Zadanie 5.2.1

Zadanie 5.2.1
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Znajdź asymptoty pionowe i ukośne funkcji.

Wskazówki

Definicja asymptoty ukośnej

Prosta \(y=Ax+B\) jest asymptotą ukośną funkcji \(f\) w \(+\infty,\) jeśli \[\lim_{x\to \infty}\left [ f(x)-Ax-B \right ]=0.\]

Uwaga!

Do wyznaczania asymptot ukośnych będziemy stosować twierdzenie - .

Twierdzenie (warunek istnienia asymptoty ukośnej)

Prosta \(y=Ax+B\) jest asymptotą ukośną funkcji \(f\) w \(+\infty,\) tzn. \[\lim_{x\to \infty}\left [ f(x)-Ax-B \right ]=0,\]
wtedy i tylko wtedy, gdy
\[A=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}\ \ \textrm{ oraz } \ \ B=\lim_{x\to \infty}\left [ f(x)-Ax \right ].\]

Uwaga!

Prawdziwe są także analogiczne wzory dla asymptot ukośnych w \(-\infty.\)

Twierdzenie (warunek istnienia asymptot poziomych)

Prosta \(y=B\) jest asymptotą poziomą funkcji \(f\) w \(+\infty,\) jeżeli \[\lim_{x \to \infty}f(x)=B.\]

Uwaga!

Analogicznie definiuje się warunek istnienia asymptoty poziomej w \(-\infty.\)

Definicja asymptoty pionowej

Prosta \(x=x_{0}\) jest asymptotą pionową obustronną (asymptotą pionową) funkcji \(f,\) jeżeli jest jednocześnie jej asymptotą lewostronną i prawostronną.

Fakt (o lokalizacji asymptot pionowych funkcji)

Funkcja elementarna jeśli posiada asymptoty pionowe, to tylko w skończonych krańcach dziedziny, które do niej nie należą.

Definicja asymptoty pionowej lewostronnej

Prosta \(x=x_{0}\) jest asymptotą pionową lewostronną funkcji \(f,\) jeżeli \[\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\infty \ \ \textrm{ lub } \ \ \lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=-\infty\]

Definicja asymptoty pionowej prawostronnej

Prosta \(x=x_{0}\) jest asymptotą pionową prawostronną funkcji \(f,\) jeżeli \[\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\infty \ \ \textrm{ lub } \ \ \lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=-\infty\]

Funkcja 1

\(f(x)=\displaystyle\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}\)

Rozwiązanie

Uwaga! dotycząca istnienia asymptot funkcji wymiernych

Jeżeli funkcja wymierna \(f\) ma w liczniku wielomian stopnia o 1 wyższy niż wielomian w mianowniku, wówczas funkcja ta ma asymptotę ukośną.
Jeżeli funkcja \(f\) ma w liczniku i mianowniku wielomiany tego samego stopnia, to posiada asymptotę poziomą.
Jeśli natomiast stopień wielomianu z licznika funkcji \(f\) jest o 1 niższy niż wielomian z mianownika tej funkcji, wtedy funkcja \(f\) nie posiada asymptot ukośnych (w tym również poziomych).

Dziedziną funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}\) jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem tych liczb, dla których w mianowniku otrzymamy wartość \(0.\)
Zakładamy więc, że \[x^{2}-1\neq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ (x-1)(x+1)\neq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x\neq 1 \ \wedge \ x\neq -1.\]
Zatem dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \[D_{f}=\mathbb{R}\setminus \left \{ -1;1 \right \}.\]
Liczymy więc granice obustronne w punktach \(-1\) oraz \(1.\)
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}=\left [ \frac{5}{0^{+}} \right ]=\infty\\
\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}=\left [ \frac{5}{0^{-}} \right ]=-\infty\\
\displaystyle\lim_{x\to -1^{+}}\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}=\left [ \frac{1}{0^{-}} \right ]=-\infty\\
\displaystyle\lim_{x\to -1^{-}}\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}=\left [ \frac{1}{0^{+}} \right ]=\infty
\end{array}\]
Ponieważ funkcja z obu stron prostych \(x=1\) oraz \(x=-1\) dąży do \(\infty\) lub \(-\infty,\) zatem proste te są asymptotami pionowymi funkcji \(f.\)
Rysunek poglądowy poniżej.

