Polecenie
Wykonaj działania. Wynik zapisz w najprostszej postaci.
Ćwiczenia
1.(3√a−1−2)(3√(a−1)2+23√a−1+4)
Rozwiązanie
Można oczywiście mnożyć "każdy wyraz razy każdy". My poszukamy takiego sposobu aby nam ułatwił obliczenia. Sama postać wyrażenia przypomina nam wzór na a30−b30=(a0−b0)(a20+a0b0+b20) w którym a0=3√a−1 oraz b0=2 . Korzystając z tego wzoru mamy:
(3√a−1−2)(3√(a−1)2+23√a−1+4)=(3√a−1)3−23=a−1−8=a−9.
(3√a−1−2)(3√(a−1)2+23√a−1+4)=(3√a−1)3−23=a−1−8=a−9.
Odpowiedź
(3√a−1−2)(3√(a−1)2+23√a−1+4)=a−9
2.1x+2x+1x2−x+5−xx3−1
Rozwiązanie
Krok 1
Wyznaczanie dziedziny wyrażenia
Jeżeli na początku wyznaczania dziedziny przedstawimy wyrażenia w mianowniku w postaci iloczynowej zauważymy, że niektóre założenia się powtarzają.
x≠0∧x2−x≠0∧x3−1≠0.
Zapisując dane wyrażenia w postaci iloczynowej mamy: x≠0∧x(x−1)≠0∧ (x−1)(x2+x+1)≠0.
Zatem x≠0∧x≠1∧ x2+x+1≠0.
Ponieważ x2+x+1≠0∀x∈R, (gdyż a>0,Δ<0), zatem zostają nam dwa założenia i w związku z tym D=R∖{0,1}.
x≠0∧x2−x≠0∧x3−1≠0.
Zapisując dane wyrażenia w postaci iloczynowej mamy: x≠0∧x(x−1)≠0∧ (x−1)(x2+x+1)≠0.
Zatem x≠0∧x≠1∧ x2+x+1≠0.
Ponieważ x2+x+1≠0∀x∈R, (gdyż a>0,Δ<0), zatem zostają nam dwa założenia i w związku z tym D=R∖{0,1}.
Uwaga! Pułapka komplikująca obliczenia w kroku 1.
Jesli rozpoczniemy wyznaczanie dziedziny wyrażenia wymiernego bez zapisania wyrażeń w mianowniku w postaci iloczynowej, będziemy musieli pewne działania wykonywać dwukrotnie.
x≠0∧x2−x≠0∧x3−1≠0. Tutaj należy rozwiązać każde równanie osobno i porównać założenia wyznaczając dziedzinę.
x≠0∧x2−x≠0∧x3−1≠0. Tutaj należy rozwiązać każde równanie osobno i porównać założenia wyznaczając dziedzinę.
Krok 2
Szukanie najmniejszego wspólnego mianownika
Jeśli poszukamy NAJMNIEJSZEGO wspólnego mianownika oszczędzimy sobie niektórych działań i wyrażenie dostaniemy w prostszej postaci:
Wyrażenie wyjściowe będzie miało postać 1x+2x+1x2−x+5−xx3−1=1x+2x+1x(x−1)+5−x(x−1)(x2+x+1).
Widać, że powtarzają się wyrażenia x oraz x−1. Nie będziemy ich zapisywać "podwójnie". Wystarczy, że będą tylko raz powtarzały się w naszym najmniejszym wspólnym mianowniku.
1⋅(x−1)(x2+x+1)+(2x+1)(x2+x+1)+(5−x)⋅xx(x−1)(x2+x+1) (wyrażenia w liczniku rozszerzamy do ułamka o mianowniku x(x−1)(x2+x+1)) co jest równoważne z x3−1+2x3+2x2+2x+x2+x+1+5x−x2x(x−1)(x2+x+1).
Wyrażenie wyjściowe będzie miało postać 1x+2x+1x2−x+5−xx3−1=1x+2x+1x(x−1)+5−x(x−1)(x2+x+1).
Widać, że powtarzają się wyrażenia x oraz x−1. Nie będziemy ich zapisywać "podwójnie". Wystarczy, że będą tylko raz powtarzały się w naszym najmniejszym wspólnym mianowniku.
