Zadanie 2.2.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
  3. 2.2 Wzory skróconego mnożenia
  4. Zadanie 2.2.3

 Polecenie

Wykonaj działania. Wynik zapisz w najprostszej postaci.

 Ćwiczenia

\(1.\quad \left ( \sqrt[3]{a-1} -2 \right )\left ( \sqrt[3]{\left ( a-1 \right )^{2}}+2\sqrt[3]{a-1}+4 \right)\)

 Rozwiązanie

Można oczywiście mnożyć "każdy wyraz razy każdy". My poszukamy takiego sposobu aby nam ułatwił obliczenia. Sama postać wyrażenia przypomina nam wzór na  \(a_{0}^{3}-b_{0}^{3}=\left ( a_{0}-b_{0} \right )\left ( a_{0}^{2} +a_{0}b_{0}+b_{0}^{2}\right )\) w którym \(a_{0}=\sqrt[3]{a-1}\) oraz \(b_{0}=2\)  . Korzystając z tego wzoru mamy:
\(\left ( \sqrt[3]{a-1} -2 \right )\left ( \sqrt[3]{\left ( a-1 \right )^{2}}+2\sqrt[3]{a-1}+4 \right)=\)\(\left ( \sqrt[3]{a-1}\right )^{3}-2^{3}=\)\(a-1-8=a-9.\)

 Odpowiedź

\(\left ( \sqrt[3]{a-1} -2 \right )\left ( \sqrt[3]{\left ( a-1 \right )^{2}}+2\sqrt[3]{a-1}+4 \right) = a-9\)
\( 2.\quad\Large{\frac{1}{x}+\frac{2x+1}{x^{2}-x}+\frac{5-x}{x^{3}-1}} \)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Wyznaczanie dziedziny wyrażenia
Jeżeli na początku wyznaczania dziedziny przedstawimy wyrażenia w mianowniku w postaci iloczynowej zauważymy, że niektóre założenia się powtarzają.
\(x\neq 0 \wedge x^{2}-x\neq 0 \wedge x^{3}-1 \neq 0.\)
Zapisując dane wyrażenia w postaci iloczynowej mamy: \(x\neq 0 \wedge x \left ( x-1 \right )\neq 0 \wedge\) \(\left ( x-1 \right )\left ( x^{2}+x+1 \right ) \neq 0.\)
Zatem \(x\neq 0 \wedge x\neq 1 \wedge\) \(x^{2}+x+1\neq 0.\)
Ponieważ \(x^{2}+x+1\neq 0 \underset{x\in \mathbb{R}}{\forall }\), (gdyż \(a> 0, \Delta <0\)), zatem zostają nam dwa założenia i w związku z tym \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0,1 \right \}.\)
Uwaga! Pułapka komplikująca obliczenia w kroku 1.
Jesli rozpoczniemy wyznaczanie dziedziny wyrażenia wymiernego bez zapisania wyrażeń w mianowniku w postaci iloczynowej, będziemy musieli pewne działania wykonywać dwukrotnie.
\(x\neq 0 \wedge x^{2}-x\neq 0 \wedge x^{3}-1 \neq 0.\) Tutaj należy rozwiązać każde równanie osobno i porównać założenia wyznaczając dziedzinę.

