Zadanie 2.2.1, 2.2.2
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
  3. 2.2 Wzory skróconego mnożenia
  4. Zadanie 2.2.1, 2.2.2

 Polecenie

Dopasuj wzory skróconego mnożenia.

Opis działania animacji

Nciśnij myszką na wzór i przytrzymaj aby przenieść w odpowiednie miejsce. Po dopasowaniu wszystkich wzorów sprawdź poprawność wykonania zadania klikając przycisk "Sprawdź". Jeśli popełniłeś błędy możesz spróbować ponownie klikając przycisk "Wyczyść" lub chwytając odpowiedni wzór i przenosząc w inne miejsce.

 Polecenie

Stosując poznane metody tj.
  • wzory skróconego mnożenia
  • grupowanie wyrazów
  • twierdzenia o całkowitych i wymiernych pierwiastkach wielomianu
uprość podane wyrażenia.

Uwaga

Na początku należy zawsze opisać dziedzinę (w postaci zbioru lub założeń) wyrażenia wymiernego. Należy zawsze wykluczyć te wartości zmiennych, dla których w mianowniku ułamka otrzymalibyśmy wartość \(0\).

 Wskazówki

Twierdzenie (o pierwiastkach calkowitych)

Niech \[W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\] będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba całkowita \(p\neq 0\) będzie pierwiastkiem wielomianu \(W.\) Wtedy \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_{0}.\)
Uwaga
Wielomian o współczynnikach całkowitych może nie mieć pierwiastków całkowitych, np.:\(x^{2}+1.\)

Twierdzenie (o pierwiastkach wymiernych)

Niech \[W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\] będzie wielomianem stopnia \(n\) o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba wymierna \(\frac{p}{q},\) gdzie liczby \(p\) i \(q\) będą liczbami całkowitymi wsględnie pierwszymi, będzie pierwiastkiem wielomianu \(W.\) Wtedy \(p\) jest dzielnikiem współczynnika \(a_{0},\) a \(q\) jest dzielnikiem współczynnika \(a_{n}\) tego wielomianu.
Uwaga
Jeżeli \(a_{n}=1\), to wszystkie pierwiastki wymierne tego wielomianu są całkowite.

Twierdzenie Bezout

Liczba \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(P\) taki, że \(W(x)=(x-x_{0})P(x)\).
Uwaga
Reszta z dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-x_{0})\) jest równa \(W(x_0).\)

 Ćwiczenia

\(1. \quad \Large{\frac{16x^{2}-8x+1}{16x^{2}-1}}\)

 Rozwiązanie

Zaczynając od dziedziny, wyrażenie ma sens dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem \(\displaystyle \frac{1}{4}, -\displaystyle \frac{1}{4}\), gdyż \(16x^{2}-1\neq 0\) jeśli \(\left ( 4x-1 \right )\left ( 4x+1 \right )\neq 0\), czyli gdy \( 4x-1 \neq 0 \ \wedge \ 4x+1 \neq 0\) co jest równoważne z tym, że \(x \neq \displaystyle \frac{1}{4} \ \wedge \ x \neq -\displaystyle \frac{1}{4}.\) Zatem \(D= \mathbb{R}\setminus \left \{ \displaystyle\frac{1}{4}, -\displaystyle \frac{1}{4}\right \}.\)
Upraszaczając wyrażenie stosujemy wzory: w liczniku na kwadrat różnicy, w mianowniku na różnicę kwadratów:
\( \displaystyle\frac{16x^{2}-8x^{2}+1}{16x^{2}-1}= \displaystyle \frac{\left ( 4x-1 \right )^{2}}{\left ( 4x-1 \right )\left ( 4x+1 \right )}=\displaystyle \frac{4x-1}{4x+1}.\)

 Odpowiedź

\( \displaystyle \frac{16x^{2}-8x^{2}+1}{16x^{2}-1}=\displaystyle \frac{4x-1}{4x+1}\) dla \( D= \mathbb{R}\setminus \left \{ \displaystyle \frac{1}{4}, -\frac{1}{4}\right \}\)
\( 2. \quad \Large{\frac{x^{3}-6x^{2}+3x+10}{x^{2}-7x+10}}\)

