Zadanie 3.1.1
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.1 Własności funkcji
  4. Zadanie 3.1.1

 Polecenie

Dla naszkicowanej funkcji \(f\) wyznacz odczytując z wykresu
  1. Dziedzinę i zbiór wartości.
  2. Miejsca zerowe.
  3. Zbiory argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne.
  4. Monotoniczność funkcji \(f.\)
  5. Zbiory argumentów, dla których \(f(x)\geq 2.\)

 Funkcja 1

Rysunek 3.1.1a
Własności:
  1. \(D=\mathbb{R},\quad ZW=\left \langle -5;4 \right \rangle\)
  2. \(x_{0}=3\)
  3. \(f(x)\geq 0 \ \Leftrightarrow \  x\in \left (  -\infty ;3 \right \rangle\)
  4. \(f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 0;1 \right )\\
    f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 1;4 \right )\\
    f \ \textrm{stała} \ \textrm{ dla } \ x\in \left ( -\infty ;0 \right )\\
    f \ \textrm{stała} \ \textrm{ dla } \ x\in \left ( 4;\infty  \right )\)
  5. Niestety nie da się odczytać dokładnie z rysunku dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość \(2.\) Widzimy, że ok \(2,4.\)
    Ponieważ dla \(x\in \left ( 0;4 \right ) \) mamy funkcję, której wykresem jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W(1,4),\) przechodzącą przez punkt \((2,3)\) i miejscu zerowym \(x_{0}=3,\) więc jesteśmy w stanie wyznaczyć wzór tej funkcji tworząc układ równań.
    Podstawiamy współrzędne punktów \( (1,4), (2,3)\) oraz \((3,0)\) do wzoru \(g(x)=ax^{2}+bx+c\) i rozwiązujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi.
    \[\begin{array}{l}
    \left\{\begin{matrix}
    4=a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c\\
    3=a\cdot 2^{2}+b\cdot 2+c\\
    0=a\cdot 3^{2}+b\cdot 3+c
    \end{matrix}\right.\\
    \left\{\begin{matrix}
    a+b+c=4\\
    4a+2b+c=3\\
    9a+3b+c=0
    \end{matrix}\right.
    \end{array}\]
    Odejmując od siebie dwa pierwsze równania otrzymamy
    \[3a+b=-1\\b=-3a-1\]
    Podstawiając wyznaczone \(b\) do pierwszego i trzeciego równania z układu równań otrzymamy
    \[\begin{array}{l}
    \left\{\begin{matrix}
    a-3a-1+c=4\\
    9a+3(-3a-1)+c=0
    \end{matrix}\right.\\
    \left\{\begin{matrix}
    -2a+c=5\\
    9a-9a-3+c=0
    \end{matrix}\right.\\
    \left\{\begin{matrix}
    -2a+c=5\\
    c=3
    \end{matrix}\right.\\
    \left\{\begin{matrix}
    -2a=5-3\\
    c=3
    \end{matrix}\right.\\
    \left\{\begin{matrix}
    a=-1\\
    c=3
    \end{matrix}\right.
    \end{array}\]
    Podstawiamy za \(a\) i \(c\) do dowolnego równania układu i obliczamy \(b.\)
    \[b=-3\cdot(-1)-1=2.\]
    Zatem funkcja \(g(x)=-x^{2}+2x+3.\) Aby obliczyć dla jakiego argumentu wartość funkcji wynosi \(2\) należy rozwiązać równanie \[-x^{2}+2x+3=2\\-x^{2}+2x+1=0\\\Delta =4-4\cdot (-1)\cdot 1=8\\ \sqrt{\Delta }=2\sqrt{2}\\ x_{1}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{-2}=1+\sqrt{2}\\ x_{2}=\frac{-2+2\sqrt{2}}{-2}=1-\sqrt{2}.\]
    Widzimy zatem, że w rozpatrywanym przedziale funkcja \(f\) przyjmuje wartość \(2\) dla \(x=1+\sqrt{2}.\)
    Odczytujemy z wykresu \[f(x)\geq 2 \ \Leftrightarrow \  x\in \left ( -\infty ;1+\sqrt{2} \right \rangle .\]

 Funkcja 2

Rysunek 3.1.1b
Własności:
  1. \(D=\left \langle -\pi;\pi \right )\\ZW=\left \langle -1;1 \right \rangle\)
  2. \(x=-\pi \  \vee  \ x=0\)
  3. \(f(x) \geq 0 \ \Leftrightarrow \ x\in \left \langle 0;\pi \right ) \cup \left \{ -\pi \right \}\)
  4. \(f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in (-\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi }{2})\\
    f \searrow \ \textrm{ dla } \ x \in \left \langle -\pi ; -\displaystyle\frac{\pi}{2} \right )\\
    f \searrow \ \textrm{ dla } \ x \in \left ( \displaystyle\frac{\pi}{2}; \pi  \right )\)
  5. Ponieważ funkcja ma swój zbiór wartości w przedziale od \(-1\) do \(1,\) zatem nie przyjmuje wartości większych lub równych \(2.\)
    \(f(x)\geq 2 \  \Leftrightarrow \ x\in \varnothing .\)