Liczymy granice przy \(x\to \pm \infty.\)
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}=\lim_{x\to \infty}\frac{2x+\frac{3}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\to \infty}\frac{2\cancelto{\infty}{x}+\cancelto{0}{\frac{3}{x^{2}}}}{1-\cancelto{0}{\frac{1}{x^{2}}}}=\infty\\
\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}=\lim_{x\to \infty}\frac{2x+\frac{3}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\to \infty}\frac{2\cancelto{\infty}{x}+\cancelto{0}{\frac{3}{x^{2}}}}{1-\cancelto{0}{\frac{1}{x^{2}}}}=\infty
\end{array}\]
Funkcja będzie miała asymptotę ukośną (nie ma poziomej). Liczymy \(A, B,\) korzystając z warunku istnienia asymptoty ukośnej, aby otrzymać wzór funkcji liniowej \(y=Ax+B.\)
\[ \begin{array}{l}
A=\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to \pm\infty}\frac{2x^{3}+3}{x^{3}-x}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{2+\frac{3}{x^{3}}}{1-\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{2+\cancelto{0}{\frac{3}{x^{3}}}}{1-\cancelto{0}{\frac{1}{x^{2}}}}=2\\
B=\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} \left [f(x)-Ax \right ]= \lim_{x\to \pm\infty}\left [\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}-2x \right ]=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{2x^{3}+3-2x^{3}+2x}{x^{2}-1}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{2x+3}{x^{2}-1}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{\cancelto{0}{\frac{2}{x}}+\cancelto{0}{\frac{3}{x^{2}}}}{1-\cancelto{0}{\frac{1}{x^{2}}}}=0
\end{array}\]
Zatem asymptotą ukośną (obustronną) jest prosta \(y=2x.\)
Rysunek poglądowy poniżej. Nie znamy jednak jeszcze metod pozwalających ocenić, czy funkcja \(f\) będzie dążyła do prostej w \(\infty\) i w \(-\infty\) od góry czy od dołu.

Poniżej dla zainteresowanych pełen wykres funkcji \(f.\) Na tym etapie nauki brakuje nam jeszcze informacji i technik, aby wykonać taki rysunek. Będzie to możliwe w dziale "Przebieg zmienności funkcji".

Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\displaystyle\frac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}\) posiada asymptoty pionowe \(x=1\) i \(x=-1,\) oraz asymptotę ukośną \(y=2x.\)

Funkcja 2

\(f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x-2}\)

Rozwiązanie

Aby znaleźć asymptoty funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x-2}\) musimy najpierw wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f.\)
Musimy założyć, że
\[x-2\neq 0 \ \wedge \ x^{2}+3\geqslant 0\\
x\neq 2 \ \wedge \ \underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall } x^{2}+3\geqslant 0\]
Zatem dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór
\[D_{f}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 2 \right \}.\]
W pierwszym kroku policzymy granice jednostronne przy \(x\to 2.\)

Krok 1

\[\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to2^{+}}\frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x-2}=\left [ \frac{\sqrt{7}}{0^{+}} \right ]=\infty\\
\displaystyle\lim_{x\to2^{-}}\frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x-2}=\left [ \frac{\sqrt{7}}{0^{-}} \right ]=-\infty
\end{array}\]
Zatem prosta \(x=2\) jest asymptotą pionową (obustronną) funkcji \(f.\)

Liczymy granice funkcji przy \(x\to \pm\infty.\)

Krok 2

Najpierw obliczymy granicę funkcji przy \(x\to \infty.\) Korzystamy ze wzoru \(\sqrt{x^{2}}=\left | x \right |\) oraz z definicji \(\left | x \right | =\begin{cases} x,& \textrm{ dla } x\geqslant 0 \\ -x,& \textrm{ dla } x \lt 0 \end{cases}\) .
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x-2}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}}\sqrt{1+\frac{3}{x^{2}}}}{x\left (1-\frac{2}{x} \right )}=\lim_{x\to\infty}\frac{\left | x \right |\sqrt{1+\frac{3}{x^{2}}}}{x\left (1-\frac{2}{x} \right )}=\lim_{x\to\infty}\frac{ x\sqrt{1+\frac{3}{x^{2}}}}{x\left (1-\frac{2}{x} \right )}=\lim_{x\to\infty}\frac{ \sqrt{1+\cancelto{0}{\frac{3}{x^{2}}}}}{\left (1-\cancelto{0}{\frac{2}{x}} \right )}=1
\end{array}\]
Z tego wynika, że istnieje asymptota pozioma dla \(x\to \infty\) i ma równanie \(y=1.\)

