \(x=4,5 \vee x=3.\)

 Odpowiedź

\(x\in \left \{ 3, 4\displaystyle\frac{1}{2}\right \}\)
\(3. \quad \left | x-1 \right |-\left | 2-x \right |\leq 4x-\left | 2x-2 \right |\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Na początku możemy zauważyć, że przekształcenie nierówności i skorzystanie z własności wartości bezwzględnej pozwoli nam na uproszczenie obliczeń i zredukowanie ilości wartości bezwzględnych z trzech do dwóch.
\[ \begin{array}{l} \left | x-1 \right |-\left | 2-x \right |\leq 4x-\left | 2x-2 \right | \quad \Leftrightarrow \\
\left | x-1 \right |-\left | 2-x \right |\leq 4x-\left | 2(x-1) \right | \quad \Leftrightarrow \\ \left | x-1 \right |-\left | 2-x \right |\leq 4x-\left | 2\right |\cdot \left | x-1 \right | \quad \Leftrightarrow \\
\left | x-1 \right |-\left | 2-x \right |\leq 4x-2\cdot \left | x-1 \right | \quad \Leftrightarrow\\
\left | x-1 \right |-\left | 2-x \right |+2\cdot \left | x-1 \right | \leq 4x \quad \Leftrightarrow\\
3\left | x-1 \right |-\left | 2-x \right |\leq 4x. \end{array} \]
Następnie wyznaczamy liczby, według których podzielimy zbiór liczb rzeczywistych na przedziały liczbowe, w których będą się zmieniały znaki wyrażeń \(x-1 , 2-x.\) Tymi liczbami są \(x=1\) oraz \(x=2.\) Należy pamiętać, że wyrażenie \(2-x\) będzie przyjmować wartości nieujemne po lewej stronie liczby \(2\) na osi liczbowej, a ujemne po prawej.
W razie wątpliwości warto rozwiązać nierówność wynikającą z założeń w definicji wartości bezwzględnej
\(2-x\geq 0 \Leftrightarrow -x\geq -2 \Leftrightarrow x\leq 2.\)
Podział osi x na przedziały liczbowe wg znaku wyrażeń x-1, 2-x.

 Krok 2

\(I.\)
Dla \(x\in (-\infty;1 )\) nierówność \(3\left | x-1 \right |-\left | 2-x \right |\leq 4x\) ma postać
\[-3(x-1)-(2-x)\leq 4x\\
-3x+3-2+x-4x\leq 0\\
-6x\leq -1\\
x\geq \displaystyle\frac{1}{6}\]
Częścią wspólną założenia \(x\in (-\infty;1 )\) oraz rozwiązania \(x\geq \displaystyle\frac{1}{6}\) jest przedział \(\left \langle \displaystyle\frac{1}{6};1  \right )\).
Zatem  \(x\in \left \langle \displaystyle\frac{1}{6};1  \right ).\)
Rysunek 2.4.4.3

 Krok 3

\(II.\)
Dla \(x\in \left \langle 1;2 \right \rangle\) nierówność \(3\left | x-1 \right |-\left | 2-x \right |\leq 4x\) ma postać
\[3(x-1)-(2-x)\leq 4x\\
3x-3-2+x-4x\leq 0\\
-5\leq 0\]
Ponieważ jest to nierówność spełniona dla każdej liczby rzeczywistej zatem liczbami spełniającymi tą nierówność są wszystkie liczby należące do przedziału \(\left \langle 1;2 \right \rangle,\) czyli do założenia. Zatem \(x\in \left \langle 1;2 \right \rangle.\)

 Krok 4

\(III.\)
Dla \( x\in \left ( 2;\infty  \right )\) nierówność \(3\left | x-1 \right |-\left | 2-x \right |\leq 4x\) ma postać
\[3(x-1)+(2-x)\leq 4x\\
3x-3+2-x-4x\leq 0\\
-2x-1\leq 0\\
-2x\leq 1\\
x\geq -\displaystyle\frac{1}{2}.\]
Zatem liczbami, które spełniają tą nierówność a jednocześnie założenie są wszystkie liczby z przedziału \(\left ( 2;\infty  \right ).\)
Rysunek 2.4.4.4

