Zadanie 1.3.1

Polecenie

Dla par zbiorów $A$ i $B$ wyznacz
$A\cup B,\quad A\cap B,\quad A\setminus B, \quad B\setminus A,\quad A^{'}, \quad B^{'}.$
Wskaż pary zbiorów, między którymi zachodzi relacja inkluzji.

Wskazówki

Definicja sumy mnogościowej

Suma mnogościowa zbiorów

$A$ i

$B$ , to zbiór wszystkich elementów, które należą do zbioru

$A$ oraz tych, które należą do zbioru

$B$ . Sumę oznaczamy

$A\cup B$ . Zatem:

$\left \{ x\in A\cup B \right \}\Leftrightarrow \left \{ x\in A \vee x \in B \right \}.$

Przykład

Jeśli zatem wśród wszystkich ludzi zbiór

$A$ byłby zbiorem wszystkich studentów a zbiór

$B$ byłby zbiorem wszystkich osób pracujących, to suma

$A\cup B$ byłaby zbiorem wszystkich osób studiujących lub pracujących. W szczególności do zbioru tego należą:

wszyscy studiujący ale nie pracujący,
wszyscy pracujący ale nie studiujący,
wszyscy, którzy studiują i również pracują,
wszyscy, którzy pracują i równocześnie studiują.

Definicja iloczynu zbiorów

Iloczynem mnogościowym zbiorów

$A$ i

$B$ nazywamy zbiór złożony tylko z elementów, które jednocześnie należą do zbioru

$A$ i do zbioru

$B$ . Iloczyn oznaczamy

$A\cap B$ . Zatem:

$\left \{ x\in A\cap B \right \}\Leftrightarrow \left \{ x\in A \wedge x \in B \right \}.$

Przykład

Jeśli zatem wśród wszystkich ludzi zbiór

$A$ byłby zbiorem wszystkich studentów a zbiór

$B$ byłby zbiorem wszystkich osób pracujących, to iloczynem

$A\cap B$ byłaby zbiorem wszystkich osób studiujących i pracujących jednocześnie. W szczególności do zbioru tego należą:

wszyscy, którzy studiują i również pracują,
wszyscy, którzy pracują i równocześnie studiują.

Definicja różnicy zbiorów

Różnicą zbiorów

$A$ i

$B$ nazywamy zbiór wszystkich elementów, które należą do zbioru

$A$ ale nie należą do zbioru

$B$ . Różnicę oznaczamy

$A\setminus B$ . Zatem

$\left \{ x\in A\setminus B \right \}\Leftrightarrow \left \{ x\in A \wedge x \notin B \right \}.$

Przykład

Jeśli zatem wśród wszystkich ludzi zbiór

$A$ byłby zbiorem wszystkich studentów a zbiór

$B$ byłby zbiorem wszystkich osób pracujących, to suma

$A\setminus B$ byłaby zbiorem wszystkich osób studiujących ale nie pracujących.
Różnica zbiorów

$B\setminus A$ to zbiór wszystkich ludzi, którzy:

pracują ale nie studiują.

Definicja dopełnienia zbiorów

Niech

$X$ będzie ustalonym zbiorem zwanym dalej przestrzenią, niech

$A$ będzie dowolnym podzbiorem zbioru

$X$ . Dopełnieniem zbioru

$A$ względem przestrzeni

$X$ nazywamy zbiór

$X\setminus A$ i oznaczamy go symbolem

$A^{'} \left ( A^{c} \right )$ . Oczywiście

$\left ( A^{'} \right )^{'}=A$ . Ponadto

$(\phi ^{'})=X, X^{'}=\phi$ .

Przykład

Jeśli zatem wśród wszystkich ludzi zbiór

$A$ byłby zbiorem wszystkich studentów, to dopełnienie

$A^{'}$ byłaby zbiorem wszystkich ludzi, którzy nie studiują.
W szczególności do zbioru tego należą:

wszyscy ludzie pracujący lub nie, pod warunkiem, że nie studiują.

Zawieranie się zbiorów (inkluzja)

Zbiór

$A$ zawiera się w zbiorze

$B$ jeśli każdy element należący do zbioru

$A$ należy również do zbioru

$B$ . Co zapisujemy symbolicznie:

$A \subset B$ .
Mamy zatem:

$A\subset B \Leftrightarrow \forall x \left [ x\in A \Rightarrow x \in B \right ].$

Dodatkowo, jeśli

$A\neq B$ , wówczas mówimy, że zbiór

$A$ jest podzbiorem właściwym zbioru

$B$ .
Oczywiste jest, że

$\phi \subset A, A \subset A$ dla dowolnego zbioru

$A$ .

Zbiory rozłączne

Mówimy, ze zbiory

$A$ i

$B$ są rozłączne, jeśli ich iloczyn jest zbiorem pustym, tj.