 Funkcja 3

Rysunek 3.1.1c
Własności:
  1. \(D=\left ( -3;3 \right \rangle\\
    ZW=\left \{ -1,0,1,2,3,4 \right \}\)
  2. Miejsc zerowych jest nieskończenie wiele, mieszczą się one w przedziale \(\left (  -2;-1  \right \rangle\)
  3. \(f(x)\geq 0 \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( -2; 3 \right \rangle\)
  4. \(f\) stała dla \(  x \in \left ( -3;-2  \right \rangle\)
    \(f\) stała dla \(  x \in \left ( -2;-1  \right \rangle\)
    \(f\) stała dla \( x \in \left ( -1;0  \right \rangle\)
    \(f\) stała dla \( x \in \left ( 0;1  \right \rangle\)
    \(f\) stała dla \( x \in \left ( 1;2  \right \rangle\)
    \(f\) stała dla \( x \in \left ( 2;3  \right \rangle\)
  5. \(f(x)\geq 2 \ \Leftrightarrow \  x\in \left ( 0; 3 \right \rangle\)

 Polecenie

Dla naszkicowanej funkcji \(f\) wyznacz odczytując z wykresu
  1. Dziedzinę i zbiór wartości.
  2. Miejsca zerowe.
  3. Zbiory argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości niedodatnie.
  4. Monotoniczność funkcji \(f.\)
  5. Zbiory argumentów, dla których \(f(x)<1.\)

 Funkcja 1

Rysunek 3.1.1d
Własności:
  1. \(D=\left ( -6;\infty  \right )\\
    ZW= \left \langle 0;5 \right \rangle\)
  2. Miejsc zerowych jest nieskończenie wiele, mieszczą się one w przedziale \(\left ( -6;-3 \right \rangle\)
  3. \(f(x)\leq 0 \ \Leftrightarrow \ x\in \left (  -6;-3 \right \rangle\)
  4. \(f\nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( -3;2 \right )\)
    \(f\) stała dla \(\ x\in \left ( -6;-3 \right )\)
    \(f\) stała dla \(x\in \left ( 2;\infty  \right )\)
  5. Ponieważ łatwno odczytać, że \(f(-2)=1,\) zatem
    \(f(x) \lt 1 \ \Leftrightarrow  \ x\in \left ( -6;-2 \right ).\)

 Funkcja 2

Rysunek 3.1.1e
Własności:
  1. \(D=\left ( -4;2\right \rangle\\
    ZW=\left \langle -3;1 \right \rangle\)
  2. Miejsce zerowe jest jedno.
    Nie potrafimy dokładnie odczytać wartości z wykresu ale widzimy, że wykresem funkcji \(f\) przedziale \(<-1;2>\) jest parabola. Znając współrzędne trzech punktów należących do tej paraboli potrafimy znaleźć jej wzór.
    Podstawiamy zatem do wzoru \(g(x)=ax^{2}+bx+c\) współrzędne punktów \((-1,-2), (0,-3)\) oraz \((2,1)\) i rozwiązujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi.
    Możemy również (i tak zrobimy) odczytać z wykresu pewne własności i za ich pomocą opisać wzór. Parabola jest symetryczna względem osi \(OY\) zatem wzór ją opisujący ma postać \(g(x)=ax^{2}+c.\) Ponieważ przecina oś \(y\) w punkcie \(-3\) zatem wzór ma postać \(g(x)=ax^{2}-3.\) Widać też, że punkt \((2,1)\) należy do paraboli, zatem \[1=a \cdot 2^{2}-3 \\ 1=4a-3\\ a=1.\]
    Funkcja \(g\) ma postać \(g(x)=x^{2}-3.\) Miejscami zerowymi takiej funkcji są: \[x^{2}-3=0\\(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\
    x=\sqrt{3} \vee x=-\sqrt{3}.\]
    Nas interesuje dodatnie miejsce zerowe. Zatem \(x_{0}=\sqrt{3}.\)
  3. \(f(x)\leq 0 \ \Leftrightarrow  \ x\in \left (  -4;\sqrt{3} \right \rangle\)
  4. \(f\) stała \(\ \Leftrightarrow \ x\in \left ( -4;-1 \right )\)
    \(f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( -1;0 \right )\)
    \(f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 0;2 \right \rangle\)
  5. \(f(x) \lt 1\) dla każdego \(x\in D\setminus \left \{ 2 \right \},\) zatem \(f(x) \lt 1 \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( -4;2 \right ).\)

 Funkcja 3

Rysunek 3.1.1f
Własności:
  1. \(D=\left ( -\pi; 0 \right )\\
    ZW=\mathbb{R}\)
  2. \(x_{0}=-\displaystyle\frac{\pi }{2}\)
  3. \(f(x)\leq 0 \ \Leftrightarrow \ x\in \left \langle -\displaystyle\frac{\pi }{2};0 \right )\)
  4. \(f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in D_{f}\)
  5. Z wykresu możemy odczytać, że \(f(-\displaystyle\frac{3}{4}\pi)=1\) (bo \(f(-\displaystyle\frac{\pi}{4})=-1\)), zatem \(f(x) \lt 1 \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( -\displaystyle\frac{3}{4}\pi;0 \right ).\)