Zadanie 3.1.6
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.1 Własności funkcji
  4. Zadanie 3.1.6

 Polecenie

Uzasadnij, że podane funkcje są monotoniczne na podanym zbiorze.

 Wskazówki

Definicja funkcji monotonicznej

Funkcja jest monotoniczna na zbiorze, jeżeli jest na nim rosnąca, malejąca, nierosnąca lub niemalejąca. Funkcje rosnące i malejące nazywamy ściśle monotonicznymi, a nierosnące i niemalejące słabo monotonicznymi.
Definicja funkcji rosnącej
Funkcja \(f\) jest rosnąca na zbiorze \(A\subset D_{f},\) jeżeli
\[\underset{x_{1},x_{2}\in \mathbb{A}}{\huge \forall }\left [ x_{1}<  x_{2} \Rightarrow f(x_{1})<  f(x_{2})  \right ].\]
(Inaczej, funkcja jest rosnąca, jeśli wraz ze wzrostem argumentów, rosną też wartości funkcji.)
Definicja funkcji malejącej
Funkcja \(f\) jest malejąca na zbiorze \(A\subset D_{f},\) jeżeli
\[\underset{x_{1},x_{2}\in \mathbb{A}}{\huge \forall }\left [ x_{1}<  x_{2} \Rightarrow f(x_{1})>  f(x_{2})  \right ].\]
(Inaczej, funkcja jest malejąca, jeśli wraz ze wzrostem argumentów, wartości funkcji maleją.)
Definicja funkcji niemalejącej
Funkcja \(f\) jest niemalejąca na zbiorze \(A\subset D_{f},\) jeżeli
\[\underset{x_{1},x_{2}\in \mathbb{A}}{\huge \forall }\left [ x_{1}<  x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \leq   f(x_{2})  \right ].\]
(Inaczej, funkcja jest niemalejąca, jeśli wraz ze wzrostem argumentów, wartości funkcji rosną lub są takie same.)
Definicja funkcji nierosnącej
Funkcja \(f\) jest nierosnąca na zbiorze \(A\subset D_{f},\) jeżeli
\[\underset{x_{1},x_{2}\in \mathbb{A}}{\huge \forall }\left [ x_{1}<  x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \geq  f(x_{2})  \right ].\]
(Inaczej, funkcja jest nierosnąca, jeśli wraz ze wzrostem argumentów, wartości funkcji maleją lub są stałe.)

 Ćwiczenia

\(1. \quad f(x)=x^{2}-\displaystyle\frac{3}{4}, \ \) na zbiorze \( \left ( 0;\infty  \right ) .\)

 Rozwiązanie

Musimy zbadać znak różnicy wartości funkcji \(f(x_{1})- f(x_{2})\), dla \(x_{1}, x_{2} \in \left ( 0;\infty  \right ) \) oraz \( x_{1}- x_{2} <0.\)
Zatem
\[\begin{array}{l}
f(x_{1})- f(x_{2})=
(x_{1}^{2}-\displaystyle\frac{3}{4}) -( x_{2}^{2}-\displaystyle\frac{3}{4})=
x_{1}^{2}-\displaystyle\frac{3}{4} -x_{2}^{2}+\displaystyle\frac{3}{4}=\\
x_{1}^{2} - x_{2}^{2}=
(x_{1} - x_{2})(x_{1} + x_{2}).
\end{array}\]
Z założenia \( x_{1}- x_{2} <0,\) ponieważ  \(x_{1}, x_{2} \in \left ( 0;\infty  \right ), \) zatem ich suma jest liczbą dodatnią \( x_{1}+ x_{2} >0.\)
Mamy więc \((x_{1} - x_{2})(x_{1} + x_{2})<0,\) więc \(f(x_{1})- f(x_{2})<0, \) czyli \(f(x_{1})< f(x_{2})\)
Funkcja \(f\) jest funkcją rosnącą na zbiorze \(\left ( 0;\infty  \right ).\)

