Zadanie 3.1.7
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.1 Własności funkcji
  4. Zadanie 3.1.7

 Polecenie

Znajdź funkcje odwrotne do podanych funkcji.

 Wskazówki

Definicja funkcji odwrotnej

Jeśli funkcja \(f: X \rightarrow Y \) jest różnowartościowa na swojej dziedzinie, wówczas funkcję \(f^{-1}: Y \rightarrow X\) określoną przez warunek
\[f^{-1}(y)=x \Leftrightarrow y=f(x),\  \textrm{ gdzie } \  x\in X, y\in Y,\]
nazywamy funkcją odwrotną do funkcji \(f.\)

Warunek wystarczający różnowartościowości funkcji

Jeżeli funkcja jest rosnąca albo malejąca na zbiorze, to jest na nim różnowartościowa.
Uwaga
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Z tego, że funkcja jest różnowartościowa na pewnym zbiorze nie wynika, że jest na nim rosnąca lub malejąca.

 Ćwiczenia

\(1. \quad f(x)=4x^{2}-7, \ \) dla \(x \geq 0.\)

 Rozwiązanie

Wyznaczanie funkcji odwrotnej krok po kroku
Aby wyznaczyć funkcję odwrotną do danej należy:

    Uzasadnić, że na swojej dziedzinie dana funkcja jest różnowartościowa (można uzasadnić, że jest rosnąca lub malejąca).
    Wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji odwrotnej.
    Wyznaczyć ze wzoru zmienną \(x.\)
    Można "wymienić" zmienne  "\(y"\) na "\(x\)" i odwrotnie.
Dziedziną funkcji \(f(x)=4x^{2}-7\) jest zbiór liczb rzeczywistych, jednak w przykładzie mamy ograniczenie do zbioru \(R_{+}\cup \left \{ 0 \right \}.\) Zbiorem wartości dla podanej dziedziny będzie zbiór \(\left \langle -7;\infty  \right ).\)

Na podanym zbiorze funkcja jest różnowartościowa, gdyż jest rosnąca (patrz rysunek).
Rysunek 3.1.7.1
Istnieje zatem funkcja odwrotna \(f^{-1}: \left \langle -7;\infty  \right )\rightarrow \left \langle 0;\infty  \right ).\)
Wyznaczamy ze wzoru zmienną \(x\) aby otrzymać wzór funkcji odwrotnej.
\[y=4x^{2}-7\\
4x^{2}=y+7\\
x^{2}=\frac{y+7}{4}\\
x=\sqrt{\frac{y+7}{4}}\  \vee \  x=-\sqrt{\frac{y+7}{4}}.\]
Ponieważ funkcja odwrotna przyjmuje tylko wartości nieujemne, zatem wybieramy
\[x=\sqrt{\frac{y+7}{4}}.\]
Funkcja odwrotna jest więc określona wzorem:
\[f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{x+7}{4}}.\]

 Dla zainteresowanych

Dla zainteresowanych interpretacja geometryczna zadania.
Rysunek 3.1.7.2
Jak widać, wykresy funkcji \(f\) i funkcji do niej odwrotnej są symetryczne do siebie względem prostej \(y=x.\)

 Odpowiedź

Funkcja odwrotna do funkcji \(f(x)=4x^{2}-7 \ \) dla \(x \geq 0,\) jest określona wzorem \(f^{-1}(x)=\sqrt{\displaystyle\frac{x+7}{4}}.\)
\(2. \quad f(x)=\displaystyle\frac{1+x}{4x}\)

 Rozwiązanie

Dziedziną funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{1+x}{4x}\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od \(0.\) (W mianowniku nie możemy mieć \(0.\) )
Aby istniała funkcja odwrotna funkcja \(f\) musi być różnowartościowa.
W pierwszym kroku udowodnimy, że jest.

