Zadanie 2.2.4
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
  3. 2.2 Wzory skróconego mnożenia
  4. Zadanie 2.2.4

 Polecenie

Usuń niewymierność z mianownika ułamka:

 Wzory skróconego mnożenia

Kwadrat sumy
\[\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\]
Kwadrat różnicy
\[\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\]
Różnica kwadratów
\[a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\]
Sześcian sumy
\[\left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\]
Sześcian różnicy
\[\left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\]
Suma sześcianów
\[a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )\]
Różnica sześcianów
\[a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )\]

 Ćwiczenia

\( 1. \quad \Large{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

W mianowniku mamy \(\sqrt{2}+\sqrt{3}.\) Chcemy dostać \(\sqrt{2}^{2}-\sqrt{3}^{2},\) zatem wybieramy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \(\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}.\)

 Krok 2

W kolejnym kroku należy pomnożyć dany ułamek przez \(1\) w takiej postaci, aby korzystając z danego wzoru pozbyć się z mianownika ułamka liczb niewymiernych. U nas \(\normalsize{1=}\Large{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}.\) Mnożąc wyrażenia działamy jak na zwykłych ułamkach. (W liczniku musimy wymnożyć każdy wyraz razy każdy, w mianowniku korzystamy ze wzoru).

 Krok 3

\(\Large{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}=\frac{2-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{-1}}=\)\(-2+\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}.\)

 Krok 4 - Odpowiedź

\(\Large{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=} \normalsize{ -2+\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}}.\)
\(2. \quad \Large{\frac{7}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a+1}}}\)

 Rozwiązanie

Wybierz wzór, z którego możemy skorzystać przy usuwaniu niewymierności z mianownika tego ułamka.

\[a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )\]

Odpowiedź prawidłowa
W tym przykładzie musimy zastosować wzór na różnicę sześcianów, gdyż w mianowniku mamy wyrażenie \(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a+1}.\) We wzorze \(a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )\) jest to czynnik \((a-b).\) Jedynka, przez którą pomnożymy nasz ułamek ma więc postać: \[\frac{\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2}}{\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2}},\] gdyż jest to iloraz tych samych czynników \(\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )\) ze wzoru na różnicę sześcianów.
Wykonujemy działania
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{7}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a+1}}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2}}{\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2}}=\displaystyle\frac{7(\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2})}{\sqrt[3]{a}^{3}-\sqrt[3]{a+1}^{3}}=\\
=\displaystyle\frac{7(\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2})}{a-(a+1)}=\displaystyle\frac{7(\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2})}{a-a-1}=\\
=\displaystyle\frac{7(\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2})}{-1}= -7(\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2}).
\end{array}\]

 Odpowiedź

\(\Large{\frac{7}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a+1}}}=\) \(-7(\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2})\)
\( 3. \quad \Large{\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}}\)

 Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na  \(a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\) 
\(\Large{\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}\cdot \frac{\sqrt[3]{x}^{2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y}^{2}}{\sqrt[3]{x}^{2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y}^{2}}=\frac{\left ( x+y \right )\left ( \sqrt[3]{x}^{2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y}^{2} \right )}{\sqrt[3]{x}^{3}+\sqrt[3]{y}^{3}}=\frac{\left ( x+y \right )\left ( \sqrt[3]{x}^{2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y}^{2} \right )}{x+y}}=\normalsize{\sqrt[3]{x}^{2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y}^{2}}.\)

 Odpowiedź

\(\Large{\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}}=\) \(\sqrt[3]{x}^{2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y}^{2}\)
\( 4. \quad \Large{\frac{8}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}}\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Musimy mianownik potraktować jako sumę dwóch wyrazów i zastosować wzór skróconego mnożenia na  \(a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\) . Przekształcamy wyrażenie wykonując odpowiednie działania.
\[\frac{8}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{2}+\left (  \sqrt{3}+\sqrt{5}\right )}\cdot \frac{\sqrt{2}-\left (  \sqrt{3}+\sqrt{5}\right )}{\sqrt{2}-\left (  \sqrt{3}+\sqrt{5}\right )}=\cdots \]

 Krok 2

W mianowniku upraszczamy wyrażenie korzystając z kolejnego wzoru skróconego mnożenia na  \(\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\) 
\[\cdots =\frac{8\left [ \sqrt{2}-\left ( \sqrt{3}+\sqrt{5}\right ) \right ] }{\sqrt{2}^{2}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right )^{2}}=\frac{8[\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}]}{2-(3+2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{5}+5)}=\cdots \]
oraz pozbywając się nawiasu redukujemy wyrazy podobne.
\[\cdots =\frac{8[\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}]}{2-3-2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{5}-5}=\frac{8[\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}]}{-6-2\sqrt{15}}=\cdots \]
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i skracamy wyrażenie jednocześnie wyłączając w mianowniku minus przed nawias
\[\cdots =\frac{8[\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}]}{2(-3-\sqrt{15})}=\frac{4[\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}]}{-(3+\sqrt{15})}=\cdots \]