 Krok 5 - Podsumowanie

Rozwiązaniem nierówności \(\left | x-1 \right |-\left | 2-x \right |\leq 4x-\left | 2x-2 \right |\) jest suma wszystkich rozwiązań w przedziałach \(I, II\) i \(III\), zatem  \(x \in \left \langle  \displaystyle\frac{1}{6};\infty \right ).\)
Podsumowanie zbioru rozwiązań Rysunek 2.4.4.5

 Krok 6 - Odpowiedź

\(x \in \left \langle  \displaystyle\frac{1}{6};\infty \right )\)
\(4. \quad 2|4x-1|<x\)

 Rozwiązanie

Ponieważ po prawej stronie nierówności jest niewiadoma \(x\) nie możemy skorzystać z własności \(5\) wartości bezwzględnej.
Musimy skorzystać z definicji aby wyznaczyć przedziały liczbowe, w których zmienia się znak wyrażenia \(4x-1.\) W tym celu albo wyznaczamy miejsce zerowe funkcji liniowej występującej pod wartością bezwzględną, albo korzystamy z definicji. W tym przypadku mamy tylko jedną wartość bezwzględną dlatego warto skorzystać z definicji.
\[|4x-1|=\left\{\begin{matrix}
4x-1,\quad \textrm{ dla} \quad 4x-1\geq 0 \\
-4x+1,\quad \textrm{ dla} \quad 4x-1<0
\end{matrix}\right.
\quad \Leftrightarrow \quad
|4x-1|=\left\{\begin{matrix}
4x-1,\quad \textrm{ dla} \quad x\geq \displaystyle\frac{1}{4} \quad(I)\\
-4x+1,\quad \textrm{ dla} \quad x<\displaystyle\frac{1}{4} \quad(II)
\end{matrix}\right.\]
Zatem rozwiązujemy nierówność \(2|4x-1|<x\) z podziałem na dwa przedziały liczbowe \(I\) i \(II.\)
\(I.\)
Dla  \(x\geq \displaystyle\frac{1}{4},\) czyli  \((x\geq \displaystyle\frac{7}{28})\) nierówność \(2|4x-1|< x\) ma postać
\[2(4x-1)< x\\
8x-2-x<0\\
7x<2\\
x<\frac{2}{7}\\
x<\frac{8}{28}.\]
Częścią wspólną rozwiązania i założenia jest więc przedział \(x \in\left \langle \displaystyle\frac{1}{4}; \displaystyle\frac{2}{7} \right ).\)
Rysunek 2.4.4.6
\(II.\)
Dla \( x<  \displaystyle\frac{1}{4}\) czyli \( (x\geq \displaystyle\frac{9}{36})\) nierówność \(2|4x-1|< x\) ma postać
\[2(-4x+1)< x\\
-8x+2-x<0\\
-9x<-2\\
x>\frac{2}{9}\\
x>\frac{8}{36}.\]
Częścią wspólną rozwiązania i założenia jest przedział \(x \in \left ( \displaystyle\frac{2}{9}; \displaystyle\frac{1}{4} \right ).\)
Rysunek 2.4.4.7
Suma rozwiązań z dwóch przypadków rozwiązania Rysunek 2.4.4.8

Rozwiązaniem nierówności \(2|4x-1|< x\) jest suma rozwiązań z obu przypadków \(I\) i \(II.\)
Zatem \[x \in \left ( \frac{2}{9}; \frac{2}{7} \right )\]

 Odpowiedź

\(\left ( \displaystyle\frac{2}{9}; \displaystyle\frac{2}{7} \right )\)
\(5. \quad |1-2x|> |2x| + |3x-6|\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Wyznaczamy miejsca zerowe oraz według nich przedziały liczbowe, w których wyrażenia \(1-2x, 2x, 3x-6\) zmieniają znak.

