Polecenie
Znajdź funkcje odwrotne do podanych funkcji.
Wskazówki
Definicja funkcji odwrotnej
Jeśli funkcja f:X→Y jest różnowartościowa na swojej dziedzinie, wówczas funkcję f−1:Y→X określoną przez warunek
f−1(y)=x⇔y=f(x), gdzie x∈X,y∈Y,
nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f.
f−1(y)=x⇔y=f(x), gdzie x∈X,y∈Y,
nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f.
Warunek wystarczający różnowartościowości funkcji
Jeżeli funkcja jest rosnąca albo malejąca na zbiorze, to jest na nim różnowartościowa.
Uwaga
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Z tego, że funkcja jest różnowartościowa na pewnym zbiorze nie wynika, że jest na nim rosnąca lub malejąca.
Ćwiczenia
1.f(x)=4x2−7, dla x≥0.
Rozwiązanie
Wyznaczanie funkcji odwrotnej krok po kroku
Aby wyznaczyć funkcję odwrotną do danej należy:
Uzasadnić, że na swojej dziedzinie dana funkcja jest różnowartościowa (można uzasadnić, że jest rosnąca lub malejąca).
Wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji odwrotnej.
Wyznaczyć ze wzoru zmienną x.
Można "wymienić" zmienne "y" na "x" i odwrotnie.
Uzasadnić, że na swojej dziedzinie dana funkcja jest różnowartościowa (można uzasadnić, że jest rosnąca lub malejąca).
Wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji odwrotnej.
Wyznaczyć ze wzoru zmienną x.
Można "wymienić" zmienne "y" na "x" i odwrotnie.
Dziedziną funkcji f(x)=4x2−7 jest zbiór liczb rzeczywistych, jednak w przykładzie mamy ograniczenie do zbioru R+∪{0}. Zbiorem wartości dla podanej dziedziny będzie zbiór ⟨−7;∞).
Na podanym zbiorze funkcja jest różnowartościowa, gdyż jest rosnąca (patrz rysunek).
Na podanym zbiorze funkcja jest różnowartościowa, gdyż jest rosnąca (patrz rysunek).
Istnieje zatem funkcja odwrotna f−1:⟨−7;∞)→⟨0;∞).
Wyznaczamy ze wzoru zmienną x aby otrzymać wzór funkcji odwrotnej.
y=4x2−74x2=y+7x2=y+74x=√y+74 ∨ x=−√y+74.
Ponieważ funkcja odwrotna przyjmuje tylko wartości nieujemne, zatem wybieramy
x=√y+74.
Funkcja odwrotna jest więc określona wzorem:
f−1(x)=√x+74.
Wyznaczamy ze wzoru zmienną x aby otrzymać wzór funkcji odwrotnej.
y=4x2−74x2=y+7x2=y+74x=√y+74 ∨ x=−√y+74.
Ponieważ funkcja odwrotna przyjmuje tylko wartości nieujemne, zatem wybieramy
x=√y+74.
Funkcja odwrotna jest więc określona wzorem:
f−1(x)=√x+74.
Dla zainteresowanych
Dla zainteresowanych interpretacja geometryczna zadania.
Jak widać, wykresy funkcji f i funkcji do niej odwrotnej są symetryczne do siebie względem prostej y=x.
Odpowiedź
Funkcja odwrotna do funkcji f(x)=4x2−7 dla x≥0, jest określona wzorem f−1(x)=√x+74.
2.f(x)=1+x4x
Rozwiązanie
Dziedziną funkcji f(x)=1+x4x jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od 0. (W mianowniku nie możemy mieć 0. )
Aby istniała funkcja odwrotna funkcja f musi być różnowartościowa.
W pierwszym kroku udowodnimy, że jest.
Aby istniała funkcja odwrotna funkcja f musi być różnowartościowa.
W pierwszym kroku udowodnimy, że jest.