 Krok 1

Zakładamy, że dla \(x_{1},x_{2}\neq 0\)
\[\begin{array}{l} 
f(x_{1})= f(x_{2})\\
\displaystyle\frac{1+x_{1}}{4x_{1}}=\displaystyle\frac{1+x_{2}}{4x_{2}}\\
(1+x_{1})\cdot 4x_{2}=4x_{1}\cdot (1+x_{2})\\
(1+x_{1})\cdot x_{2}=x_{1}\cdot (1+x_{2})\\
x_{2}+x_{1}x_{2}=x_{1}+x_{1}x_{2}\\
x_{2}=x_{1}. \quad\quad\quad\quad\blacksquare 
\end{array}\]
Zatem funkcja \(f(x)=\displaystyle\frac{1+x}{4x}\) jest różnowartościowa na zbiorze \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}.\)

 Krok 2

Istnieje więc funkcja odwrotna do \(f.\)
Wyznaczamy zmienną \(x\) z równania
\[\begin{array}{l}
y=\displaystyle\frac{1+x}{4x}\\
y\cdot 4x=1+x\\
4xy-x=1\\
x(4y-1)=1\\
x=\displaystyle\frac{1}{4y-1}
\end{array}\]
Zatem funkcja odwrotna \( f^{-1}:\mathbb{R}\setminus \left \{ \displaystyle\frac{1}{4} \right \} \rightarrow   \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\) określona jest wzorem \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{1}{4x-1}.\) (Dla \(x \in \mathbb{R}\setminus \left \{ \displaystyle\frac{1}{4} \right \}\) ponieważ \(4x-1\neq 0.\))

 Dla zainteresowanych

Dla zainteresowanych interpretacja geometryczna zadania. Na rysunku widać, że wykresy funkcji \(f\) i do niej odwrotnej są symetryczne względem prostej \(y=x.\)
Rysunek 3.1.7.3

 Odpowiedź

Funkcja odwrotna \( f^{-1}:\mathbb{R}\setminus \left \{ \displaystyle\frac{1}{4} \right \} \rightarrow   \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\) określona jest wzorem \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{1}{4x-1}.\)
\(3. \quad f(x)=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{3}x}, \ \) dla \(x \geq 0.\)

 Rozwiązanie

W pierwszym kroku uzasadnimy, że funkcja na swojej dziedzinie jest różnowartościowa.
W drugim kroku wyznaczymy dziedzinę i zbiór wartości funkcji odwrotnej i wzór funkcji odwrotnej.
W trzecim kroku dla zainteresowanych pokażemy interpretację geometryczną zadania.

 Krok 1

Zakładamy, że dla \(x_{1},x_{2} \in \mathbb{R}_{+}\cup \left \{ 0 \right \} \)
\[\begin{array}{l}
f(x_{1})=f(x_{2})\\
\sqrt{\displaystyle\frac{1}{3}x_{1}}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{3}x_{2}} \quad \quad / ()^{2}\\
\displaystyle\frac{1}{3}x_{1}=\displaystyle\frac{1}{3}x_{2} \quad \quad / \cdot 3\\
x_{1}=x_{2}. \quad \quad \quad \quad \blacksquare 
\end{array}\]
Zatem funkcja \(f\) jest różnowartościowa i posiada funkcję odwrotną.

 Krok 2

Dziedziną i zbiorem wartości funkcji \(f\) jest zbiór \(\mathbb{R}_{+}\cup \left \{ 0 \right \},\) zatem funkcja odwrotna będzie określona na tych samych zbiorach \(f^{-1}: \mathbb{R}_{+}\cup \left \{ 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\cup \left \{ 0 \right \}.\)
Wyznaczamy zmienną \(x\) ze wzoru:
\[\begin{array}{l}
y=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{3}x} \quad \quad /()^{2}\\
y^{2}=\displaystyle\frac{1}{3}x \quad \quad /\cdot 3\\
3y^{2}=x\\
x=3y^{2}
\end{array}\]
Zamieniamy zmienne \(y\) na \(x\) i odwrotnie.
Zatem funkcja odwrotna ma postać \(f^{-1}(x)=3x^{2}.\)

 Krok 3

Dla zainteresowanych interpretacja geometryczna, na której widać, że wykresy funkcji i funkcji odwrotnej są symetryczne względem prostej \(y=x.\)
Rysunek 3.1.7.4

 Odpowiedź

Funkcja odwrotna do funkcji \(f(x)=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{3}x}, \ \) dla \(x \geq 0,\) ma postać \(f^{-1}(x)=3x^{2}.\)

 Polecenie

Znajdź funkcje odwrotne do podanych funkcji.