$A\cap B = \phi$

Ćwiczenia

$A=(0,5),B=\left \langle 0;7 \right \rangle$

Rozwiązanie - Animacja 1

Uwaga

Rozwiązanie jest przedstawione w postaci animacji.
Kliknij w przycisk z odpowiednim zbiorem a pojawi się on na osi licznowej wraz z wytłumaczeniem.

Odpowiedź

$\begin{array}{l} A\subset B\\ A\cup B=\left \langle 0;7 \right \rangle\\ A\cap B=\left ( 0;5 \right )\\ A\setminus B=\varnothing\\ B\setminus A=\left \langle 5;7 \right \rangle\\ A^{'}=\left ( -\infty ;0 \right \rangle\cup \left \langle 5;\infty \right )\\ B^{'}=\left ( -\infty ;0 \right )\cup \left ( 7;\infty \right ) \end{array}$

$A=\left ( -\infty;5 \right \rangle ,B=(-2; \infty)$

Rozwiązanie - Animacja 2

Uwaga

Rozwiązanie jest przedstawione w postaci animacji.
Kliknij w przycisk z odpowiednim zbiorem a pojawi się on na osi licznowej wraz z wytłumaczeniem.

Odpowiedź

$\begin{array}{l} A\cup B=\mathbb{R}\\ A\cap B=\left ( -2; 5\right \rangle\\ A\setminus B=\left ( -\infty ;-2 \right \rangle\\ B\setminus A=\left ( 5;\infty \right )\\ A'=B\setminus A=\left ( 5;\infty \right )\\ B'=A\setminus B=\left ( -\infty ;-2 \right \rangle \end{array}$

$A=\{ n\in N: 2|n\}, B=\{ n\in N: 3|n\}$

Rozwiązanie

Najpierw spróbujemy wypisać po kilka elementów każdego z tych zbiorów.

$A$ to zbiór wszystkich liczb naturalnych, które dzieli

$2$ , czyli są podzielne przez

$2$ . Inaczej mówiąc są to wszystkie parzyste liczby naturalne, zatem

$A =\{ 0,2,4,6,8,… \} .$
Do zbioru

$B$ należą te wszystkie liczby naturalne, które dzieli

$3$ , czyli te, które są podzielne przez

$3$ :

$B=\{0,3,6,9,12,15,18,21….\}.$ Pamiętajmy, że liczba

$0$ nie dość, że jest naturalna (choć niektóre źródła podają, że zbiór liczb naturalnych nie zawiera w sobie

$0$ , my będziemy zakładać, że zawiera), to jest również podzielna przez wszystkie liczby naturalne. Sama jednak nie może być dzielnikiem żadnej liczby, bo w matematyce nie umiemy dzielić przez

$0$ ! Spróbuj wypisać elementy sumy, iloczynu, różnic oraz dopełnień zbiorów

$A$ i

$B$ .

Sumą zbiorów

$A$ i

$B$ będzie zbiór tych wszystkich liczb naturalnych podzielnych przez

$2$ lub podzielnych przez

$3$ , zatem

$A \cup B = \left \{ 0,2,3,4,6,8,9,10,12,... \right \} = \left \{ n\in N: 2|n \vee 3|n \right \}.$
Iloczynem zbiorów

$A$ i

$B$ jest w tym przypadku zbiór wszystkich liczb naturalnych, które są jednocześnie podzielne przez

$2$ i przez

$3$ . Zauważmy, że jest to zbiór wszystkich liczb naturalnych podzielnych przez

$6$ , co wynika również z cech podzielności liczb.

$A \cap B = \left \{0,6,12,... \right \} = \left \{ n\in N: 2|n \wedge 3|n \right \}= \left \{ n\in N: 6|n \right \}.$
Różnicą zbiorów

$A\setminus B$ jest zbiór wszystkich liczb naturalnych, które dzielą się przez

$2$ ale jednocześnie nie dzielą się przez

$3$ . Wybierzmy takie liczby ze zbioru

$A$ :

$A \setminus B = \left \{ 2,4,8,10,14,16,20,... \right \}= \left \{ n\in N: 2\mid n \wedge 3 \nmid n \right \}.$
Różnicę zbiorów

$B\setminus A$ będziemy wyznaczać podobnie, jednak liczby naturalne należące do tej różnicy będą podzielne przez

$3$ ale nie będą dzielić się przez

$2$ :

$B \setminus A = \left \{ 3,9,15,21,... \right \}= \left \{ n\in N: 3 \mid n \wedge 2\nmid n \right \}$
Dopełnienie zbioru

$A$ (zbiór

$A^{'}$ )
Ponieważ zbiory

$A$ i

$B$ są zawarte w

$\mathbb{R}$ (są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych), zatem dopełnieniem zbioru

$A$ będzie zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem tych liczb naturalnych, które są podzielne przez