Krok 1
Zakładamy, że dla x1,x2≠0
f(x1)=f(x2)1+x14x1=1+x24x2(1+x1)⋅4x2=4x1⋅(1+x2)(1+x1)⋅x2=x1⋅(1+x2)x2+x1x2=x1+x1x2x2=x1.◼
Zatem funkcja f(x)=1+x4x jest różnowartościowa na zbiorze D=R∖{0}.
f(x1)=f(x2)1+x14x1=1+x24x2(1+x1)⋅4x2=4x1⋅(1+x2)(1+x1)⋅x2=x1⋅(1+x2)x2+x1x2=x1+x1x2x2=x1.◼
Zatem funkcja f(x)=1+x4x jest różnowartościowa na zbiorze D=R∖{0}.
Krok 2
Istnieje więc funkcja odwrotna do f.
Wyznaczamy zmienną x z równania
y=1+x4xy⋅4x=1+x4xy−x=1x(4y−1)=1x=14y−1
Zatem funkcja odwrotna f−1:R∖{14}→R∖{0} określona jest wzorem f−1(x)=14x−1. (Dla x∈R∖{14} ponieważ 4x−1≠0.)
Wyznaczamy zmienną x z równania
y=1+x4xy⋅4x=1+x4xy−x=1x(4y−1)=1x=14y−1
Zatem funkcja odwrotna f−1:R∖{14}→R∖{0} określona jest wzorem f−1(x)=14x−1. (Dla x∈R∖{14} ponieważ 4x−1≠0.)
Dla zainteresowanych
Dla zainteresowanych interpretacja geometryczna zadania. Na rysunku widać, że wykresy funkcji f i do niej odwrotnej są symetryczne względem prostej y=x.
Odpowiedź
Funkcja odwrotna f−1:R∖{14}→R∖{0} określona jest wzorem f−1(x)=14x−1.
3.f(x)=√13x, dla x≥0.
Rozwiązanie
W pierwszym kroku uzasadnimy, że funkcja na swojej dziedzinie jest różnowartościowa.
W drugim kroku wyznaczymy dziedzinę i zbiór wartości funkcji odwrotnej i wzór funkcji odwrotnej.
W trzecim kroku dla zainteresowanych pokażemy interpretację geometryczną zadania.
W drugim kroku wyznaczymy dziedzinę i zbiór wartości funkcji odwrotnej i wzór funkcji odwrotnej.
W trzecim kroku dla zainteresowanych pokażemy interpretację geometryczną zadania.
Krok 1
Zakładamy, że dla x1,x2∈R+∪{0}
f(x1)=f(x2)√13x1=√13x2/()213x1=13x2/⋅3x1=x2.◼
Zatem funkcja f jest różnowartościowa i posiada funkcję odwrotną.
f(x1)=f(x2)√13x1=√13x2/()213x1=13x2/⋅3x1=x2.◼
Zatem funkcja f jest różnowartościowa i posiada funkcję odwrotną.
Krok 2
Dziedziną i zbiorem wartości funkcji f jest zbiór R+∪{0}, zatem funkcja odwrotna będzie określona na tych samych zbiorach f−1:R+∪{0}→R+∪{0}.
Wyznaczamy zmienną x ze wzoru:
y=√13x/()2y2=13x/⋅33y2=xx=3y2
Zamieniamy zmienne y na x i odwrotnie.
Zatem funkcja odwrotna ma postać f−1(x)=3x2.
Wyznaczamy zmienną x ze wzoru:
y=√13x/()2y2=13x/⋅33y2=xx=3y2
Zamieniamy zmienne y na x i odwrotnie.
Zatem funkcja odwrotna ma postać f−1(x)=3x2.
Krok 3
Dla zainteresowanych interpretacja geometryczna, na której widać, że wykresy funkcji i funkcji odwrotnej są symetryczne względem prostej y=x.
Odpowiedź
Funkcja odwrotna do funkcji f(x)=√13x, dla x≥0, ma postać f−1(x)=3x2.