 Krok 3

Doszliśmy do momentu, że w mianowniku mamy już tylko jeden pierwiastek i możemy działać jak w przykładach 1 i 2. Korzystamy znów ze wzoru skróconego mnożenia na  \(a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\) . Mnożymy przez jedynkę w postaci \(\Large{\frac{3-\sqrt{15}}{3-\sqrt{15}}}.\)
\[\cdots =\frac{4[\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}]}{-(3+\sqrt{15})} \cdot \frac{3-\sqrt{15}}{3-\sqrt{15}}=\frac{4(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})(3-\sqrt{15})}{-(3+\sqrt{15})(3-\sqrt{15})}=\cdots \]
Wykonujemy działania (w liczniku mnożymy wyrażenia algebraiczne "każdy wyraz razy każdy", w mianowniku stosujemy wzór)
\[\cdots =\frac{4(3\sqrt{2}-\sqrt{30}-3\sqrt{3}+\sqrt{45}-3\sqrt{5}+\sqrt{5\cdot 5\cdot 3})}{-(3^{2}-\sqrt{15}^{2})}=\frac{4(3\sqrt{2}-\sqrt{30}-3\sqrt{3}+3\sqrt{5}-3\sqrt{5}+5\sqrt{3})}{-(9-15)}=\cdots \]
i upraszczamy wyrazy podobne \[\cdots =\frac{4(3\sqrt{2}-\sqrt{30}+2\sqrt{3})}{-6}= \frac{-2(3\sqrt{2}-\sqrt{30}+2\sqrt{3})}{3}= \frac{-6\sqrt{2}+2\sqrt{30}-4\sqrt{3}}{3}.\]

 Krok 4 - Odpowiedź

\(\Large{\frac{8}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{-6\sqrt{2}+2\sqrt{30}-4\sqrt{3}}{3}}\)

 Polecenie

 Usuń niewymierność z mianownika ułamka

 Ćwiczenia

\( 1. \quad \Large{\frac{3}{\sqrt{7}-4}}\)

 Odpowiedź

\( \Large{\frac{3}{\sqrt{7}-4}=-\frac{\sqrt{7}+4}{3}}\)

 Rozwiązanie

\( \Large{\frac{3}{\sqrt{7}-4}\cdot \frac{\sqrt{7}+4}{\sqrt{7}+4}=}\) \(\Large{\frac{3\left ( \sqrt{7}+4 \right )}{7-16}=}\) \( \Large{\frac{3\left ( \sqrt{7}+4 \right )}{-9}=-\frac{\sqrt{7}+4}{3}.}\)
\( 2. \quad \Large{\frac{3}{2-\sqrt{n-1}}}\)

 Odpowiedź

\( \Large{\frac{3}{2-\sqrt{n-1}}=\frac{6+3\sqrt{n-1}}{5-n}}\)

 Rozwiązanie

\( \Large{\frac{3}{2-\sqrt{n-1}}\cdot \frac{2+\sqrt{n-1}}{2+\sqrt{n-1}}=}\) \(\Large{\frac{3(2+\sqrt{n-1})}{2^{2}-\sqrt{n-1}^{2}}=\frac{6+3\sqrt{n-1}}{4-(n-1)}=}\) \(\Large{\frac{6+3\sqrt{n-1}}{4-n+1}=\frac{6+3\sqrt{n-1}}{5-n}.}\)
\(3. \quad \Large{\frac{\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}-\sqrt{3}}}\)

 Odpowiedź

\( \Large{\frac{\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{8-5\sqrt{2}-4\sqrt{3}+3\sqrt{6}}{2}}\)

 Rozwiązanie

\( \Large{\frac{\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}-\sqrt{3}}\cdot \frac{\left ( 1+2\sqrt{2} \right )+\sqrt{3}}{\left (1+2\sqrt{2} \right )+\sqrt{3}}=
\frac{\sqrt{2}\left (1+2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right )}{\left ( 1+2\sqrt{2} \right )^{2}-\sqrt{3}^{2}}=\\
\frac{\sqrt{2}+4+\sqrt{6}}{1+4\sqrt{2}+8-3}=
\frac{4+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6+4\sqrt{2}}\cdot \frac{6-4\sqrt{2}}{6-4\sqrt{2}}=\\
 =\frac{24-16\sqrt{2}+6\sqrt{2}-8-4\sqrt{12}+6\sqrt{6}}{36-16\cdot 2}=
\frac{24-16\sqrt{2}+6\sqrt{2}-8-8\sqrt{3}+6\sqrt{6}}{36-32}=\\
\frac{16-10\sqrt{2}-8\sqrt{3}+6\sqrt{6}}{4}=\frac{2\left ( 8-5\sqrt{2}-4\sqrt{3}+3\sqrt{6} \right )}{4}=
\frac{8-5\sqrt{2}-4\sqrt{3}+3\sqrt{6}}{2}.}\)
\( 4. \quad \Large{\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}-1}}\)

 Odpowiedź

\(\Large{\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}-1}=\frac{5+\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{5}}{4}}\)

 Rozwiązanie

\( \Large{\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}-1}\cdot \frac{\sqrt[3]{5}^{2}+\sqrt[3]{5}+1}{\sqrt[3]{5}^{2}+\sqrt[3]{5}+1}=\frac{5+\sqrt[3]{5}^{2}+\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}^{3}-1^{3}}=\frac{5+\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{5}}{5-1}= \frac{5+\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{5}}{4}.}\)

W zadaniach \(1-4\) wybierz dokładnie jedną prawidłową odpowiedź. Sprawdź poprawność swoich odpowiedzi przyciskiem "Sprawdź" lub na końcu klikając "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Aby usunąć niewymierność z mianownika ułamka \(\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}\) należy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:

Zadanie 2

Aby usunąć niewymierność z mianownika ułamka\(\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}\) mnożymy ten ułamek przez \(1\) w postaci:

Zadanie 3

Po usunięciu niewymierności z mianownika ułamka \(\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}\) otrzymamy

Zadanie 4

Po usunięciu niewymierności z mianownika ułamek \(\displaystyle\frac{1}{2-\sqrt[3]{2}}\) jest równy

Podsumowanie