Zadanie 2.2.4

Polecenie

Usuń niewymierność z mianownika ułamka:

Wzory skróconego mnożenia

Kwadrat sumy

$\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Kwadrat różnicy

$\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Różnica kwadratów

$a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$

Sześcian sumy

$\left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

Sześcian różnicy

$\left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

Suma sześcianów

$a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )$

Różnica sześcianów

$a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )$

Ćwiczenia

$1. \quad \Large{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}$

Rozwiązanie

Krok 1

W mianowniku mamy

$\sqrt{2}+\sqrt{3}.$ Chcemy dostać

$\sqrt{2}^{2}-\sqrt{3}^{2},$ zatem wybieramy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

$\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}.$

Krok 2

W kolejnym kroku należy pomnożyć dany ułamek przez

$1$ w takiej postaci, aby korzystając z danego wzoru pozbyć się z mianownika ułamka liczb niewymiernych. U nas

$\normalsize{1=}\Large{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}.$ Mnożąc wyrażenia działamy jak na zwykłych ułamkach. (W liczniku musimy wymnożyć każdy wyraz razy każdy, w mianowniku korzystamy ze wzoru).

Krok 3

$\Large{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}=\frac{2-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{-1}}=$

$-2+\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}.$

Krok 4 - Odpowiedź

$\Large{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=} \normalsize{ -2+\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}}.$

$2. \quad \Large{\frac{7}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a+1}}}$

Rozwiązanie

Wybierz wzór, z którego możemy skorzystać przy usuwaniu niewymierności z mianownika tego ułamka.

$a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$

Odpowiedź nieprawidłowa

$a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )$

Odpowiedź nieprawidłowa

$a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )$

Odpowiedź prawidłowa

W tym przykładzie musimy zastosować wzór na różnicę sześcianów, gdyż w mianowniku mamy wyrażenie

$\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a+1}.$ We wzorze

$a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )$ jest to czynnik

$(a-b).$ Jedynka, przez którą pomnożymy nasz ułamek ma więc postać:

$\frac{\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2}}{\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2}},$ gdyż jest to iloraz tych samych czynników

$\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )$ ze wzoru na różnicę sześcianów.
Wykonujemy działania

$\begin{array}{l} \displaystyle\frac{7}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a+1}}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2}}{\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2}}=\displaystyle\frac{7(\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2})}{\sqrt[3]{a}^{3}-\sqrt[3]{a+1}^{3}}=\\ =\displaystyle\frac{7(\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2})}{a-(a+1)}=\displaystyle\frac{7(\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2})}{a-a-1}=\\ =\displaystyle\frac{7(\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2})}{-1}= -7(\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2}). \end{array}$

Odpowiedź

$\Large{\frac{7}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a+1}}}=$

$-7(\sqrt[3]{a}^{2}+\sqrt[3]{a(a+1)}+\sqrt[3]{a+1}^{2})$

$3. \quad \Large{\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}}$

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

$\Large{\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}\cdot \frac{\sqrt[3]{x}^{2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y}^{2}}{\sqrt[3]{x}^{2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y}^{2}}=\frac{\left ( x+y \right )\left ( \sqrt[3]{x}^{2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y}^{2} \right )}{\sqrt[3]{x}^{3}+\sqrt[3]{y}^{3}}=\frac{\left ( x+y \right )\left ( \sqrt[3]{x}^{2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y}^{2} \right )}{x+y}}=\normalsize{\sqrt[3]{x}^{2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y}^{2}}.$

Odpowiedź

$\Large{\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}}=$

$\sqrt[3]{x}^{2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y}^{2}$

$4. \quad \Large{\frac{8}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}}$

Rozwiązanie

Krok 1

Musimy mianownik potraktować jako sumę dwóch wyrazów i zastosować wzór skróconego mnożenia na

$a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$ . Przekształcamy wyrażenie wykonując odpowiednie działania.

$\frac{8}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{2}+\left ( \sqrt{3}+\sqrt{5}\right )}\cdot \frac{\sqrt{2}-\left ( \sqrt{3}+\sqrt{5}\right )}{\sqrt{2}-\left ( \sqrt{3}+\sqrt{5}\right )}=\cdots$

Krok 2

W mianowniku upraszczamy wyrażenie korzystając z kolejnego wzoru skróconego mnożenia na

$\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$\cdots =\frac{8\left [ \sqrt{2}-\left ( \sqrt{3}+\sqrt{5}\right ) \right ] }{\sqrt{2}^{2}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right )^{2}}=\frac{8[\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}]}{2-(3+2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{5}+5)}=\cdots$
oraz pozbywając się nawiasu redukujemy wyrazy podobne.

$\cdots =\frac{8[\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}]}{2-3-2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{5}-5}=\frac{8[\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}]}{-6-2\sqrt{15}}=\cdots$
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i skracamy wyrażenie jednocześnie wyłączając w mianowniku minus przed nawias

$\cdots =\frac{8[\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}]}{2(-3-\sqrt{15})}=\frac{4[\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}]}{-(3+\sqrt{15})}=\cdots$

Krok 3

Doszliśmy do momentu, że w mianowniku mamy już tylko jeden pierwiastek i możemy działać jak w przykładach 1 i 2. Korzystamy znów ze wzoru skróconego mnożenia na

$a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$ . Mnożymy przez jedynkę w postaci