Polecenie
Znajdź funkcje odwrotne do podanych funkcji.
Ćwiczenia
1.f(x)=2x+47
Odpowiedź
Funkcja odwrotna do funkcji f(x)=2x+47 ma postać f−1(x)=x2−27.
Rozwiązanie
D=R,ZW=R
Niech x1,x2∈R.
f(x1)=f(x2)2x1+47=2x2+472x1=2x2x1=x2.◼
Zatem funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze R, czyli posiada funkcje odwrotną.
Wyznaczamy zmienną x z równania
y=2x+472x=y−47x=y−472=y2−414=y2−27.
Zamieniając zmienne
f−1(x)=x2−27.
Niech x1,x2∈R.
f(x1)=f(x2)2x1+47=2x2+472x1=2x2x1=x2.◼
Zatem funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze R, czyli posiada funkcje odwrotną.
Wyznaczamy zmienną x z równania
y=2x+472x=y−47x=y−472=y2−414=y2−27.
Zamieniając zmienne
f−1(x)=x2−27.
2.f(x)=√x2−54, dla x≥√5.
Odpowiedź
Funkcją odwrotną do funkcji f(x)=√x2−54, dla x≥√5, jest funkcja f−1(x)=√16x2+5.
Rozwiązanie
Niech x1,x2≥√5
f(x1)=f(x2)√x21−54=√x22−54√x21−5=√x22−5x21−5=x22−5x21=x22x21−x22=0(x1−x2)(x1+x2)=0x1−x2=0 ∨ x1+x2=0x1=x2 ∨ x1=−x2 (równanie sprzeczne, bo x1,x2≥√5)
Zatem x1=x2.◼
Istnieje więc funkcja odwrotna do f.
y=√x2−54√x2−5=4yx2−5=16y2x2=16y2+5x=√16y2+5 ∨ x=−√16y2+5.
Dla x≥√5 x=√16y2+5.
Zatem f−1(x)=√16x2+5, dla x≥√5.
f(x1)=f(x2)√x21−54=√x22−54√x21−5=√x22−5x21−5=x22−5x21=x22x21−x22=0(x1−x2)(x1+x2)=0x1−x2=0 ∨ x1+x2=0x1=x2 ∨ x1=−x2 (równanie sprzeczne, bo x1,x2≥√5)
Zatem x1=x2.◼
Istnieje więc funkcja odwrotna do f.
y=√x2−54√x2−5=4yx2−5=16y2x2=16y2+5x=√16y2+5 ∨ x=−√16y2+5.
Dla x≥√5 x=√16y2+5.
Zatem f−1(x)=√16x2+5, dla x≥√5.
3.f(x)=31−x
Odpowiedź
Funkcja odwrotna do funkcji f(x)=31−x ma postać f−1(x)=x−3x.
Rozwiązanie
D=R∖{1},ZW=R∖{0}
Niech x1,x2∈R∖{1},
f(x1)=f(x2)31−x1=31−x23(1−x1)=3(1−x2)1−x1=1−x2−x1=−x2x1=x2.◼
Zatem funkcja f jest różnowartościowa, więc posiada funkcję odwrotną f−1:R∖{0}→R∖{1}.
y=31−x3=y−xy3−y=−xyxy=y−3x=y−3y.
Funkcja odwrotna do funkcji f ma postać f−1(x)=x−3x.
Niech x1,x2∈R∖{1},
f(x1)=f(x2)31−x1=31−x23(1−x1)=3(1−x2)1−x1=1−x2−x1=−x2x1=x2.◼
Zatem funkcja f jest różnowartościowa, więc posiada funkcję odwrotną f−1:R∖{0}→R∖{1}.
y=31−x3=y−xy3−y=−xyxy=y−3x=y−3y.
Funkcja odwrotna do funkcji f ma postać f−1(x)=x−3x.