W kolejnym kroku należy obliczyć granicę funkcji \(f\) dla \(x\to -\infty.\) Granice te są różne, co można poznać po pojawiającym się pierwiastku drugiego stopnia z \(x^{2}.\)

Krok 3

\[
\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x-2}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}}\sqrt{1+\frac{3}{x^{2}}}}{x\left (1-\frac{2}{x} \right )}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\left | x \right |\sqrt{1+\frac{3}{x^{2}}}}{x\left (1-\frac{2}{x} \right )}=\lim_{x\to-\infty}\frac{ -x\sqrt{1+\frac{3}{x^{2}}}}{x\left (1-\frac{2}{x} \right )}=\lim_{x\to-\infty}\frac{ -\sqrt{1+\cancelto{0}{\frac{3}{x^{2}}}}}{\left (1-\cancelto{0}{\frac{2}{x}} \right )}=-1
\]
Zatem prosta \(y=-1\) jest również asymptotą poziomą funkcji \(f,\) ale dla \(x\to -\infty.\)
Poniżej wykres funkcji \(f\) oraz części wykresu tej funkcji w przypadku, gdy dysponujemy tylko informacjami dotyczącymi asymptot wykresu funkcji \(f.\)

Krok 4 - Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x-2}\) posiada asymptotę pionową \(x=2\) oraz asymptoty poziome:

dla \(x\to \infty\) prosta \(y=1,\)
dla \(x\to -\infty\) prosta \(y=-1.\)

Funkcja 3

\(f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{\sqrt{x-4}}\)

Rozwiązanie

Krok 1

W pierwszym kroku wyznaczamy dziedzinę funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{\sqrt{x-4}}.\) Wybierz odpowiedź i kliknij przycisk "Sprawdź".

\[D_{f}=\mathbb{R}\setminus \left \{ -3;3 \right \}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[D_{f}=\left ( 4;\infty \right )\]

Odpowiedź prawidłowa

\[D_{f}= \left ( -\infty ;-3 \right \rangle \cup \left \langle 3;\infty \right )\]

Odpowiedź nieprawidłowa

Jak wyznaczyć dziedzinę?

Musimy przyjąć następujące założenia:
\[x^{2}-9\geqslant 0 \ \wedge \ x-4 \gt 0\\
(x-3)(x+3)\geqslant 0 \ \wedge \ x \gt 4\]

Zatem dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_{f}=\left ( 4;\infty \right ).\)

Krok 2

W kolejnym kroku aby wyznaczyć asymptotę pionową, należy obliczyć granicę funkcji \(f\) przy \(x\to 4^{+}.\)
Wybierz prawidłową odpowiedź i sprawdź.

\[\displaystyle\lim_{x\to 4^{+}}\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{\sqrt{x-4}}=\left [ \frac{\sqrt{7}}{0^{-}} \right ]=-\infty\]
Zatem prosta \(x=4\) jest asymptotą pionową lewostronną.

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\displaystyle\lim_{x\to 4^{+}}\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{\sqrt{x-4}}=\left [ \frac{\sqrt{7}}{0^{+}} \right ]=\infty\]
Zatem prosta \(x=4\) jest asymptotą pionową prawostronną.

Odpowiedź prawidłowa

Krok 3

W trzecim kroku musimy wyznaczyć granice \(A\) i \(B,\) aby wyznaczyć (jeżeli istnieją) asymptoty ukośne (w tym również poziome).
Wybierz prawidłową odpowiedź i sprawdź.

\[A=0, \ \ B=\infty\]
Zatem funkcja \(f\) nie posiada asymptot ukośnych.

Odpowiedź prawidłowa

\[A=\infty, \ \ B=\infty\]
Zatem funkcja \(f\) nie posiada asymptot ukośnych.

Odpowiedź nieprawidłowa

\[A=0,\ \ B=0\]
Zatem funkcja \(f\) posiada asymptotę poziomą \(y=0.\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Jak obliczyć granice \(A\) oraz \(B\)?

