Funkcję \(f(x)=\operatorname{sgn}{x}\) możemy zdefiniować następująco:
\[f(x)=\operatorname{sgn}{x}=\left\{\begin{matrix}
1,& \textrm{dla}\ x \gt 0\\
0,& \textrm{dla}\ x= 0\\
-1,& \textrm{dla}\ x \lt 0
\end{matrix}\right. .\]

Funkcja \(f(x)=\operatorname{sgn}{x}\) jest funkcją nieparzystą (wykres jest symetryczny względem punktu \((0,0)\)).
Dziedziną jest zbiór \(\mathbb{R}\), a zbiorem wartości \(\left \{ -1,0,1 \right \}.\)

Funkcję \(f(x)=[x]\) definiujemy następująco:
\[f(x)=[x]=\textrm{max}\left \{k\in \mathbb{Z}: k\leq x\right \}.\]

Funkcja ta nazywana również bywa cechą, podłogą lub entier (z fr. całość, część całkowita). Funkcjonuje kilka równoważnych oznaczeń tej funkcji: \(\lfloor x\rfloor, [x], E(x).\)

• \(D=  \mathbb{R}, ZW=\mathbb{Z}\)
• Funkcja przedziałami stała.
• \(1-x<[x]\leq x.\)

Funkcja Dirichleta \(f(x)=\left\{\begin{matrix}
1, &\textrm{dla} \ x\in \mathbb{Q}\\
0, &\textrm{dla} \ x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}
\end{matrix}\right.\) przyjmuje wartość \(1\) dla wszystkich liczb wymiernych, a \(0\) dla wszystkich niewymiernych argumentów.

Funkcja ta ma następujące własności:

• \(D=\mathbb{R}, ZW=\left \{ 0,1 \right \},\)
• jest okresowa, przy czym ma ona nieskończenie wiele okresów (każda liczba wymierna jest jej okresem) i nie ma okresu podstawowego.

Nie jest możliwe naszkicowanie wykresu funkcji Riemanna, ale możemy zaznaczyć w układzie współrzędnych punkty należące do wykresu tej funkcji, by wiedzieć jak ma wyglądać wykres. Będzie to zbiór punktów o wartościach między \(0\) a \(1.\) Wartość \(1\) funkcja osiąga dla wszystkich argumentów będących liczbą całkowitą, ponieważ \(x\) można wtedy zapisać jako \(x =\displaystyle \frac{x}{1}\left [\displaystyle \frac{p}{q}\right ]\) (liczby \(x\) i \(1\) są względnie pierwsze, \(x,1 \in \mathbb{C}\)).