Prawidłowym podziałem na przedziały liczbowe będzie podział
\[\left ( -\infty ;0 \right )\cup \left \langle 0;\displaystyle\frac{1}{2} \right ) \cup \left \langle \displaystyle\frac{1}{2};2 \right )\cup \left \langle 2;\infty   \right )\]

Rysunek 2.4.4.9

Odpowiedź nieprawidłowa

Prawidłowym podziałem na przedziały liczbowe będzie podział
\[\left ( -\infty ;0 \right )\cup \left \langle 0;\displaystyle\frac{1}{2} \right \rangle \cup \left ( \displaystyle\frac{1}{2};2 \right )\cup \left \langle 2;\infty   \right )\]

Rysunek 2.4.4.10

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 2

W drugim kroku rozwiązujemy nierówność i porównujemy rozwiązanie z odpowiednim założeniem (przedziałem liczbowym).

Rozwiązaniem nierówności  w przedziale \(\left ( -\infty ;0 \right )\) jest zbiór \(\left ( \displaystyle\frac{5}{3}; \infty  \right ).\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązaniem nierówności  w przedziale \(\left ( -\infty ;0 \right )\) jest zbiór \(\varnothing.\)

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 3

W kolejnych przedziałach liczbowych należy rozwiązać nierówność i znaleźć części wspólne z założeniem. Na koniec musimy podsumować uzyskane rozwiązania (suma rozwiązań w poszczególnych przedziałach).
Wybierz prawidłową odpowiedź.

Uwzględniając wszystkie przedziały liczbowe rozwiązaniem nierówności jest zbiór \(\varnothing.\)

Odpowiedź prawidłowa

Uwzględniając wszystkie przedziały liczbowe rozwiązaniem nierówności jest zbiór \(\left ( \displaystyle\frac{5}{3};\displaystyle\frac{7}{3} \right ).\)

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 4 - Odpowiedź

\(x \in \varnothing\)

 Polecenie

Rozwiązać równania lub nierówności.

 Ćwiczenia

\(1. \quad \left | x-\sqrt{3} \right |+x= \sqrt{3}\)

 Odpowiedź

\(x\in \left ( -\infty ;\sqrt{3} \right \rangle\)

 Rozwiązanie

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej.
\[\left | x-\sqrt{3} \right |=\left\{\begin{matrix}
x-\sqrt{3},& \textrm{dla} \quad x-\sqrt{3}\geq 0\\
-x+\sqrt{3},& \textrm{dla} \quad x-\sqrt{3}< 0
\end{matrix}\right.
\quad \Leftrightarrow \quad
\left | x-\sqrt{3} \right |=\left\{\begin{matrix}
x-\sqrt{3},& \textrm{dla} \quad x\geq \sqrt{3} \quad (I)\\
-x+\sqrt{3},& \textrm{dla} \quad x< \sqrt{3} \quad (II)
\end{matrix}\right.\]
Rozwiązujemy równanie w dwóch przedziałach \(I\) i \(II.\)
\(I.\)
Dla  \(x\geq \sqrt{3}\) równanie \(\left | x-\sqrt{3} \right |+x= \sqrt{3}\) ma postać
\[ x-\sqrt{3}+x= \sqrt{3}\\
x+x=\sqrt{3}+\sqrt{3}\\
2x=2\sqrt{3}\\
x=\sqrt{3}\geq \sqrt{3}\]
\(II.\)
Dla \(x< \sqrt{3}\) równanie \(\left | x-\sqrt{3} \right |+x= \sqrt{3}\) ma postać
\[-x+\sqrt{3}+x=\sqrt{3}\\
0=0\]
Jest to równanie tożsamościowe (prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej). Zatem uwzględniając założenie:
\[x\in \left ( -\infty ;\sqrt{3} \right )\]

