Dobieramy wzór funkcji \(f\) oraz wartość \(x_{0},\) aby skorzystać ze wzoru \(f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\Delta x.\)
\[ \begin{array}{l}
f(x)=\sqrt{x}\\
x_{0}=4\\
\Delta x=x-x_{0}=3,999-4=-0,001\\
f(4)=\sqrt{4}=2\\
\end{array}\]
Liczymy pochodną funkcji \(f\) i jej wartość dla \(x_{0}=4.\)
\[ \begin{array}{l}
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\
f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}
\end{array}\]
Podstawiamy do wzoru
\[\sqrt{3,999}\approx 2+\frac{1}{4}\cdot \left ( -0,001 \right )=2-0,00025=1,99975.\]
Możemy porównać z wynikiem kalkulatora: \(\sqrt{3,999}\approx 1.9997499843730466.\)

Dobieramy wzór funkcji \(f\) i wartość \(x_{0}.\)
\[ \begin{array}{l}
f(x)=e^{x}\\
x_{0}=-1\\
\Delta x=x-x_{0}=-1,01-(-1)=-0,01\\
{\displaystyle f(-1)=e^{-1}=\frac{1}{e}}
\end{array}\]
Wyznaczamy pochodną funkcji \(f\) i jej wartość dla \(x_{0}=-1.\)
\[ \begin{array}{l}
f'(x)=e^{x}\\
{\displaystyle f'(-1)=e^{-1}=\frac{1}{e}}
\end{array}\]
Korzystamy z różniczki wyznaczając przybliżenie wyrażenia:
\[e^{-1,01}\approx \frac{1}{e}+\frac{1}{e}\cdot (-0,01)=\frac{1}{e}-\frac{0,01}{e}=\frac{0,99}{e}\ (\approx 0.3642006467597279).\]
Wynik otrzymany na kalkulatorze: \(e^{-1,01}\approx  0.3642189795715233.\)

Zapisujemy wzór na objętość sześcianu jako funkcję zmiennej \(d\) oraz liczymy pochodną tej funkcji.
\[\begin{array}{l}
{\displaystyle V(d)=a^{3}=\left ( \frac{d\sqrt{3}}{3} \right )^{3}=\frac{d^{3}\sqrt{3}}{9}}\\
{\displaystyle V'(d)=\frac{3d^{2}\sqrt{3}}{9}}
\end{array}\]
Korzystamy z  faktu \(\Delta _{y}\approx \left | f'(x_{0}) \right |\Delta _{x}\)  (zastosowania różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów).
\[\left | \Delta_{V} \right |\approx \left | V'(d) \right |\cdot \left | \Delta _{d} \right |\]
Zatem
\[\left | \Delta_{V} \right |\approx \left |\frac{3d^{2}\sqrt{3}}{9}\right|_{d=10 \textrm{mm}}\cdot 0,01 \textrm{ mm}^{3}\approx \\
\approx \left |\frac{3\cdot 10^{2}\sqrt{3}}{9}\right|\cdot 0,01 \textrm{ mm}^{3}\approx \frac{\sqrt{3}}{3}\textrm{ mm}^{3} \approx   0.5773502691896258 \textrm{ mm}^{3}.\]