 Rozwiązanie

Na początku wyznaczamy dziedzinę podanego wyrażenia.
Zakładamy, że \(x^{2}-7x+10\neq 0\). Rozwiązujemy równanie kwadratowe za pomocą  Dla \(f(x)=ax^{2}+bx+c: \ \Delta =b^{2}-4ac, \ \ x_{1}=\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \ x_{2}=\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) . (Więcej w dziale 3.FUNKCJE.)
Liczymy \(\Delta = (-7)^{2}-4\cdot 1\cdot 10=49-40=9,\) \(x_{1}=\displaystyle \frac{7-3}{2}=2, x_{2}=\displaystyle \frac{7+3}{2}=5\).
Dziedziną wyrażenia jest więc \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 2,5 \right \}.\)
Podobnie jak w punkcie 1. należy rozpisać wyrażenia w liczniku i mianowniku.
W liczniku mamy wielomian stopnia \(3\). Niestety nie potrafimy pogrupować wyrazów w tym przypadku, a jeśli potrafimy, to nie jest to takie proste. Łatwiej jest znaleźć pierwiastek i podzielić wielomian z licznika przez dwumian \((x-p)\), gdzie \(p\) jest pierwiastkiem danego wielomianu (Twierdzenie Bezout). Szukając pierwiastka korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu (w razie, gdybyśmy nie znaleźli, można również korzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych).
Niech \(W(x)=x^{3}-6x^{2}+3x+10.\) Szukamy pierwiastka wielomianu \(W\) między dzielnikami liczby \(10\), czyli wśród liczb:\( 1, -1, 2, -2, 5, -5, 10, -10.\) Warto zacząć od najmniejszych.
Liczymy wartość wielomianu dla argumentu \(1\).
\(W(1)=1^{3}-6\cdot 1^{2}+3 \cdot1 + 10=8 \neq 0.\) Widać, że \(1\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(W.\)
Dalej próbujemy dla argumentu \(-1.\)
\(W(-1)=(-1)^{3}-6\cdot(-1)^{2}+3 \cdot (-1) + 10 =\)\( -1-6-3+10=0.\)
Znaleźliśmy pierwiastek wielomianu \(W.\) Możemy teraz podzielić wielomian \(W\) przez dwumian \((x-p)\), gdzie \(p\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W\), czyli przez dwumian \( (x+1).\)
Korzystając z pisemnego dzielenia wielomianów mamy
\[\begin{array}{lll}
(x^3 - 6x^2 +3x + 10)  : (x+1)  = x^2 - 7x + 10 \\
\underline{-x^3 - x^2} & \\
\qquad -7x^2 + 3x +10  & \\
\qquad \ \ \underline{7x^2 + 7x} & &\\
\qquad \qquad \qquad 10x + 10 & & \\
\qquad \qquad \quad \quad\underline{-10x - 10}  & & \\
\qquad \qquad \qquad \quad =\quad = & &
\end{array}\]
Zatem \( \left ( x^{3}-6x^{2}+3x+10 \right)=\) \( \left ( x+1 \right ) \cdot (x^{2}-7x+10).\)
Zapiszmy ułamek wyjściowy w prostszej postaci. Nie ma potrzeby przedstawiania wyrażenia w mianowniku ułamka w postaci iloczynowej, gdyż można skrócić go z jednym z czynników z licznika naszego wyrażenia:
\(\Large{\frac{x^{3}-6x^{2}+3x+10}{x^{2}-7x+10}=\frac{ \left ( x+1 \right ) \cdot (x^{2}-7x+10)}{x^{2}-7x+10}=}\normalsize{x+1}.\)
 

 Odpowiedź

\(\Large{\frac{x^{3}-6x^{2}+3x+10}{x^{2}-7x+10}}\normalsize{=x+1}\) dla \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 2,5 \right \}\)
\( 3. \quad \Large{\frac{x^{3}-8}{x-2}}\)

 Rozwiązanie

Zaczynamy jak zwykle od wyznaczenia dziedziny. Co musimy założyć aby w mianowniku ułamka nie pojawiło się \(0\)?
 
Musimy założyć, że \(x-2 \neq 0.\) A co za tym idzie \(x \neq 2.\) Dziedziną wyrażenia \(\Large{\frac{x^{3}-8}{x-2}}\) jest więc zbiór \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 2 \right \}.\)
Z czego skorzystamy aby przedstawić wyrażenie znajdujące się w liczniku ułamka w postaci iloczynowej?
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na  \(a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2} +ab +b^{2}\right )\) .
Mamy zatem
\(\Large{\frac{x^{3}-8}{x-2}=\frac{\left ( x-2 \right )\left (x^{2} +2x+4 \right )}{x-2}=}\normalsize{x^{2} +2x+4.}\)

 Odpowiedź

\(\Large{\frac{x^{3}-8}{x-2}}\normalsize{=x^{2} +2x+4}\) dla  \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 2 \right \} \)

 Polecenie

Stosując poznane metody tj.

  • wzory skróconego mnożenia
  • grupowanie wyrazów
  • twierdzenia o całkowitych i wymiernych pierwiastkach wielomianu

uprość wyrażenia.