 Odpowiedź

Funkcja \( f(x)=x^{2}-\displaystyle\frac{3}{4}\) jest funkcją malejącą, zatem i monotoniczną, na zbiorze \(\left ( 0;\infty  \right ).\)
\(2. \quad f(x)=\displaystyle\frac{1}{9x+1}, \ \) na zbiorze \( \left ( 0;\infty  \right ).\)

 Rozwiązanie

Zakładamy, że \(x_{1}- x_{2}<0\) oraz, że \(x_{1},x_{2}\in \left ( 0;\infty  \right ).\) Badamy znak różnicy
\[f(x_{1})- f(x_{2})=\displaystyle\frac{1}{9x_{1}^{2}+1}- \displaystyle\frac{1}{9x_{2}^{2}+1}=
\displaystyle\frac{9x_{2}^{2}+1-9x_{1}^{2}-1}{(9x_{1}^{2}+1)(9x_{2}^{2}+1)}=\\
\displaystyle\frac{9(x_{2}^{2}-x_{1}^{2})}{(9x_{1}^{2}+1)(9x_{2}^{2}+1)}=
\displaystyle\frac{9(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})}{(9x_{1}^{2}+1)(9x_{2}^{2}+1)}.\]
Ponieważ z założenia \(x_{1}- x_{2}<0\) oraz \(x_{1}\) i \(x_{2}\) są liczbami dodatnimi, zatem wyrażenia \( x_{2}-x_{1},\) \(x_{2}+x_{1},\) \(9x_{1}^{2}+1\) oraz \(9x_{2}^{2}+1\) są również dodatnie. Wynika z tego, że \[\displaystyle\frac{9(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})}{(9x_{1}^{2}+1)(9x_{2}^{2}+1)}>0.\] Zatem \(f(x_{1})- f(x_{2})>0.\)
Funkcja \(f\) jest malejąca, więc jest monotoniczna na przedziale \(\left ( 0;\infty  \right ).\)

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{9x+1}\) jest malejąca, więc jest monotoniczna na przedziale \(\left ( 0;\infty  \right ).\)
\(3. \quad f(x)=\sqrt{11-x},\ \) na zbiorze \(\left (  -\infty ;11 \right \rangle.\)

 Rozwiazanie

 Krok 1

Aby uzasadnić, że funkcja \(f\) jest monotoniczna, wystarczy udowodnić, że jest rosnąca lub malejąca.
Wybierz jakie należy przyjąć założenia, aby to udowodnić.

Zakładamy, że że \(x_{1}- x_{2}<0\) oraz, że \(x_{1},x_{2}\in \left (  -\infty ;11 \right \rangle.\)

Odpowiedź prawidłowa

Zakładamy, że że \(x_{1}- x_{2}>0\) oraz, że \(x_{1},x_{2}\in \left (  -\infty ;11 \right \rangle.\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Zakładamy, że że \(x_{1}- x_{2}<0\) oraz, że \(x_{1},x_{2}\in \left (  -11;\infty \right ).\)

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 2

Badamy znak różnicy
\[f(x_{1})- f(x_{2})=\sqrt{11-x_{1}}-\sqrt{11-x_{2}} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{11-x_{1}}+\sqrt{11-x_{2}}}{\sqrt{11-x_{1}}+\sqrt{11-x_{2}}}=\\ \displaystyle\frac{11-x_{1}-(11-x_{2})}{\sqrt{11-x_{1}}+\sqrt{11-x_{2}}}=\displaystyle\frac{11-x_{1}-11+x_{2}}{\sqrt{11-x_{1}}+\sqrt{11-x_{2}}}=\\ \displaystyle\frac{-x_{1}+x_{2}}{\sqrt{11-x_{1}}+\sqrt{11-x_{2}}}=\displaystyle\frac{-(x_{1}-x_{2})}{\sqrt{11-x_{1}}+\sqrt{11-x_{2}}}.\]
Wybierz prawidłową odpowiedź.