1⋅(x−1)(x2+x+1)+(2x+1)(x2+x+1)+(5−x)⋅xx(x−1)(x2+x+1) (wyrażenia w liczniku rozszerzamy do ułamka o mianowniku x(x−1)(x2+x+1)) co jest równoważne z x3−1+2x3+2x2+2x+x2+x+1+5x−x2x(x−1)(x2+x+1).
Uwaga! Pułapka komplikująca obliczenia w kroku 2.
Jeśli sprowadzimy do wspólnego mianownika, którym będzie iloczyn mianowników poszczególnych ułamków otrzymamy bardzo rozbudowane wyrażenie.
1x+2x+1x2−x+5−xx3−1= 1⋅(x2−x)(x3−1)+(2x+1)⋅x(x3−1)+(5−x)⋅x(x2−x)x(x2−x)(x3−1)=...
1x+2x+1x2−x+5−xx3−1= 1⋅(x2−x)(x3−1)+(2x+1)⋅x(x3−1)+(5−x)⋅x(x2−x)x(x2−x)(x3−1)=...
Krok 3
Przekształcenie wyrażenia
Jeśli zostawimy wyrażenie w mianowniku w postaci iloczynowej, to po wykonaniu działań w liczniku wyrażenia od razu zauważymy, czy jest jakiś wspólny czynnik.
x3−1+2x3+2x2+2x+x2+x+1+5x−x2x(x−1)(x2+x+1)==3x3+2x2+8xx(x−1)(x2+x+1)=x(3x2+2x+8)x(x−1)(x2+x+1)==3x2+2x+8(x−1)(x2+x+1)=3x2+2x+8x3−1.
Ponieważ wyrażenie w liczniku jest trójmianem kwadratowym, w którym a>0,Δ<0, zatem nie ma postaci iloczynowej. Nie da się więc bardziej uprościć danego wyrażenia.
x3−1+2x3+2x2+2x+x2+x+1+5x−x2x(x−1)(x2+x+1)==3x3+2x2+8xx(x−1)(x2+x+1)=x(3x2+2x+8)x(x−1)(x2+x+1)==3x2+2x+8(x−1)(x2+x+1)=3x2+2x+8x3−1.
Ponieważ wyrażenie w liczniku jest trójmianem kwadratowym, w którym a>0,Δ<0, zatem nie ma postaci iloczynowej. Nie da się więc bardziej uprościć danego wyrażenia.
Uwaga! Pułapka komplikująca obliczenia w kroku 3.
Jeżeli wymnożymy wyrażenie w mianowniku nie będziemy wiedzieć czy można je skrócić w końcowym etapie.
3x3+2x2+8xx(x−1)(x2+x+1)==3x3+2x2+8x(x2−x)(x2+x+1)==3x3+2x2+8xx4−x=...
3x3+2x2+8xx(x−1)(x2+x+1)==3x3+2x2+8x(x2−x)(x2+x+1)==3x3+2x2+8xx4−x=...
Odpowiedź
1x+2x+1x2−x+5−xx3−1=3x2+2x+8x3−1
3.2x2+5x−10x4−13x2+36+2x2+x−6−3x2−x−6
Rozwiązanie
Krok 1
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Dostaniemy do rozwiązania równanie dwukwadratowe. Jak je rozwiązać? Podstawiamy za x2=t i rozwiązujemy jak zwykłe równanie kwadratowe (wyznaczając Δ, licząc pierwiastki). Po powrocie do podstawienia dostaniemy dwa równania kwadratowe niezupełne, które już potrafimy rozwiązywać. Jeśli nie pamiętasz wróć do wcześniejszych przykładów lub przypatrz się wzorom skróconego mnożenia.
Wyznaczamy dziedziny wyrażenia:
Zakładamy, że:
x4−13x2+36≠0∧ x2+x−6≠0 ∧ x2−x−6≠0.
Zaczynamy od rozwiązania równania x4−13x2+36=0.
Ponieważ jest to równanie dwukwadratowe zaczynamy od podstawienia x2=t. W ten sposób otrzymamy równanie zmiennej t postaci t2−13t+36=0. Liczymy
Δ=(−13)2−4⋅1⋅36= 169−144=25, √Δ=5, t1=−(−13)−52⋅1=4, t2=−(−13)+52⋅1=9.