$2$ . Nie potrafimy znaleźć jednej cechy dla wszystkich tych liczb, zatem zapisujemy symbolicznie zbiór tych liczb rzeczywistych, które albo nie są naturalne lub, jeśli są naturalne, to nie dzielą się przez

$2$ :

$A^{'}= \left \{ x\in \mathbb{R}:x \notin N \vee (x\in N \wedge 2 \nmid x) \right \}.$
Dopełnienie zbioru

$B$ (zbiór

$B^{'}$ )
Podobnie zbiory

$A$ i

$B$ są zawarte w

$\mathbb{R}$ (są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych), zatem dopełnieniem zbioru

$B$ będzie zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem tych liczb naturalnych, które są podzielne przez

$3$ . Nie potrafimy znaleźć takiej cechy dla wszystkich tych liczb, zatem zapisujemy symbolicznie zbiór tych liczb rzeczywistych, które albo nie są naturalne lub, jeśli są naturalne, to nie dzielą się przez

$3$ :

$B^{'}= \left \{ x\in \mathbb{R}:x \notin N \vee (x\in N \wedge 3 \nmid x) \right \}.$

Odpowiedź

$\begin{array}{l} A \cup B = \left \{ 0,2,3,4,6,8,9,10,12,... \right \} = \left \{ n\in N: 2|n \vee 3|n \right \},\\ A \cap B = \left \{0,6,12,... \right \} = \left \{ n\in N: 2|n \wedge 3|n \right \}= \left \{ n\in N: 6|n \right \},\\ A \setminus B = \left \{ 2,4,8,10,14,16,20,... \right \}= \left \{ n\in N: 2\mid n \wedge 3 \nmid n \right \},\\ B \setminus A = \left \{ 3,9,15,21,... \right \}= \left \{ n\in N: 3 \mid n \wedge 2\nmid n \right \},\\ A^{'}= \left \{ x\in \mathbb{R}:x \notin N \vee (x\in N \wedge 2 \nmid x) \right \},\\ B^{'}= \left \{ x\in \mathbb{R}:x \notin N \vee (x\in N \wedge 3 \nmid x) \right \}. \end{array}$

$A = \left \{ x\in \mathbb{R}: x^{2}=9 \right \},$

$B= \left \{ x\in \mathbb{R}: x^{2}-x-6=0 \right\}$

Rozwiązanie

Zbiór

$A$ , to zbiór tych liczb rzeczywistych

$x$ , które spełniają równanie

$x^{2}=9$ , zatem zbiór

$A$ tworzą te liczby, które są rozwiązaniami danego równania. Podobnie ze zbiorem

$B$ . Należy zatem rozwiązać równania kwadratowe podane w zbiorze

$A$ i w zbiorze

$B$ .

Rozwiązując równanie kwadratowe podane w zbiorze

$A$ korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ .

$\begin{array}{l} x^{2}= 9\\ x^{2}-9=0\\ (x-3)(x+3)=0\\ x-3 = 0 \vee x+3 =0\\ x=3 \vee x= -3 \end{array}$
Zatem

$A = \{-3,3\}.$
Rozwiąż równanie

$x^{2}-x-6=0,$ korzystając z delty.

$\begin{array}{l} x^{2}-x-6=0\\ \Delta =b^{2}-4ac=1-4(-6)=25\\ \sqrt{\Delta}=5\\ \displaystyle{x_{1}=\frac{1-5}{2}=-2, x_{2}=\frac{1+5}{2}=3} \end{array}$
Zatem:

$A =\left \{ -3,3 \right \}, B=\left \{ -2,3 \right \}$
Wyznaczamy sumę, iloczyn, różnice i dopełnienia poszczególnych zbiorów oraz podajemy odpowiedź.

Odpowiedź

$\begin{array}{l} A\cup B=\left \{ -3, -2, 3 \right \}\\ A\cap B = \left \{ 3 \right \}\\ A\setminus B=\left \{ -3 \right \}\\ B\setminus A = \left \{ -2 \right \}\\ A^{'}= \mathbb{R}\setminus \left \{ -3,3 \right \}\\ B^{'}= \mathbb{R}\setminus \left \{ -2,3 \right \}. \end{array}$

1.3 Zbiory

Polecenie

Wskazówki

Definicja sumy mnogościowej

Przykład

Definicja iloczynu zbiorów

Przykład

Definicja różnicy zbiorów

Przykład

Definicja dopełnienia zbiorów

Przykład

Zawieranie się zbiorów (inkluzja)

Zbiory rozłączne

Ćwiczenia

Rozwiązanie - Animacja 1

Odpowiedź

Rozwiązanie - Animacja 2

Odpowiedź

Rozwiązanie

Odpowiedź

Rozwiązanie

Odpowiedź

Polecenie

Ćwiczenia

Odpowiedź

Odpowiedź

Odpowiedź

Pytanie 1

Pytanie 2

Pytanie 3

Pytanie 4

Pytanie 5

Pytanie 6

Podsumowanie