 Krok 2

Szukanie najmniejszego wspólnego mianownika
Jeśli poszukamy NAJMNIEJSZEGO wspólnego mianownika oszczędzimy sobie niektórych działań i wyrażenie dostaniemy w prostszej postaci:
Wyrażenie wyjściowe będzie miało postać \[\frac{1}{x}+\frac{2x+1}{x^{2}-x}+\frac{5-x}{x^{3}-1}= \frac{1}{x}+\frac{2x+1}{x\left ( x-1 \right )}+\frac{5-x}{\left ( x-1 \right )\left ( x^{2}+x+1 \right )}.\]
Widać, że powtarzają się wyrażenia \(x\) oraz \(x-1.\) Nie będziemy ich zapisywać "podwójnie". Wystarczy, że będą tylko raz powtarzały się w naszym najmniejszym wspólnym mianowniku.
\[\frac{1\cdot (x-1)(x^{2}+x+1)+(2x+1)(x^{2}+x+1)+(5-x)\cdot x}{x(x-1)(x^{2}+x+1)}\] (wyrażenia w liczniku rozszerzamy do ułamka o mianowniku \(x(x-1)(x^{2}+x+1)\)) co jest równoważne z \[\frac{x^{3}-1+2x^{3}+2x^{2}+2x+x^{2}+x+1+5x-x^{2}}{x(x-1)(x^{2}+x+1)}.\]
Uwaga! Pułapka komplikująca obliczenia w kroku 2.
Jeśli sprowadzimy do wspólnego mianownika, którym będzie iloczyn mianowników poszczególnych ułamków otrzymamy bardzo rozbudowane wyrażenie.
\[\frac{1}{x}+\frac{2x+1}{x^{2}-x}+\frac{5-x}{x^{3}-1}=\] \[\frac{1\cdot \left ( x^{2}-x \right )\left ( x^{3}-1 \right )+\left (2x+1 \right )\cdot x\left ( x^{3}-1 \right )+ \left ( 5-x \right )\cdot x\left ( x^{2}-x \right )}{x\left ( x^{2}-x \right )\left ( x^{3}-1 \right )}=  ...\]

 Krok 3

Przekształcenie wyrażenia
Jeśli zostawimy wyrażenie w mianowniku w postaci iloczynowej, to po wykonaniu działań w liczniku wyrażenia od razu zauważymy, czy jest jakiś wspólny czynnik.
\[\frac{x^{3}-1+2x^{3}+2x^{2}+2x+x^{2}+x+1+5x-x^{2}}{x(x-1)(x^{2}+x+1)}=\\
=\frac{3x^{3}+2x^{2}+8x}{x(x-1)(x^{2}+x+1)}=\frac{x (3x^{2}+2x+8)}{x(x-1)(x^{2}+x+1)}=\\
=\frac{3x^{2}+2x+8}{(x-1)(x^{2}+x+1)}=\frac{3x^{2}+2x+8}{x^{3}-1}.\]
Ponieważ wyrażenie w liczniku jest trójmianem kwadratowym, w którym \(a>0, \Delta <0,\) zatem nie ma postaci iloczynowej. Nie da się więc bardziej uprościć danego wyrażenia.
Uwaga! Pułapka komplikująca obliczenia w kroku 3.
Jeżeli wymnożymy wyrażenie w mianowniku nie będziemy wiedzieć czy można je skrócić w końcowym etapie.
\[\frac{3x^{3}+2x^{2}+8x}{x(x-1)(x^{2}+x+1)}=\\
=\frac{3x^{3}+2x^{2}+8x}{(x^{2}-x)(x^{2}+x+1)}=\\
=\frac{3x^{3}+2x^{2}+8x}{x^{4}-x}= ...\]

