Zakładamy, że \(x_{0}=2,5,\) zatem chcemy wyznaczyć kolejne wyrazy ciągu, \(x_{1}, x_{2}, \cdots.\) Dlaczego tak? W tym przypadku wiemy, że dodatnim pierwiastkiem równania  \[x^{2}-5=0\] jest \(\sqrt{5},\) a liczba \(2,5\) jest liczbą większą od tego pierwiastka.
Zaczynamy od funkcji \(f\) oraz pierwszej i drugiej pochodnej funkcji \(f.\)
\(f(x)=x^{2}-5\\
f'(x)=2x\\
f''(x)=2\)
Mając dany \(x_{0}=2,5\) wyznaczamy kolejne wyrazy ciągu \((x_{n}),\) korzystając ze wzoru \(x_{n+1}=x_{n}-\displaystyle\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.\)
\(x_{1}=\)  obliczenia \({\displaystyle 2,5-\frac{(2,5)^{2}-5}{2\cdot 2,5}=2,5-\frac{6,25-5}{5}=2,5-\frac{1,25}{5}=2,5-0,25}\)  \(=2,25,\) ponieważ \(f\) oraz \(f''\) są na odcinku \( \left \langle \alpha;x_{0} \right \rangle\) tego samego znaku, zatem \(\alpha \lt x_{1} \lt x_{0},\)
\(x_{2}=\)  obliczenia \({\displaystyle 2,25-\frac{(2,25)^{2}-5}{2\cdot 2,25}=2,25-\frac{0,0625}{4,5}=2,25-\frac{1}{72}=2\frac{1}{4}-\frac{1}{72}=2\frac{18}{72}-\frac{1}{72}=2\frac{17}{72}}\)  \(\approx 2,2361,\)  ponieważ \(f\) oraz \(f''\) są na odcinku \( \left \langle \alpha;x_{0} \right \rangle\) tego samego znaku, zatem \(\alpha \lt x_{2} \lt x_{1}.\)
Wiemy, że dodatnim pierwiastkiem tego równania jest \(\sqrt{5}\approx 2,2360,\) zatem już \(x_{2}\) jest bardzo dobrym przybliżeniem tego pierwiastka.
Oczywiście możemy liczyć kolejne wyrazy ciągu \(x_{n}\) uzyskując coraz lepsze przybliżenie rozwiązania danego równania.

Aby podać przybliżenie rozwiązania równania \(x^{3}-x-1=0\) musimy na początku wyznaczyć taki argument \(x_{0},\) który będzie większy od faktycznej wartości pierwiastka tego równania. Tym razem nie widzimy, jaka liczba będzie pierwiastkiem, zatem możemy wyznaczyć przedział, który będzie ten pierwiastek zawierał. Np. liczymy wartość \(f(x)=x^{3}-x-1\) dla argumentów \(1, 2.\)
Widzimy, że \(f(1)=-1 \lt 0,\) natomiast \(f(2)=5 \gt 0.\) W takiej sytuacji wiemy, że argument będący miejscem zerowym mieści się w przedziale \( (1;2).\)
Zatem wybieramy na \(x_{0}=2.\)
Wyznaczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji \(f.\)
\(f(x)=x^{3}-x-1\\
f'(x)=3x^{2}-1\\
f''(x)=6x\)
Mając dany \(x_{0}=2\) wyznaczamy kolejne wyrazy ciągu:
\(x_{1}=\)  obliczenia \({\displaystyle 2-\frac{2^{3}-2-1}{3\cdot 2^{2}-1}=2-\frac{5}{11}=\frac{22}{11}-\frac{5}{11}=\frac{7}{11}}\)  \(\approx 1,5454, \) ponieważ \(f\) oraz \(f''\) są na odcinku \( \left \langle \alpha;x_{0} \right \rangle\) tego samego znaku, zatem \(\alpha \lt x_{1} \lt x_{0},\)
\(x_{2}=\)  obliczenia \( {\displaystyle \frac{17}{11}-\frac{\left (\frac{17}{11} \right )^{3}-\frac{17}{11}-1}{3\cdot \left ( \frac{17}{11} \right )^{2}-1}=\frac{17}{11}-\frac{\frac{4913}{1331}-\frac{2057}{1331}-\frac{1331}{1331}}{3\cdot \frac{289}{121}-\frac{121}{121}}=\frac{17}{11}-\frac{\frac{1525}{1331}}{\frac{746}{121}}=\frac{17}{11}-\frac{1525}{1331}\cdot \frac{121}{746}=\frac{17\cdot 746}{11\cdot 746}-\frac{1525}{11\cdot 746}=\frac{11157}{8206}}\)  \(\approx 1,3596, \)  ponieważ \(f\) oraz \(f''\) są na odcinku \( \left \langle \alpha;x_{1} \right \rangle\) tego samego znaku, zatem \(\alpha \lt x_{2} \lt x_{1}.\)

Możemy tą metodą wyznaczać przybliżone wartości pierwiastków takich równań jak \(\sin x -x +1 =0,\) jednak potrzebny będzie kalkulator, do wyznaczania przybliżonych wartości tych przybliżeń.
Wyznaczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji \(f(x)=\sin x-x+1\)
\(f'(x)=\cos x-1\\
f''(x)=-\sin x\)
Liczymy wartości kolejnych wyrazów ciągu \(x_{n}\) dla \(x_{0}=\pi:\)
\(x_{1}=\)  obliczenia \({\displaystyle \pi-\frac{\sin \pi -\pi +1}{\cos \pi -1}=\pi-\frac{1-\pi}{-2}=\frac{2\pi-\pi+1}{2}}\)  \(=\displaystyle\frac{\pi+1}{2},\)
\(x_{2}=\)  obliczenia \({\displaystyle \frac{\pi+1}{2}-\frac{\sin \frac{\pi+1}{2}- \frac{\pi+1}{2}+1}{\cos \frac{\pi+1}{2}-1}}\)  \(\approx 1,9402 \ \) (tutaj musimy użyć kalkulatora, aby przybliżyć wartość przybliżenia \(x_{2}.\))
Wybieramy \(x_{2}\) na przybliżenie pierwiastka równania \(\sin x -x +1 =0.\)
Oczywiście możemy liczyć kolejne wyrazy ciągu \(x_{n}\) uzyskując coraz lepsze przybliżenia, jednak wiedząc jaka jest wartość pierwiastka tego równania ( \(x\approx 1,93456 \ \) można wyznaczyć tą wartość posługując się kalkulatorami równań lub innymi programami matematycznymi) widzimy, że już \(x_{2}\) jest dobrym przybliżeniem tego pierwiastka.