$\Large{\frac{3-\sqrt{15}}{3-\sqrt{15}}}.$

$\cdots =\frac{4[\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}]}{-(3+\sqrt{15})} \cdot \frac{3-\sqrt{15}}{3-\sqrt{15}}=\frac{4(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})(3-\sqrt{15})}{-(3+\sqrt{15})(3-\sqrt{15})}=\cdots$
Wykonujemy działania (w liczniku mnożymy wyrażenia algebraiczne "każdy wyraz razy każdy", w mianowniku stosujemy wzór)

$\cdots =\frac{4(3\sqrt{2}-\sqrt{30}-3\sqrt{3}+\sqrt{45}-3\sqrt{5}+\sqrt{5\cdot 5\cdot 3})}{-(3^{2}-\sqrt{15}^{2})}=\frac{4(3\sqrt{2}-\sqrt{30}-3\sqrt{3}+3\sqrt{5}-3\sqrt{5}+5\sqrt{3})}{-(9-15)}=\cdots$
i upraszczamy wyrazy podobne

$\cdots =\frac{4(3\sqrt{2}-\sqrt{30}+2\sqrt{3})}{-6}= \frac{-2(3\sqrt{2}-\sqrt{30}+2\sqrt{3})}{3}= \frac{-6\sqrt{2}+2\sqrt{30}-4\sqrt{3}}{3}.$

Krok 4 - Odpowiedź

$\Large{\frac{8}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{-6\sqrt{2}+2\sqrt{30}-4\sqrt{3}}{3}}$

Zadanie 2.2.3

Polecenie

Usuń niewymierność z mianownika ułamka

Ćwiczenia

$1. \quad \Large{\frac{3}{\sqrt{7}-4}}$

Odpowiedź

$\Large{\frac{3}{\sqrt{7}-4}=-\frac{\sqrt{7}+4}{3}}$

Rozwiązanie

$\Large{\frac{3}{\sqrt{7}-4}\cdot \frac{\sqrt{7}+4}{\sqrt{7}+4}=}$

$\Large{\frac{3\left ( \sqrt{7}+4 \right )}{7-16}=}$

$\Large{\frac{3\left ( \sqrt{7}+4 \right )}{-9}=-\frac{\sqrt{7}+4}{3}.}$

$2. \quad \Large{\frac{3}{2-\sqrt{n-1}}}$

Odpowiedź

$\Large{\frac{3}{2-\sqrt{n-1}}=\frac{6+3\sqrt{n-1}}{5-n}}$

Rozwiązanie

$\Large{\frac{3}{2-\sqrt{n-1}}\cdot \frac{2+\sqrt{n-1}}{2+\sqrt{n-1}}=}$

$\Large{\frac{3(2+\sqrt{n-1})}{2^{2}-\sqrt{n-1}^{2}}=\frac{6+3\sqrt{n-1}}{4-(n-1)}=}$

$\Large{\frac{6+3\sqrt{n-1}}{4-n+1}=\frac{6+3\sqrt{n-1}}{5-n}.}$

$3. \quad \Large{\frac{\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}-\sqrt{3}}}$

Odpowiedź

$\Large{\frac{\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{8-5\sqrt{2}-4\sqrt{3}+3\sqrt{6}}{2}}$

Rozwiązanie

$\Large{\frac{\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}-\sqrt{3}}\cdot \frac{\left ( 1+2\sqrt{2} \right )+\sqrt{3}}{\left (1+2\sqrt{2} \right )+\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{2}\left (1+2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right )}{\left ( 1+2\sqrt{2} \right )^{2}-\sqrt{3}^{2}}=\\ \frac{\sqrt{2}+4+\sqrt{6}}{1+4\sqrt{2}+8-3}= \frac{4+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6+4\sqrt{2}}\cdot \frac{6-4\sqrt{2}}{6-4\sqrt{2}}=\\ =\frac{24-16\sqrt{2}+6\sqrt{2}-8-4\sqrt{12}+6\sqrt{6}}{36-16\cdot 2}= \frac{24-16\sqrt{2}+6\sqrt{2}-8-8\sqrt{3}+6\sqrt{6}}{36-32}=\\ \frac{16-10\sqrt{2}-8\sqrt{3}+6\sqrt{6}}{4}=\frac{2\left ( 8-5\sqrt{2}-4\sqrt{3}+3\sqrt{6} \right )}{4}= \frac{8-5\sqrt{2}-4\sqrt{3}+3\sqrt{6}}{2}.}$

$4. \quad \Large{\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}-1}}$

Odpowiedź

$\Large{\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}-1}=\frac{5+\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{5}}{4}}$

Rozwiązanie

$\Large{\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}-1}\cdot \frac{\sqrt[3]{5}^{2}+\sqrt[3]{5}+1}{\sqrt[3]{5}^{2}+\sqrt[3]{5}+1}=\frac{5+\sqrt[3]{5}^{2}+\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}^{3}-1^{3}}=\frac{5+\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{5}}{5-1}= \frac{5+\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{5}}{4}.}$

Polecenie

Wzory skróconego mnożenia

Ćwiczenia

Rozwiązanie

Krok 1

Krok 2

Krok 3

Krok 4 - Odpowiedź

Rozwiązanie

Odpowiedź

Rozwiązanie

Odpowiedź

Rozwiązanie

Krok 1

Krok 2

Krok 3

Krok 4 - Odpowiedź

Polecenie

Ćwiczenia

Odpowiedź

Rozwiązanie

Odpowiedź

Rozwiązanie

Odpowiedź

Rozwiązanie

Odpowiedź

Rozwiązanie

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Podsumowanie