 Odpowiedź

\(\Large{\frac{1}{x}+\frac{2x+1}{x^{2}-x}+\frac{5-x}{x^{3}-1}=\frac{3x^{2}+2x+8}{x^{3}-1}}\)
\( 3.\quad\Large{\frac{2x^{2}+5x-10}{x^{4}-13x^{2}+36}+ \frac{2}{x^{2}+x-6}-\frac{3}{x^{2}-x-6}}\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Dostaniemy do rozwiązania równanie dwukwadratowe. Jak je rozwiązać? Podstawiamy za \(x^{2}=t\) i rozwiązujemy jak zwykłe równanie kwadratowe (wyznaczając \(\Delta\), licząc pierwiastki). Po powrocie do podstawienia dostaniemy dwa równania kwadratowe niezupełne, które już potrafimy rozwiązywać. Jeśli nie pamiętasz wróć do wcześniejszych przykładów lub przypatrz się wzorom skróconego mnożenia.
Wyznaczamy dziedziny wyrażenia:
Zakładamy, że:
\(x^{4}-13x^{2}+36\neq 0 \wedge \) \(  \ x^{2}+x-6\neq 0\) \( \wedge \ x^{2}-x-6\neq 0.\)
Zaczynamy od rozwiązania równania  \[x^{4}-13x^{2}+36=0.\]
Ponieważ jest to równanie dwukwadratowe zaczynamy od podstawienia \(x^{2}=t.\) W ten sposób otrzymamy równanie zmiennej \(t\) postaci \[t^{2}-13t+36=0.\] Liczymy
\(\Delta =(-13)^{2}-4\cdot 1\cdot 36=\) \(169-144=25,\) \( \sqrt{\Delta }=5,\) \(t_{1}=\frac{-(-13)-5}{2\cdot 1}=4,\) \(t_{2}=\frac{-(-13)+5}{2\cdot 1}=9.\)
Wracamy do podstawienia: \[x^{2}=4 \vee x^{2}=9\] zatem \[x^{2}-4=0 \vee x^{2}-9=0,\]
rozpisujemy lewe strony równania ze wzoru na  \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).\) 
\[(x-2)(x+2)=0\] \[\vee\] \[(x-3)(x+3)=0.\]
Uwzględniając podane założenie widać, że muszą być spełnione warunki:
\[x\neq 2\wedge x\neq -2\wedge x\neq 3\wedge x\neq -3.\]
Kolejnym założeniem będzie
\[x^{2}+x-6\neq 0.\]
Oczywiście musimy rozwiązać najpierw równanie:
\[x^{2}+x-6= 0.\]
Rozwiązujemy szukając \(\Delta =1^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)\)\(=1+24=25.\) \(\sqrt{\Delta }=5,\) \(x_{1}=\frac{-1-5}{2\cdot 1}=-3,\) \(x_{2}=\frac{-1+5}{2\cdot 1}=2.\)
Zatem dostaliśmy kolejne założenie: \[x_{1}\neq -3\wedge x_{2}\neq 2.\]
Ostatnie założenie, to \[x^{2}-x-6\neq 0.\] Oczywiście rozwiązujemy równanie \[x^{2}-x-6= 0.\]
Znów \(\Delta =(1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)=25,\)\(\sqrt{\Delta }=5,\) \(x_{1}=\displaystyle \frac{1-5}{2\cdot 1}=-2,\)\(x_{2}=\displaystyle \frac{1+5}{2\cdot 1}=3.\)
Zatem \[x_{1} \neq -2 \wedge x_{2} \neq 3.\]
Podsumowując \[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -2,2,-3,3 \right \}.\]

 Krok 2

Przekształcamy wyjściowe wyrażenie rozpoczynając od znalezienia najmniejszego wspólnego mianownika. W tym celu wyrażenia znajdujące się w mianownikach ułamków zapisujemy w postaci iloczynowej (pierwiastki bierzemy już z pierwszego etapu - wyznaczania dziedziny). Zatem
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{2x^{2}+5x-10}{x^{4}-13x^{2}+36}+\displaystyle\frac{2}{x^{2}+x-6}-\displaystyle\frac{3}{x^{2}-x-6}=\\
=\displaystyle\frac{2x^{2}+5x-10}{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}+\displaystyle\frac{2}{(x-2)(x+3)}-\displaystyle\frac{3}{(x+2)(x-3)}=\\
=\displaystyle\frac{2x^{2}+5x-10+2(x+2)(x-3)-3(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}=\\
=\displaystyle\frac{2x^{2}+5x-10+2x^{2}-2x-12-3x^{2}-3x+18}{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}=\\
=\displaystyle\frac{x^{2}-4}{(x^{2}-4)(x^{2}-9)}=\displaystyle\frac{1}{x^{2}-9}.
\end{array}\]

 Odpowiedź

\(\Large{\frac{1}{x^{2}-9}}\) \(\textrm{ dla } D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -2,2,-3,3 \right \} \)

 Polecenie

Wykonaj działania. Wynik zapisz w najprostszej postaci.