Ponieważ \(x_{1}-x_{2}>0,\) zatem \(-(x_{1}-x_{2})<0.\)
Jeśli  \(x_{1},x_{2}\in \left (  -\infty ;11 \right \rangle\) a \(x_{1}-x_{2}<0,\) nie jest więc możliwe, aby \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) były jednocześnie równe \(11\). Wyrażenie w mianowniku ułamka jest więc sumą dwóch pierwiastków drugiego stopnia, z których co najwyżej jeden jest równy \(0,\) zatem jest liczbą dodatnią.
Wynika stąd, że \(f(x_{1})- f(x_{2})<0.\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Ponieważ \(x_{1}-x_{2}<0,\) zatem \(-(x_{1}-x_{2})>0.\)
Jeśli  \(x_{1},x_{2}\in \left (  -\infty ;11 \right \rangle\) a \(x_{1}-x_{2}<0,\) nie jest więc możliwe, aby \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) były jednocześnie równe \(11\). Wyrażenie w mianowniku ułamka jest więc sumą dwóch pierwiastków drugiego stopnia, z których co najwyżej jeden jest równy \(0,\) zatem jest liczbą dodatnią.
Wynika stąd, że \(f(x_{1})- f(x_{2})>0.\)

Odpowiedź prawidłowa

Ponieważ \(x_{1}-x_{2}>0,\) zatem \(-(x_{1}-x_{2})>0.\)
Jeśli  \(x_{1},x_{2}\in \left (  -\infty ;11 \right \rangle\) a \(x_{1}-x_{2}<0,\) nie jest więc możliwe, aby \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) były jednocześnie równe \(11\). Wyrażenie w mianowniku ułamka jest więc sumą dwóch pierwiastków drugiego stopnia, z których co najwyżej jeden jest równy \(0,\) zatem jest liczbą dodatnią.
Wynika stąd, że \(f(x_{1})- f(x_{2})<0.\)

Odpowiedź nieprawidłowa
Wybierz prawidłową odpowiedź.

Funkcja \(f\) jest więc funkcją malejącą więc nie jest monotoniczna.

Odpowiedź nieprawidłowa

Funkcja \(f\) jest więc funkcją rosnącą, a co za tym idzie jest monotoniczna.

Odpowiedź nieprawidłowa

 Funkcja \(f\) jest więc funkcją malejącą, a co za tym idzie również monotoniczną.

Odpowiedź prawidłowa

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\sqrt{11-x}\ \) na zbiorze \(\left (  -\infty ;11 \right \rangle\) jest funkcją monotoniczną.

 Polecenie

Uzasadnij, że podane funkcje są monotoniczne na podanym zbiorze.

 Ćwiczenia

\(1. \quad f(x)=\left | x-4 \right |,\ \) na zbiorze  \(\left \langle 4;\infty  \right ).\)

 Odpowiedź

Funkcja \( f(x)=\left | x-4 \right |\ \) na zbiorze  \(\left \langle 4;\infty  \right )\) jest funkcją monotoniczną (rosnącą).

 Rozwiązanie

Zakładając, że \(x_{1}-x_{2}<0\) oraz \( x_{1}, x_{2}\in \left \langle 4;\infty  \right ),\) badamy znak różnicy \[f(x_{1})-f(x_{2})=\left | x_{1}-4 \right |-\left | x_{2}-4 \right |.\]
Ponieważ \( x_{1}, x_{2}\in \left \langle 4;\infty  \right ),\) zatem \( \left | x_{1}-4 \right |= x_{1}-4, \ 
 \left | x_{2}-4 \right |= x_{2}-4 .\)
Mamy więc \[f(x_{1})-f(x_{2})=\left | x_{1}-4 \right |-\left | x_{2}-4 \right |= x_{1}-4-x_{2}+4=x_{1}-x_{2}\lt 0.\] Wynika z tego, że funkcja \(f\) jest rosnąca na zbiorze \( \left \langle 4;\infty  \right ).\)
\(2. \quad f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^{4}+7},\) na zbiorze \(\left \langle 0;\infty  \right ).\)

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^{4}+7},\) na zbiorze \(\left \langle 0;\infty  \right )\) jest monotoniczna (malejąca).

