Zadanie 1.3.2
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 1. Logika
  3. 1.3 Zbiory
  4. Zadanie 1.3.2

 Animacja - Ćwiczenie interaktywne

Uwaga

Aby sprawdzić poprawność odpowiedzi, kliknij przycisk "Sprawdź". Jeśli chcesz zobaczyć prawidłową odpowiedź, kliknij przycisk "Rozwiązanie".  Przycisk "Generuj nowy" wyświetla kolejny przykład.

 Polecenie

Czy dla dowolnych zbiorów \(A\), \(B\) i \(C\) prawdziwe są następujące równości:
 

Uwaga

Najłatwiej zobrazować treść zadania i udowodnić, że równanie jest prawdziwe lub fałszywe, korzystając z diagramów Venna.

 Ćwiczenia

1. \(A\cap \left ( B\cup C \right )=\left ( A\cap B \right )\cup C\)

 Rozwiązanie

Uwaga
Korzystając z diagramów Venna cieniujemy stopniowo zbiory znajdujące się w równaniu.
Na początku cieniujemy zbiory \( B\cup C \) oraz \( A\cap B .\)
zadanie_16a_polaczone_1
W drugiej kolejności zbiory  \(A\cap \left ( B\cup C \right )\)  oraz \(\left ( A\cap B \right )\cup C.\)
zadanie_16a_polaczone_2
Jak widać na diagramach równanie \(A\cap \left ( B\cup C \right )=\left ( A\cap B \right )\cup C\) nie jest prawdziwe.

 Odpowiedź

 \(A\cap \left ( B\cup C \right ) \neq \left ( A\cap B \right )\cup C\)

2. \(\left (  A\setminus B \right )\cup C = \left ( A\cup C \right )\setminus  \left ( B \cup C \right )\)

 Rozwiązanie

Uwaga
Korzystając z diagramów Venna cieniujemy stopniowo zbiory znajdujące się w równaniu.
Na początku cieniujemy zbiory \(  A\setminus B , \ \  A\cup C,\) oraz  \( B \cup C .\)
Zadanie16_B_polaczenie1
W następnej kolejności zaznaczamy już zbiory \(\left (  A\setminus B \right )\cup C, \ \  \left ( A\cup C \right )\setminus  \left ( B \cup C \right ).\)
Zadanie16_B_polaczenie2
Jak widać zbiory te nie są równe, zatem równanie nie jest prawdziwe.

 Odpowiedź

\(\left (  A\setminus B \right )\cup C \neq \left ( A\cup C \right )\setminus  \left ( B \cup C \right )\)
3. \(\left (  A\setminus B \right )\setminus C=A\setminus \left ( B\setminus C \right )\)

 Rozwiązanie

Uwaga
Korzystając z diagramów Venna cieniujemy stopniowo zbiory znajdujące się w równaniu.
Na początku cieniujemy zbiory \( A\setminus B,\) oraz \(B\setminus C .\)
Zadanie16_c_polaczenie1
W następnej kolejności zaznaczamy już zbiory \(\left (  A\setminus B \right )\setminus C,\) oraz \(A\setminus \left ( B\setminus C \right ).\)
Zadanie16_c_polaczenie2
Jak widać zbiory te nie są równe, zatem równanie nie jest prawdziwe.

 Odpowiedź

\(\left (  A\setminus B \right )\setminus C \neq A\setminus \left ( B\setminus C \right )\)
4. \(A \cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\)

 Rozwiązanie

Uwaga
Korzystając z diagramów Venna cieniujemy stopniowo zbiory znajdujące się w równaniu.
Na początku cieniujemy zbiory \(B\cap C\) oraz \(A\cap B.\)
Zadanie16_d_polaczenie1
W drugiej kolejności zbiory \(A \cap (B\cap C)\) oraz \((A\cap B)\cap C.\)
Zadanie16_d_polaczenie2
Jak widać zbiory są równe, zatem równanie jest prawdziwe.

 Odpowiedź

\(A \cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\)
5. \((A \setminus B)\cap C = (A\cap C)\setminus (B\cap C)\)

 Rozwiązanie

Uwaga
Korzystając z diagramów Venna cieniujemy stopniowo zbiory znajdujące się w równaniu.
Na początku cieniujemy zbiory \(A \setminus B,\ A\cap C\) oraz \(B\cap C).\)
Zadanie16_e_polaczenie1
W drugiej kolejności zbiory \((A \setminus B)\cap C\) oraz \( (A\cap C)\setminus (B\cap C).\)
Zadanie16_e_polaczenie2
Zbiory są równe, zatem równanie jest prawdziwe.

 Odpowiedź

\((A \setminus B)\cap C = (A\cap C)\setminus (B\cap C)\)

 Polecenie

Wśród wymienionych znajdź zbiory sobie równe.
\[(A\cap B)', \quad A \setminus B, \quad  A'\cap B', \quad  (A')', \quad A'\cup B', \quad A\cap B',\quad (A\cup B)', \quad A\cup \varnothing\]

 Ćwiczenie interaktywne

Uwaga

Na diagramach Venna zaznacz właściwe zbiory. Kafelki ze zbiorami przenieść w odpowiednie miejsce. Musisz poprawnie zaznaczyć zbiory na diagramach oraz poprawnie stworzyć równania. Aby sprawdzić poprawność odpowiedzi kliknij "Sprawdź". Jeśli chcesz zobaczyć rozwiązanie kliknij przycisk "Rozwiązanie".

rozwiazanie