Wracamy do podstawienia: x2=4∨x2=9 zatem x2−4=0∨x2−9=0,
rozpisujemy lewe strony równania ze wzoru na a2−b2=(a−b)(a+b).
(x−2)(x+2)=0 ∨ (x−3)(x+3)=0.
Uwzględniając podane założenie widać, że muszą być spełnione warunki:
x≠2∧x≠−2∧x≠3∧x≠−3.
Kolejnym założeniem będzie
x2+x−6≠0.
Oczywiście musimy rozwiązać najpierw równanie:
x2+x−6=0.
Rozwiązujemy szukając Δ=12−4⋅1⋅(−6)=1+24=25. √Δ=5, x1=−1−52⋅1=−3, x2=−1+52⋅1=2.
Zatem dostaliśmy kolejne założenie: x1≠−3∧x2≠2.
Ostatnie założenie, to x2−x−6≠0. Oczywiście rozwiązujemy równanie x2−x−6=0.
Znów Δ=(1)2−4⋅1⋅(−6)=25,√Δ=5, x1=1−52⋅1=−2,x2=1+52⋅1=3.
Zatem x1≠−2∧x2≠3.
Podsumowując D=R∖{−2,2,−3,3}.
Wyznaczamy dziedziny wyrażenia:
Zakładamy, że:
x4−13x2+36≠0∧ x2+x−6≠0 ∧ x2−x−6≠0.
Zaczynamy od rozwiązania równania x4−13x2+36=0.
Ponieważ jest to równanie dwukwadratowe zaczynamy od podstawienia x2=t. W ten sposób otrzymamy równanie zmiennej t postaci t2−13t+36=0. Liczymy
Δ=(−13)2−4⋅1⋅36= 169−144=25, √Δ=5, t1=−(−13)−52⋅1=4, t2=−(−13)+52⋅1=9.
Wracamy do podstawienia: x2=4∨x2=9 zatem x2−4=0∨x2−9=0,
rozpisujemy lewe strony równania ze wzoru na a2−b2=(a−b)(a+b).
(x−2)(x+2)=0 ∨ (x−3)(x+3)=0.
Uwzględniając podane założenie widać, że muszą być spełnione warunki:
x≠2∧x≠−2∧x≠3∧x≠−3.
Kolejnym założeniem będzie
x2+x−6≠0.
Oczywiście musimy rozwiązać najpierw równanie:
x2+x−6=0.
Rozwiązujemy szukając Δ=12−4⋅1⋅(−6)=1+24=25. √Δ=5, x1=−1−52⋅1=−3, x2=−1+52⋅1=2.
Zatem dostaliśmy kolejne założenie: x1≠−3∧x2≠2.
Ostatnie założenie, to x2−x−6≠0. Oczywiście rozwiązujemy równanie x2−x−6=0.
Znów Δ=(1)2−4⋅1⋅(−6)=25,√Δ=5, x1=1−52⋅1=−2,x2=1+52⋅1=3.
Zatem x1≠−2∧x2≠3.
Podsumowując D=R∖{−2,2,−3,3}.
Krok 2
Przekształcamy wyjściowe wyrażenie rozpoczynając od znalezienia najmniejszego wspólnego mianownika. W tym celu wyrażenia znajdujące się w mianownikach ułamków zapisujemy w postaci iloczynowej (pierwiastki bierzemy już z pierwszego etapu - wyznaczania dziedziny). Zatem
2x2+5x−10x4−13x2+36+2x2+x−6−3x2−x−6==2x2+5x−10(x−2)(x+2)(x−3)(x+3)+2(x−2)(x+3)−3(x+2)(x−3)==2x2+5x−10+2(x+2)(x−3)−3(x−2)(x+3)(x−2)(x+2)(x−3)(x+3)==2x2+5x−10+2x2−2x−12−3x2−3x+18(x−2)(x+2)(x−3)(x+3)==x2−4(x2−4)(x2−9)=1x2−9.
2x2+5x−10x4−13x2+36+2x2+x−6−3x2−x−6==2x2+5x−10(x−2)(x+2)(x−3)(x+3)+2(x−2)(x+3)−3(x+2)(x−3)==2x2+5x−10+2(x+2)(x−3)−3(x−2)(x+3)(x−2)(x+2)(x−3)(x+3)==2x2+5x−10+2x2−2x−12−3x2−3x+18(x−2)(x+2)(x−3)(x+3)==x2−4(x2−4)(x2−9)=1x2−9.