Rozwiązaniem równania \(\left | x-\sqrt{3} \right |+x= \sqrt{3}\) jest suma rozwiązań z przedziałów \(I\) i \(II.\)
Zatem \[x\in \left ( -\infty ;\sqrt{3} \right \rangle.\]
\(2. \quad |x+5|-|3-x|\geq x\)

 Odpowiedź

\(x\in \left ( -\infty ;-8 \right \rangle\cup \left \langle -2;8 \right \rangle\)

 Rozwiązanie

Wyznaczamy miejsca zerowe \(x=-5,\) oraz \(x=3.\)
Zaznaczamy je na rysunku i wyznaczamy przedziały liczbowe, w których wyrażenia \(x+5\) i \( 3-x\) zmieniają znak.
Podział zbioru liczb rzeczywistych jest następujący: \(\left ( -\infty ;-5 \right )\cup \left \langle -5;3 \right \rangle\cup \left ( 3;\infty  \right ).\)

Rozwiązujemy nierówność w trzech przedziałach \(I,\) \(II\) i \(III.\)
Rysunek 2.4.4.spr.1
\(I.\)
Dla \( x\in \left ( -\infty ;-5 \right )\) nierówność \(|x+5|-|3-x|\geq x\) ma postać
\[-x-5-(3-x)\geq x\\
-x-5-3+x-x\geq 0\\
-x-8\geq 0\\
-x\geq 8\\
x\leq -8.\]
W przekroju z założeniem dostaniemy
\[x\in \left ( -\infty ;-8\right \rangle.\]
/Rysunek 2.4.4.spr.2
\(II.\)
Dla \( x\in \left \langle -5;3 \right \rangle\) nierówność \(|x+5|-|3-x|\geq x\) ma postać
\[x+5-(3-x)\geq x\\
x+5-3+x-x\geq 0\\
x+2\geq 0\\
x\geq -2\]
W przekroju z założeniem dostaniemy
\[x\in \left \langle -2;3 \right \rangle.\]
Rysunek 2.4.4.spr.3
\(III.\)
Dla  \(x\in \left ( 3;\infty  \right )\) nierówność \(|x+5|-|3-x|\geq x\) ma postać
\[x+5+(3-x)\geq x\\
x+5+3-x-x\geq 0\\
-x+8\geq 0\\
-x\geq -8\\
x\leq 8.\]
W przekroju z założeniem dostaniemy
\[x\in \left ( 3;8  \right \rangle.\]
Rysunek 2.4.4.spr.4
Podsumowując
\[x\in \left ( -\infty ;-8 \right \rangle\cup \left \langle -2;8 \right \rangle.\]
Rysunek 2.4.4.spr.5
\(3. \quad \Big|1+|x-3| \Big|< 4\)

 Odpowiedź

\(x\in \left (0;6 \right )\)