 Rozwiązanie

Założenie: \(x_{1}-x_{2} \lt 0\) oraz \(  x_{1},x_{2} \in \left \langle 0;\infty  \right ).\)
\[f(x_{1})-f(x_{2})= \displaystyle\frac{1}{x_{1}^{4}+7}-\displaystyle\frac{1}{x_{2}^{4}+7}= \displaystyle\frac{x_{2}^{4}+7-x_{1}^{4}-7}{(x_{1}^{4}+7)(x_{2}^{4}+7)}=\displaystyle\frac{x_{2}^{4}-x_{1}^{4}}{(x_{1}^{4}+7)(x_{2}^{4}+7)}=\displaystyle\frac{(x_{2}^{2}-x_{1}^{2})(x_{2}^{2}+x_{1}^{2})}{(x_{1}^{4}+7)(x_{2}^{4}+7)}=\displaystyle\frac{(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})(x_{2}^{2}+x_{1}^{2})}{(x_{1}^{4}+7)(x_{2}^{4}+7)}.\]
Ponieważ
\[x_{2}-x_{1} \gt 0, \ x_{2}+x_{1} \gt 0, \ x_{2}^{2}+x_{1}^{2} \gt 0, \ x_{1}^{4}+7 \gt 0,  \ x_{2}^{4}+7 \gt 0.\]
Zatem \( f(x_{1})-f(x_{2}) \gt 0.\)
Stąd funkcja \(f\) jest funkcją malejącą.
\(3. \quad f(x)=\displaystyle\frac{8}{\sqrt{2x-6}},\) na zbiorze \( \left ( 3;\infty  \right ).\)

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\displaystyle\frac{8}{\sqrt{2x-6}},\) na zbiorze \( \left ( 3;\infty  \right )\) jest funkcją monotoniczną (malejącą).

 Rozwiązanie

Badamy znak różnicy \(f(x_{1})-f(x_{2}), \) przy założeniu \( x_{1}-x_{2} \lt 0,\) oraz \( x_{1},x_{2}\in \left ( 3;\infty  \right ).\)
Zatem
\[f(x_{1})-f(x_{2})=\displaystyle\frac{8}{\sqrt{2x_{1}-6}}-\displaystyle\frac{8}{\sqrt{2x_{2}-6}}=
\displaystyle\frac{8(\sqrt{2x_{2}-6}-\sqrt{2x_{1}-6})}{\sqrt{2x_{1}-6}\cdot \sqrt{2x_{2}-6}} \cdot  \displaystyle\frac{\sqrt{2x_{2}-6}+\sqrt{2x_{1}-6}}{\sqrt{2x_{2}-6}+\sqrt{2x_{1}-6}}= \\
\displaystyle\frac{8(2x_{2}-6-2x_{1}+6)}{\sqrt{2x_{1}-6}\cdot \sqrt{2x_{2}-6}\cdot (\sqrt{2x_{2}-6}+\sqrt{2x_{1}-6})}=
\displaystyle\frac{16(x_{2}-x_{1})}{\sqrt{2x_{1}-6}\cdot \sqrt{2x_{2}-6}\cdot (\sqrt{2x_{2}-6}+\sqrt{2x_{1}-6})} \gt 0, \]
gdyż \( x_{1}-x_{2} \lt 0  \Leftrightarrow x_{2}-x_{1} \gt 0 \) oraz iloczyn i suma pierwiastków drugiego stopnia są na zbiorze  \( \left ( 3;\infty  \right )\) liczbami dodatnimi.