Granice \(A\) i \(B\) liczymy tylko dla \(x \to \infty,\) gdyż dziedziną funkcji są tylko liczby dodatnie (większe od \(4\)).
\[ \begin{array}{l}
A=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{\sqrt{x-4}}}{x}=\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{\sqrt{x^{3}-4x^{2}}}=\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{9}{x^{3}}}}{\sqrt{1-\frac{4}{x}}}=\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{\cancelto{0}{\frac{1}{x}}-\cancelto{0}{\frac{9}{x^{3}}}}}{\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{4}{x}}}}=\frac{0}{1}=0\\
B=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left [ \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{\sqrt{x-4}}-0\cdot x \right ]=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{\sqrt{x-4}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x-\frac{9}{x}}}{\sqrt{1-\frac{4}{x}}}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{\cancelto{\infty}{x}-\cancelto{0}{\frac{9}{x}}}}{\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{4}{x}}}}=\infty
\end{array}\]

Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{\sqrt{x-4}}\) posiada jedynie asymptotę pionową prawostronną \(x=4.\)

Funkcja 4

\(f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x-\pi}\)

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x-\pi}\) jest zbiór \(D_{f}=\mathbb{R}\setminus \left \{ \pi \right \}.\) Liczymy zatem granice funkcji \(f\) jednostronne przy \(x \to \pi.\)
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to \pi^{+}}\frac{\cos x}{x-\pi}=\left [ \frac{-1}{0^{+}} \right ]=-\infty
\\
\displaystyle\lim_{x\to \pi^{-}}\frac{\cos x}{x-\pi}=\left [ \frac{-1}{0^{-}} \right ]=\infty
\end{array}\]
Z powyższego wynika, że prosta \(x=\pi\) jest asymptotą pionową funkcji \(f.\)
Aby wyznaczyć asymptotę ukośną należy wyznaczyć granice \(A\) i \(B.\)

\(A=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\cos x}{x^{2}-\pi x}=0,\) gdyż z twierdzenia o trzech funkcjach możemy oszacować funkcję \(f\) z góry i z dołu funkcjami dążącymi do \(0,\) korzystając z własności funkcji cosinus: \(-1\leqslant \cos x \leqslant 1\)
\[\frac{-1}{x^{2}-\pi x}\leqslant \displaystyle\frac{\cos x}{x^{2}-\pi x}\leqslant \frac{1}{x^{2}-\pi x}\\
\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{-1}{x^{2}-\pi x}=\lim_{x\to \infty}\frac{-\frac{1}{x^{2}}}{1-\frac{\pi}{x}}=0\\
\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x^{2}-\pi x}=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{x^{2}}}{1-\frac{\pi}{x}}=0.\]
\(B=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\cos x}{x-\pi}=0,\) gdyż z twierdzenia o trzech funkcjach możemy oszacować funkcję \(f\) z góry i z dołu funkcjami dążącymi do \(0,\) korzystając z własności funkcji cosinus: \(-1\leqslant \cos x \leqslant 1\)
\[\cancelto{0}{\frac{-1}{x-\pi }}\leqslant \displaystyle\frac{\cos x}{x-\pi }\leqslant \cancelto{0}{\frac{1}{x-\pi }}.\]
Zatem prosta \(y=0\) jest asymptotą poziomą funkcji \(f.\)

Poniżej wykres funkcji \(f\) oraz części wykresu tej funkcji w przypadku, gdy dysponujemy tylko informacjami dotyczącymi asymptot wykresu funkcji \(f.\)

Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x-\pi}\) ma asymptotę pionową \(x=\pi\) oraz poziomą \(y=0.\)

5.2 Asymptoty funkcji

Polecenie

Znajdź asymptoty pionowe i ukośne funkcji.

Funkcja 1

\(f(x)=\displaystyle\frac{2x^{3}-4}{x^{2}+1}\)

Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\displaystyle\frac{2x^{3}-4}{x^{2}+1}\) posiada jedynie asymptotę ukośną \(y=2x.\)