 Wskazówki

Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych

Niech \[W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\] będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba całkowita \(p\neq 0\) będzie pierwiastkiem wielomianu \(W.\) Wtedy \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_{0}.\)
Uwaga
Wielomian o współczynnikach całkowitych może nie mieć pierwiastków całkowitych, np.:\(x^{2}+1.\)

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych

Niech \[W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\] będzie wielomianem stopnia \(n\) o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba wymierna \(\frac{p}{q},\) gdzie liczby \(p\) i \(q\) będą liczbami całkowitymi wsględnie pierwszymi, będzie pierwiastkiem wielomianu \(W.\) Wtedy \(p\) jest dzielnikiem współczynnika \(a_{0},\) a \(q\) jest dzielnikiem współczynnika \(a_{n}\) tego wielomianu.
Uwaga
Jeżeli \(a_{n}=1\), to wszystkie pierwiastki wymierne tego wielomianu są całkowite.

Twierdzenie Bezout

Liczba \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(P\) taki, że \(W(x)=(x-x_{0})P(x)\).
Uwaga
Reszta z dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-x_{0})\) jest równa \(W(x_0).\)

 Ćwiczenia

\( 1. \quad \Large{\frac{-x^{3}+x^{2}+x-1}{x^{2}-1}}\)

 Odpowiedź

\(\Large{\frac{-x^{3}+x^{2}+x-1}{x^{2}-1}=} \normalsize{-\left ( x-1 \right )}\)

 Rozwiązanie

Zaczynamy od dziedziny wyrażenia \(\Large{\frac{-x^{3}+x^{2}+x-1}{x^{2}-1}}.\) Oczywiście  \(x^{2}-1\neq 0,\) zatem \(\left ( x-1 \right ) \left ( x+1 \right )\neq 0\) a co za tym idzie \(x-1  \neq 0 \wedge  x+1 \neq 0.\) Wynika stąd, że \(x\neq 1 \wedge  x\neq-1\) czyli \(D= \mathbb{R}\setminus \left \{ -1,1 \right \}.\)
Aby uprościć wyrażenie w liczniku skorzystamy z metody grupowania wyrazów, a w mianowniku - ze wzoru skróconego mnożenia na  \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) .
Wyrażenie \(-x^{3}+x^{2}+x-1\) musimy pogrupować, czyli dobrać składniki sumy w pary tak, aby można było wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. Uzyskane czynniki muszą być równe, aby było możliwe ponowne ich wyłączenie przed nawias.
Tutaj: \(-x^{3}+x^{2}+x-1=\) \(-x^{2}\left ( x-1 \right )+\left ( x-1 \right )=\)\( \left ( x-1 \right )\left ( -x^{2} +1\right )=\)\(-\left ( x-1 \right )\left ( x^{2} -1 \right )=\)\( -\left ( x-1 \right )\left ( x -1 \right )\left ( x+1 \right ).\)
Wyrażenie występujące w mianowniku ułamka wystarczy rozpisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Mamy zatem
\(\Large{\frac{-\left ( x-1 \right )\left ( x -1 \right )\left ( x+1 \right )}{\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )}=} \normalsize{-\left ( x-1 \right )}.\)
Możemy też skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych (wymiernych) oraz wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów - Rozwiązanie alternatywne.

 Rozwiązanie alternatywne

Możemy w tym przykładzie skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych aby zapisać wyrażenie znajdujące się w liczniku w postaci iloczynowej oraz wzór skróconego mnożenia, aby zapisać wyrażenie z mianownika w postaci iloczynowej.
Zaczniemy oczywiście od wyznaczenia dziedziny calego wyrażenia \(\Large{\frac{-x^{3}+x^{2}+x-1}{x^{2}-1}}.\)
Oczywiście  \(x^{2}-1\neq 0,\) zatem \(\left ( x-1 \right ) \left ( x+1 \right )\neq 0\) a co za tym idzie \(x-1  \neq 0 \wedge  x+1 \neq 0.\) Wynika stąd, że \(x\neq 1 \wedge  x\neq-1\) czyli \(D= \mathbb{R}\setminus \left \{ -1,1 \right \}.\)
Stosując odpowiednie twierdzenie szukamy pierwiastków wielomianu \(W(x) = -x^{3}+x^{2}+x-1.\) Szukamy wśród dzielników liczby \(1\), czyli wśród liczb \(1,-1.\)
\(W(1)=-1+1+1-1=0\) zatem liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W.\) Musimy teraz skorzystać z twierdzenia Bezout i podzielić wielomian \(W\) przez dwumian \(x-1.\)
\((-x^{3}+x^{2}+x-1):(x-1)=-x^{2}+1,\) zatem nasze wyrażenie ma postać:
\(\Large{\frac{-x^{3}+x^{2}+x-1}{x^{2}-1}=\frac{\left ( x-1 \right )\left ( -x^{2}+1 \right )}{\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )} = \frac{-\left ( x-1 \right )\left ( x^{2}-1 \right )}{\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )}=\frac{-\left ( x-1 \right )\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )}{\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )}=} \normalsize{-\left ( x-1 \right )}.\)
Możemy również zastosować metodę grupowania wyrazów oraz wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów - Rozwiązanie.
 
