Rozwiązanie
Najpierw spróbujemy wypisać po kilka elementów każdego z tych zbiorów.
\(A\) to zbiór wszystkich liczb naturalnych, które dzieli \(2\), czyli są podzielne przez \(2\). Inaczej mówiąc są to wszystkie parzyste liczby naturalne, zatem \[A =\{ 0,2,4,6,8,… \} .\]
Do zbioru \(B\) należą te wszystkie liczby naturalne, które dzieli \(3\), czyli te, które są podzielne przez \(3\): \[ B=\{0,3,6,9,12,15,18,21….\}.\]Pamiętajmy, że liczba \(0\) nie dość, że jest naturalna (choć niektóre źródła podają, że zbiór liczb naturalnych nie zawiera w sobie \(0\), my będziemy zakładać, że zawiera), to jest również podzielna przez wszystkie liczby naturalne. Sama jednak nie może być dzielnikiem żadnej liczby, bo w matematyce nie umiemy dzielić przez \(0\)! Spróbuj wypisać elementy sumy, iloczynu, różnic oraz dopełnień zbiorów \(A\) i \(B\).
Sumą zbiorów \(A\) i \(B\) będzie zbiór tych wszystkich liczb naturalnych podzielnych przez \(2\) lub podzielnych przez \(3\), zatem
\[A \cup B = \left \{ 0,2,3,4,6,8,9,10,12,... \right \} = \left \{ n\in N: 2|n \vee 3|n \right \}.\]
Iloczynem zbiorów \(A\) i \(B\) jest w tym przypadku zbiór wszystkich liczb naturalnych, które są jednocześnie podzielne przez \(2\) i przez \(3\). Zauważmy, że jest to zbiór wszystkich liczb naturalnych podzielnych przez \(6\), co wynika również z cech podzielności liczb.
\[A \cap B = \left \{0,6,12,... \right \} = \left \{ n\in N: 2|n \wedge 3|n \right \}= \left \{ n\in N: 6|n \right \}.\]
Różnicą zbiorów \(A\setminus B\) jest zbiór wszystkich liczb naturalnych, które dzielą się przez \(2\) ale jednocześnie nie dzielą się przez \(3\). Wybierzmy takie liczby ze zbioru \(A\):
\[ A \setminus B = \left \{ 2,4,8,10,14,16,20,... \right \}= \left \{ n\in N: 2\mid n \wedge 3 \nmid n \right \}.\]
Różnicę zbiorów \(B\setminus A\) będziemy wyznaczać podobnie, jednak liczby naturalne należące do tej różnicy będą podzielne przez \(3\) ale nie będą dzielić się przez \(2\):
\[B \setminus A = \left \{ 3,9,15,21,... \right \}= \left \{ n\in N: 3 \mid n \wedge 2\nmid n \right \}\]
Dopełnienie zbioru \(A\) (zbiór \(A^{'}\))
Ponieważ zbiory \(A\) i \(B\) są zawarte w \(\mathbb{R}\) (są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych), zatem dopełnieniem zbioru \(A\) będzie zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem tych liczb naturalnych, które są podzielne przez \(2\). Nie potrafimy znaleźć jednej cechy dla wszystkich tych liczb, zatem zapisujemy symbolicznie zbiór tych liczb rzeczywistych, które albo nie są naturalne lub, jeśli są naturalne, to nie dzielą się przez \(2\):
\[A^{'}= \left \{ x\in \mathbb{R}:x \notin N \vee (x\in N \wedge 2 \nmid x) \right \}.\]
Dopełnienie zbioru \(B\) (zbiór \(B^{'}\))
Podobnie zbiory \(A\) i \(B\) są zawarte w \(\mathbb{R}\) (są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych), zatem dopełnieniem zbioru \(B\) będzie zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem tych liczb naturalnych, które są podzielne przez \(3\). Nie potrafimy znaleźć takiej cechy dla wszystkich tych liczb, zatem zapisujemy symbolicznie zbiór tych liczb rzeczywistych, które albo nie są naturalne lub, jeśli są naturalne, to nie dzielą się przez \(3\):
\[B^{'}= \left \{ x\in \mathbb{R}:x \notin N \vee (x\in N \wedge 3 \nmid x) \right \}.\]
Odpowiedź
\[\begin{array}{l}
A \cup B = \left \{ 0,2,3,4,6,8,9,10,12,... \right \} = \left \{ n\in N: 2|n \vee 3|n \right \},\\
A \cap B = \left \{0,6,12,... \right \} = \left \{ n\in N: 2|n \wedge 3|n \right \}= \left \{ n\in N: 6|n \right \},\\
A \setminus B = \left \{ 2,4,8,10,14,16,20,... \right \}= \left \{ n\in N: 2\mid n \wedge 3 \nmid n \right \},\\
B \setminus A = \left \{ 3,9,15,21,... \right \}= \left \{ n\in N: 3 \mid n \wedge 2\nmid n \right \},\\
A^{'}= \left \{ x\in \mathbb{R}:x \notin N \vee (x\in N \wedge 2 \nmid x) \right \},\\
B^{'}= \left \{ x\in \mathbb{R}:x \notin N \vee (x\in N \wedge 3 \nmid x) \right \}.
\end{array}\]