Rozwiązanie

Ponieważ \(x^{2}+1\) jest większe od \(0\) dla każdej liczby rzeczywistej, zatem dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_{f}=\mathbb{R}.\) W takiej sytuacji funkcja nie posiada asymptot pionowych.
Aby wyznaczyć asymptoty ukośne musimy wyznaczyć granice
\[\begin{array}{l}
{\displaystyle A=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{2x^{3}-4}{x^{3}+x}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{2-\frac{4}{x^{3}}}{1+\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{2-\cancelto{0}{\frac{4}{x^{3}}}}{1+\cancelto{0}{\frac{1}{x^{2}}}}=2}\\
{\displaystyle B=\lim_{x\to \pm\infty}\left [ \frac{2x^{3}-4}{x^{2}+1}-2x \right ]=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{2x^{3}-4-2x^{3}-2x}{x^{2}+1}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{-2x-4}{x^{2}+1}=}\\
{\displaystyle = \lim_{x\to \pm\infty}\frac{-\frac{2}{x}-\frac{4}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{-\cancelto{0}{\frac{2}{x}}-\cancelto{0}{\frac{4}{x^{2}}}}{1+\cancelto{0}{\frac{1}{x^{2}}}}=0}
\end{array}\]
Zatem asymptota ukośna ma równanie \(y=2x.\)

Poniżej wykres funkcji \(f\) oraz części wykresu tej funkcji w przypadku, gdy dysponujemy tylko informacjami dotyczącymi asymptot wykresu funkcji \(f.\)

Funkcja 2

\(f(x)=\displaystyle\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\)

Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\displaystyle\frac{e^{x}}{e^{2x}-1}\) posiada asymptotę pionową \(x=0,\) asymptoty poziome: \(y=0\) dla \(x\to -\infty\) oraz \(y=1\) dla \(x\to \infty.\)

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{e^{x}}{e^{2x}-1}\) jest zbiór \(D_{f}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}.\)
Ponieważ
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}}{e^{2x}-1}=\left [ \frac{1}{0^{+}} \right ]=\infty\\
\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{e^{x}}{e^{2x}-1}=\left [ \frac{1}{0^{-}} \right ]=-\infty,
\end{array}\]
zatem prosta \(x=0\) jest asymptotą pionową funkcji \(f.\)
\[ \begin{array}{l}
A=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{e^{x}}{x\left (e^{x}-1 \right )}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x\left (1-\frac{1}{e^{x}} \right )}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{\cancelto{\infty}{x}\left (1-\cancelto{0}{\frac{1}{e^{x}}} \right )}=0\\
A=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{e^{x}}{x\left (e^{x}-1 \right )}=\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x\left (1-e^{-x} \right )}=\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{\cancelto{-\infty}{x}\left (1-\cancelto{\infty}{e^{-x}} \right )}=\Big [\frac{1}{\infty}\Big]=0
\\
B=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left [\frac{e^{x}}{e^{x}-1}-0\cdot x \right ]=\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{x}}{e^{x}-1}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{e^{x}}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1-\cancelto{0}{\frac{1}{e^{x}}}}=1
\\
B=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left [\frac{e^{x}}{e^{x}-1}-0\cdot x \right ]=\lim_{x\to -\infty}\frac{e^{x}}{e^{x}-1}=\lim_{x\to -\infty}\frac{\cancelto{0}{e^{x}}}{\cancelto{0}{e^{x}}-1}=0
\end{array} \]
Zatem asymptotą poziomą dla \( x\to -\infty\) jest prosta \( y=0,\) a dla \(x\to \infty\) asymptotą jest prosta \(y=1.\)

Poniżej wykres funkcji \(f\) oraz części wykresu tej funkcji w przypadku, gdy dysponujemy tylko informacjami dotyczącymi asymptot wykresu funkcji \(f.\)

Funkcja 3

\(f(x)=\displaystyle\frac{2x-3}{\sqrt{x^{2}-4}}\)

Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\displaystyle\frac{2x-3}{\sqrt{x^{2}-4}}\) posiada asymptoty pionowe:

lewostronną \(x=-2,\)
prawostronną \(x=2\)

oraz asymptoty poziome

\(y=2,\) dla \(x\to \infty,\)
\(y=-2,\) dla \(x\to -\infty.\)