\( 2. \quad \Large{\frac{2x^{3}+16}{x^{2}-2x+4}}\)

 Odpowiedź

  \(\Large{\frac{2x^{3}+16}{x^{2}-2x+4}=}\normalsize{ 2\left ( x+2 \right )}\)

 Rozwiązanie

Widać, że w mianowniuku ułamka mamy funkcję kwadratową, która nigdy nie przyjmie wartości \(0\), gdyż \(a>0\) oraz \(\Delta<0\).
 Zatem dziedziną tego wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(D=\mathbb{R}\).
Aby uprościć wyrażenie należy wyrażenie z licznika rozpisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na  \( a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2} -ab+b^{2}\right )\)  (po wyłączeniu przed nawias liczby 2).
Zatem: \(\Large{\frac{2x^{3}+16}{x^{2}-2x+4}=\frac{2\left ( x^{3}+8\right )}{x^{2}-2x+4}=\frac{2\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 \right )}{x^{2}-2x+4}=} \normalsize{2\left ( x+2 \right )}.\)
\( 3. \quad \Large{\frac{1-a^{3}}{a^{2}-1}}\)

 Odpowiedź

\( \Large{\frac{1-a^{3}}{a^{2}-1}=\frac{-(1+a+a^{2})}{a+1}}\)

 Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od ustalenia dziedziny. W miejsce niewiadomej \(a\) możemy podstawić każdą liczbę rzeczywistą z wyłączeniem liczb spełniających równanie: \(a^{2}-1 =0.\) Równanie rozwiązujemy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na  \(a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\) .
\(a^{2}-1 =0 \Leftrightarrow\)\((a-1)(a+1)=0 \Leftrightarrow\) \( a-1 = 0 \vee a+1=0 \Leftrightarrow \)\(a=1 \vee a=-1.\)
Zatem \[D= \mathbb{R}\setminus \left \{ -1,1 \right \}.\]
Przekształcamy podane wyrażenie korzystając ze wzorów na różnicę kwadratów oraz ze wzoru na  \( a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2} +ab+b^{2}\right )\) .
\(\Large{\frac{1-a^{3}}{a^{2}-1}=\frac{\left ( 1-a \right )\left ( 1+a+a^{2} \right )}{\left ( a-1 \right )\left ( a+1 \right )}}.\)
Aby dostać te same czynniki w liczniku i mianowniku ułamka należy np w liczniku wyłączyć liczbę \((-1)\) przed czynnik \((1-a):\)
\(\Large{\frac{-\left ( -1+a \right )\left ( 1+a+a^{2} \right )}{\left ( a-1 \right )\left ( a+1 \right )}=
\frac{-\left ( a-1 \right )\left ( 1+a+a^{2} \right )}{\left ( a-1 \right )\left ( a+1 \right )}}.\)
Skracamy wyrażenie \((a-1)\) i dostajemy:\[\frac{-(1+a+a^{2})}{a+1}.\]
Danego ułamka nie da się przedstawić w prostszej postaci, gdyż funkcja kwadratowa z licznika ułamka nie ma miejsc zerowych.

W każdym zadaniu przeczytaj polecenie, wybierz i zaznacz jedną prawidłową odpowiedź. Możesz sprawdzić poprawność odpowiedzi klikając przycisk "Sprawdź" lub na końcu klikając "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Wyrażenie \(4x^{2}-y^{2}\) jest równe

Zadanie 2

Dziedziną wyrażenia \(\displaystyle\frac{3x^{2}-4x+5}{3x^{3}-2x^{2}-x}\) jest zbiór:

Zadanie 3

Upraszczając wyrażenie \(\displaystyle\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}-b^{2}}\) dostaniemy:

Zadanie 4

Pierwiastkami wielomianu \(W(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6\) są:

Zadanie 5

Uprość podane wyrażenie. Wyznacz dziedzinę danego wyrażenia \(\displaystyle\frac{x^{3}-3x^{2}-2x+6}{x^{2}-2}.\)

Podsumowanie