 Ćwiczenia

\(1.\quad \Large{\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{a^{2}-b^{2}}-\frac{a}{a-b}+\frac{b}{a+b}}\)

 Odpowiedź

\( \Large{\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{a^{2}-b^{2}}-\frac{a}{a-b}+\frac{b}{a+b}=}\) \(\Large{\frac{2ab}{a^{2}-b^{2}}}\) \(\textrm{ dla }\) \( \large{a,b\in \mathbb{R} \wedge  a\neq b \wedge a\neq -b}\)

 Rozwiązanie

Zakładamy, że \(a^{2}-b^{2}\neq 0 \wedge a+b\neq 0 \wedge a-b\neq 0.\)
Zatem \(a,b\in \mathbb{R}\wedge a\neq b \wedge a\neq -b.\)
Podane wyrażenie sprowadzamy do wspólnego mianownika \(a^{2}-b^{2},\) zatem mamy:
\[\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{a^{2}-b^{2}}-\frac{a}{a-b}+\frac{b}{a+b}=\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )}-\frac{a}{a-b}+\frac{b}{a+b}=\frac{\left ( a+b \right )^{2}-a(a+b)+b(a-b)}{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )},\]
co po prostych obliczeniach daje
\[\frac{2ab}{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )}=\frac{2ab}{a^{2}-b^{2}}.\]
\(2. \quad \large{\frac{1}{x}+2x+4}\)

 Odpowiedź

\(\Large{\frac{2x^{2}+4x+1}{x}},\) jeśli \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\)

 Rozwiązanie

Musimy tylko założyć, że \(x\neq 0,\) zatem \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}.\)
Sprowadzamy do wspólnego mianownika \(x\): \[\frac{1}{x}+2x+4=\frac{1+2x^{2}+4x}{x}= \frac{2x^{2}+4x+1}{x}.\]
\( 3.\quad \Large{\frac{x^{2}+7}{x^{4}+5x^{2}+4}+\frac{2}{x^{2}+4}-\frac{2}{x^{2}+1}}\)

 Odpowiedź

\( \Large{\frac{x^{2}+7}{x^{4}+5x^{2}+4}+\frac{2}{x^{2}+4}-\frac{2}{x^{2}+1}=}\) \( \Large{\frac{1}{x^{2}+4}}\) \(\textrm{ dla }\) \(x\in \mathbb{R}\)

 Rozwiązanie

Zakładamy, że \(x^{4}+5x^{2}+4 \neq 0 \wedge x^{2}+4\neq 0\wedge x^{2}+1\neq 0.\)
Możemy zauważyć, że iloczyn  \((x^{2}+4) (x^{2}+1)= x^{4}+5x^{2}+4,\) zatem zakładamy  \(x^{2}+4\neq 0\wedge x^{2}+1\neq 0.\) Równania te nie mają rozwiązań, gdyż wykresami danych funkcji są parabole, znajdujące się nad osią \(OX.\).
Dziedziną wyrażenia jest więc zbiór liczb rzeczywistych \(D=\mathbb{R}.\)
Sprowadzając do wspólnego mianownika mamy:
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle \frac{x^{2}+7}{x^{4}+5x^{2}+4}+\displaystyle\frac{2}{x^{2}+4}-\displaystyle\frac{2}{x^{2}+1}=\\
=\displaystyle\frac{x^{2}+7+2(x^{2}+1)-2(x^{2}+4)}{x^{4}+5x^{2}+4}=\\
=\displaystyle\frac{x^{2}+1}{\left ( x^{2}+4 \right )\left ( x^{2}+1 \right )}=\displaystyle\frac{1}{x^{2}+4}.
\end{array}\]

Rozwiąż zadania wpisując lub wybierając poprawną odpowiedź. Możesz w każdym zadaniu osobno sprawdzić poprawność udzielonej odpowiedzi klikając przycisk "Sprawdź" lub na końcu klikając "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Dane jest wyrażenie \(\displaystyle\frac{1}{x^{2}-1}+\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{1}{x+1}=\displaystyle\frac{a}{x^{2}-1}.\)

Jaką wartość musi mieć zmienna \(a\), aby równanie było prawdziwe?

Uzupełnij pole wpisując liczbę naturalną.

\(a=\)

Zadanie 2

Wyrażenie \(\left ( \sqrt[3]{2}+2 \right )\left ( \sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{2}+4 \right )\) jest równe

Zadanie 3

Po uproszczeniu wyrażenie \(\displaystyle\frac{2x^{3}-x^{2}-2x+1}{4x^{4}-5x^{2}+1}\) ma postać

Podsumowanie