Odpowiedź
1x2−9 dla D=R∖{−2,2,−3,3}
Polecenie
Wykonaj działania. Wynik zapisz w najprostszej postaci.
Ćwiczenia
1.(a+b)2a2−b2−aa−b+ba+b
Odpowiedź
(a+b)2a2−b2−aa−b+ba+b= 2aba2−b2 dla a,b∈R∧a≠b∧a≠−b
Rozwiązanie
Zakładamy, że a2−b2≠0∧a+b≠0∧a−b≠0.
Zatem a,b∈R∧a≠b∧a≠−b.
Podane wyrażenie sprowadzamy do wspólnego mianownika a2−b2, zatem mamy:
(a+b)2a2−b2−aa−b+ba+b=(a+b)2(a−b)(a+b)−aa−b+ba+b=(a+b)2−a(a+b)+b(a−b)(a−b)(a+b),
co po prostych obliczeniach daje
2ab(a−b)(a+b)=2aba2−b2.
Zatem a,b∈R∧a≠b∧a≠−b.
Podane wyrażenie sprowadzamy do wspólnego mianownika a2−b2, zatem mamy:
(a+b)2a2−b2−aa−b+ba+b=(a+b)2(a−b)(a+b)−aa−b+ba+b=(a+b)2−a(a+b)+b(a−b)(a−b)(a+b),
co po prostych obliczeniach daje
2ab(a−b)(a+b)=2aba2−b2.
2.1x+2x+4
Odpowiedź
2x2+4x+1x, jeśli D=R∖{0}
Rozwiązanie
Musimy tylko założyć, że x≠0, zatem D=R∖{0}.
Sprowadzamy do wspólnego mianownika x: 1x+2x+4=1+2x2+4xx=2x2+4x+1x.
Sprowadzamy do wspólnego mianownika x: 1x+2x+4=1+2x2+4xx=2x2+4x+1x.
3.x2+7x4+5x2+4+2x2+4−2x2+1
Odpowiedź
x2+7x4+5x2+4+2x2+4−2x2+1= 1x2+4 dla x∈R
Rozwiązanie
Zakładamy, że x4+5x2+4≠0∧x2+4≠0∧x2+1≠0.
Możemy zauważyć, że iloczyn (x2+4)(x2+1)=x4+5x2+4, zatem zakładamy x2+4≠0∧x2+1≠0. Równania te nie mają rozwiązań, gdyż wykresami danych funkcji są parabole, znajdujące się nad osią OX..
Dziedziną wyrażenia jest więc zbiór liczb rzeczywistych D=R.
Sprowadzając do wspólnego mianownika mamy:
x2+7x4+5x2+4+2x2+4−2x2+1==x2+7+2(x2+1)−2(x2+4)x4+5x2+4==x2+1(x2+4)(x2+1)=1x2+4.
Możemy zauważyć, że iloczyn (x2+4)(x2+1)=x4+5x2+4, zatem zakładamy x2+4≠0∧x2+1≠0. Równania te nie mają rozwiązań, gdyż wykresami danych funkcji są parabole, znajdujące się nad osią OX..
Dziedziną wyrażenia jest więc zbiór liczb rzeczywistych D=R.
Sprowadzając do wspólnego mianownika mamy:
x2+7x4+5x2+4+2x2+4−2x2+1==x2+7+2(x2+1)−2(x2+4)x4+5x2+4==x2+1(x2+4)(x2+1)=1x2+4.
Rozwiąż zadania wpisując lub wybierając poprawną odpowiedź. Możesz w każdym zadaniu osobno sprawdzić poprawność udzielonej odpowiedzi klikając przycisk "Sprawdź" lub na końcu klikając "Sprawdź poprawność odpowiedzi".
Zadanie 1
Dane jest wyrażenie 1x2−1+1x−1−1x+1=ax2−1.
Jaką wartość musi mieć zmienna a, aby równanie było prawdziwe?
Uzupełnij pole wpisując liczbę naturalną.
a=
Zadanie 2
Wyrażenie (3√2+2)(3√4−23√2+4) jest równe
Zadanie 3
Po uproszczeniu wyrażenie 2x3−x2−2x+14x4−5x2+1 ma postać