 Rozwiązanie

Korzystamy z definicji oraz z własności wartości bezwzględnej.
\[|x-3|=\left\{\begin{matrix}
x-3,\quad \textrm{ dla} \quad x-3\geq 0\\
-x+3,\quad  \textrm{ dla} \quad x-3< 0 
\end{matrix}\right.
\quad \Leftrightarrow \quad
|x-3|=\left\{\begin{matrix}
x-3,\quad \textrm{ dla} \quad x\geq 3 \quad (I.)\\
-x+3,\quad  \textrm{ dla} \quad x< 3 \quad (II.)
\end{matrix}\right.\]
Rozpatrujemy dwa przedziały liczbowe \(I\) i \(II.\)
\(I.\)
Dla  \(x\geq 3\) nierówność \(\Big|1+|x-3| \Big|< 4\) ma postać
\[|1+x-3|< 4\\
|x-2|< 4\]
Korzystamy z własności \((2)\) wartości bezwzględnej.
\[-4< x-2< 4\\
-4+2< x< 4+2\\
-2< x< 6.\]
Uwzględniając założenie \(x\geq 3\) dostaniemy
\[x\in \left \langle 3;6 \right ).\]
Rysunek 2.4.4.spr.6
\(II.\)
Dla  \(x<3\) nierówność \(\Big|1+|x-3| \Big|< 4\) ma postać
\[|1-x+3|< 4\\
|-x+4|< 4\]
Korzystamy z własności \((2)\) wartości bezwzględnej.
\[-4< -x+4< 4\\
-4-4< -x< 4-4\\
-8< -x< 0\\
8>x>0.\]
Uwzględniając założenie \(x< 3\) dostaniemy
\[x\in \left (0;3 \right ).\]
Rysunek 2.4.4.spr.7
Aby podać rozwiązanie nierówności należy na końcu wyznaczyć sumę rozwiązań z \(I\) i \(II\) przypadku.
Zatem \[x\in \left (0;6 \right ).\]
Rysunek 2.4.4.spr.8
\(4. \quad 1-|x+3|\leq -x+|x-1|\)

 Odpowiedź

\(x\in \mathbb{R}\)

 Rozwiązanie

Szukamy liczb dzielących zbiór liczb rzeczywistych na przedziały, w których wyrażenia \(x+3\) i \(x-1\) zmieniają znak.
Rozwiązujemy nierówność w trzech przedziałach \(I, II\) i \(III.\)
Rysunek 2.4.4.spr.9

\(I.\)

Dla  \(x\in \left ( -\infty ;-3 \right )\) nierówność \(1-|x+3|\leq -x+|x-1|\) przyjmuje postać
\(1-(-x-3)\leq -x-(x-1).\) (Rozwiązujemy ją jak zwykłą nierówność liniową.)
\(1+x+3\leq -x-x+1\\
x+x+x\leq 1-1-3\\
3x\leq -3\\
x\leq -1\)
W przekroju z założeniem
\[x\in (-\infty ;-3)\]
Rysunek 2.4.4.spr.10

\(II.\)

Dla \(x\in \left ( -\infty ;-3 \right )\) nierówność \(1-|x+3|\leq -x+|x-1|\) przyjmuje postać
\(1-(x+3)\leq -x-(x-1).\)
\(1-x-3\leq -x-x+1\\
-x+x+x\leq 1-1+3\\
x\leq 3\)
W przekroju z założeniem
\[x\in \left \langle -3 ;1\right )\]
Rysunek 2.4.4.spr.11

\(III.\)

Dla \(x\in  \left \langle 1;\infty  \right )\)  nierówność \(1-|x+3|\leq -x+|x-1|\) przyjmuje postać
\(1-(x+3)\leq -x+x-1\)
\(1-x-3\leq -1\\
-x\leq -1-1+3\\
-x\leq 1\\
x\geq -1\)
W przekroju z założeniem
\[x\in \left \langle 1 ;\infty \right )\]
Rysunek 2.4.4.spr.12
Rozwiązaniem równania jest suma wszystkich rozwiązań w przedziałach \(I,\) \(II\) i \(III.\)
Rysunek 2.4.4.spr.13

Wybierz jedną prawidłową odpowiedź. Poprawność swoich odpowiedzi możesz sprawdzić przy każdym zadaniu klikając przycisk "Sprawdź" lub na końcu klikając "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Zbiór punktów przedstawionych na wykresie

Rysunek 2.4.4.quiz.1

jest rozwiązaniem nierówności:

Zadanie 2

Rozwiązaniem nierówności \(2|x-1|>2\) jest zbiór przedstawiony na wykresie:

Zadanie 3

Zbiór punktów \(\left \{ -5,9 \right \}\) jest rozwiązaniem równania:

Zadanie 4

Równanie \(\Big | 3+|x-3| \Big |<9\):

Podsumowanie