 Ćwiczenia

\(1. \quad f(x)=2x+\displaystyle\frac{4}{7}\)

 Odpowiedź

Funkcja odwrotna do funkcji \(f(x)=2x+\displaystyle\frac{4}{7}\) ma postać \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{2}{7}.\)

 Rozwiązanie

\(D=\mathbb{R}, ZW= \mathbb{R}\)
Niech \(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}.\)
\[\begin{array}{l}
f(x_{1})=f(x_{2})\\
2x_{1}+\displaystyle\frac{4}{7}=2x_{2}+\displaystyle\frac{4}{7}\\
2x_{1}=2x_{2}\\
x_{1}=x_{2}.\quad \quad \quad \quad \blacksquare
\end{array}\]
Zatem funkcja \(f\) jest różnowartościowa na zbiorze \(\mathbb{R},\) czyli posiada funkcje odwrotną.
Wyznaczamy zmienną \(x\) z równania
\[y=2x+\displaystyle\frac{4}{7}\\
2x=y-\displaystyle\frac{4}{7}\\
x=\displaystyle\frac{y-\displaystyle\frac{4}{7}}{2}=\displaystyle\frac{y}{2}-\displaystyle\frac{4}{14}=\displaystyle\frac{y}{2}-\displaystyle\frac{2}{7}.\]
Zamieniając zmienne
\[f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{x}{2}-\displaystyle\frac{2}{7}.\]
\(2. \quad f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}-5}}{4},\  \) dla \( x\geq \sqrt{5}.\)

 Odpowiedź

Funkcją odwrotną do funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}-5}}{4},\) dla \(x\geq \sqrt{5},\) jest funkcja \(f^{-1}(x)=\sqrt{16x^{2}+5} .\)

 Rozwiązanie

Niech \(x_{1},x_{2}\geq \sqrt{5}\)
\[\begin{array}{l}
f(x_{1})=f(x_{2})\\
\displaystyle\frac{\sqrt{x_{1}^{2}-5}}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt{x_{2}^{2}-5}}{4}\\
\sqrt{x_{1}^{2}-5}=\sqrt{x_{2}^{2}-5}\\
x_{1}^{2}-5=x_{2}^{2}-5\\
x_{1}^{2}=x_{2}^{2}\\
x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0\\
(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})=0\\
x_{1}-x_{2}=0 \ \vee \ x_{1}+x_{2}=0\\
x_{1}=x_{2} \ \vee \ x_{1}=-x_{2} \ \textrm{ (równanie sprzeczne, bo} \  x_{1},x_{2}\geq \sqrt{5})
\end{array}\]
Zatem \[x_{1}=x_{2}. \quad\quad\quad\quad \blacksquare \]
Istnieje więc funkcja odwrotna do \(f.\)

\[\begin{array}{l}
y=\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}-5}}{4}\\
\sqrt{x^{2}-5}=4y\\
x^{2}-5=16y^{2}\\
x^{2}=16y^{2}+5\\
x=\sqrt{16y^{2}+5} \ \vee \ x=-\sqrt{16y^{2}+5}.
\end{array}\]
Dla \(x\geq \sqrt{5}\) \[x=\sqrt{16y^{2}+5}.\]
Zatem \(f^{-1}(x)=\sqrt{16x^{2}+5},\) dla \(x\geq \sqrt{5}.\)
\(3. \quad f(x)=\displaystyle\frac{3}{1-x}\)

 Odpowiedź

Funkcja odwrotna do funkcji \( f(x)=\displaystyle\frac{3}{1-x}\) ma postać \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{x-3}{x}.\)

 Rozwiązanie

\(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}, ZW=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\)
Niech \(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \},\)
\[\begin{array}{l}
f(x_{1})=f(x_{2})\\
\displaystyle\frac{3}{1-x_{1}}=\displaystyle\frac{3}{1-x_{2}}\\
3(1-x_{1})=3(1-x_{2})\\
1-x_{1}=1-x_{2}\\
-x_{1}=-x_{2}\\
x_{1}=x_{2}. \quad\quad\quad\quad \blacksquare
\end{array}\]
Zatem funkcja \(f\) jest różnowartościowa, więc posiada funkcję odwrotną \(f^{-1}: \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \} \rightarrow \mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}.\)
\[
y=\displaystyle\frac{3}{1-x}\\
3=y-xy\\
3-y=-xy\\
xy=y-3\\
x=\displaystyle\frac{y-3}{y}.\]
Funkcja odwrotna do funkcji \(f\) ma postać \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{x-3}{x}.\)