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji \(\) jest zbiór \(D_{f}=\left ( -\infty;-2 \right )\cup \left ( 2; \infty \right ),\) gdyż
\[x^{2}-4 \gt 0\\
(x-2)(x+2)\gt 0\\
x=2 \ \vee x=-2 \]
Po naszkicowaniu paraboli widać, że \(x \in \left ( -\infty;-2 \right )\cup \left ( 2; \infty \right ).\)
W takiej sytuacji liczymy granicę lewostronną w \(-2\), czyli dla \(x\to -2^{-}\) oraz prawostronną w \(2\), czyli dla \(x \to 2^{+}.\)
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to -2^{-}}\frac{2x-3}{\sqrt{x^{2}-4}}=\left [ \frac{-7}{0^{+}} \right ]=-\infty
\\
\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}\frac{2x-3}{\sqrt{x^{2}-4}}=\left [ \frac{1}{0^{+}} \right ]=\infty
\end{array}\]
Zatem prosta \(x=-2\) jest asymptota pionową lewostronną, natomiast prosta \(x=2\) jest asymptotą pionową prawostronną funkcji \(f.\)
Aby wyznaczyć asymptoty ukośne liczymy \(A\) oraz \(B.\) Ze względu na występujący w mianowniku pierwiastek kwadratowy z \(x^{2}\) nie dzielimy, tylko wyłączamy przed pierwiastek najwyższą potęgę \(x\) z mianownika ułamka, gdyż \(\sqrt{x^{2}}=\left | x \right |.\) Korzystamy z definicji \(\left | x \right | =\begin{cases} x,& \textrm{ dla } x\geqslant 0 \\ -x,& \textrm{ dla } x \lt 0 \end{cases}\) . Osobno liczymy współczynniki \(A\) i \(B\) dla \(x\to \infty\) a osobno dla \(x\to -\infty.\)
\[ \begin{array}{l}
A=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{2x-3}{x\sqrt{x^{2}-4}}=\lim_{x\to \infty}\frac{2x-3}{x\sqrt{x^{2}}\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^{2}\left ( \frac{2}{x}-\frac{3}{x^{2}} \right )}{x\left | x \right |\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^{2}\left ( \frac{2}{x}-\frac{3}{x^{2}} \right )}{x\cdot x\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{2}{x}-\frac{3}{x^{2}}}{\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to \infty}\frac{\cancelto{0}{\frac{2}{x}}-\cancelto{0}{\frac{3}{x^{2}}}}{\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{4}{x^{2}}}}}=0\\
A=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2x-3}{x\sqrt{x^{2}-4}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{2x-3}{x\sqrt{x^{2}}\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}\left ( \frac{2}{x}-\frac{3}{x^{2}} \right )}{x\left | x \right |\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}\left ( \frac{2}{x}-\frac{3}{x^{2}} \right )}{x\cdot (-x)\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{\frac{2}{x}-\frac{3}{x^{2}}}{-\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{\cancelto{0}{\frac{2}{x}}-\cancelto{0}{\frac{3}{x^{2}}}}{-\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{4}{x^{2}}}}}=0\\
B=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left [\frac{2x-3}{\sqrt{x^{2}-4}} -0\cdot x \right ]= \lim_{x\to \infty}\frac{2x-3}{\sqrt{x^{2}-4}}=\lim_{x\to \infty}\frac{x(2-\frac{3}{x})}{\sqrt{x^{2}}\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to \infty}\frac{x(2-\frac{3}{x})}{\left | x \right |\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to \infty}\frac{x(2-\frac{3}{x})}{x\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=
\lim_{x\to \infty}\frac{2-\frac{3}{x}}{\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to \infty}\frac{2-\cancelto{0}{\frac{3}{x}}}{\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{4}{x^{2}}}}}=2\\
B=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left [\frac{2x-3}{\sqrt{x^{2}-4}} -0\cdot x \right ]= \lim_{x\to -\infty}\frac{2x-3}{\sqrt{x^{2}-4}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{x(2-\frac{3}{x})}{\sqrt{x^{2}}\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{x(2-\frac{3}{x})}{\left | x \right |\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{x(2-\frac{3}{x})}{-x\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{2-\frac{3}{x}}{-\sqrt{1-\frac{4}{x^{2}}}}=\lim_{x\to -\infty}\frac{2-\cancelto{0}{\frac{3}{x}}}{-\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{4}{x^{2}}}}}=-2
\end{array}\]
Zatem asymptotą poziomą funkcji \(f\) dla \(x \to \infty\) jest prosta \(y=2,\) natomiast dla \(x \to -\infty\) prosta \(y=-2.\)

Poniżej wykres funkcji \(f\) oraz części wykresu tej funkcji w przypadku, gdy dysponujemy tylko informacjami dotyczącymi asymptot wykresu funkcji \(f.\)

5.3 Ciągłość funkcji