Zadanie 3.1.5
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.1 Własności funkcji
  4. Zadanie 3.1.5

 Polecenie

Sprawdź czy podane funkcje są różnowartościowe na podanych zbiorach.

 Wskazówki

Definicja funkcji różnowartościowej

Funkcja \(f\) jest różnowartościowa na zbiorze \(A\subset D_{f}\) jeżeli
\[\underset{x_{1},x_{2}\in \mathbb{A}}{\huge \forall }\left [ x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}) \right ].\]
Równoważnie
\[\underset{x_{1},x_{2}\in \mathbb{A}}{\huge \forall }\left [f(x_{1})= f(x_{2})\Rightarrow  x_{1}= x_{2} \right ].\]
Uwaga
Funkcja \(f\) jest różnowartościowa na zbiorze \(A\) jeżeli prosta \(y=a,\) dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\), przecina wykres funkcji \(f\) co najwyżej raz.

 Przykłady

Rysunek 3.1.5.2
Rysunek 3.1.5.1

 Ćwiczenia

\(1. \quad f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{4}{3},\) na zbiorze \( \mathbb{R}.\)

 Rozwiązanie

Należy wykazać, że
\[\underset{x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}}{\huge \forall }\left [f(x_{1})= f(x_{2})\Rightarrow  x_{1}= x_{2} \right ].\]
Weźmy dwa argumenty, będące dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Zakładamy, że wartości funkcji \(f\) dla tych argumentów są równe, czyli \(f(x_{1})= f(x_{2}).\)
Jeśli \(f(x_{1})= f(x_{2}),\) zatem \(\displaystyle\frac{1}{2}x_{1}-\displaystyle\frac{4}{3} = \displaystyle\frac{1}{2}x_{2}-\displaystyle\frac{4}{3} \ \ \Leftrightarrow \ \
\displaystyle\frac{1}{2}x_{1} = \displaystyle\frac{1}{2}x_{2} \ \ \Leftrightarrow \ \
x_{1} = x_{2} . \quad \quad \blacksquare \)
Zatem udowodniliśmy, że funkcja \(f\) jest różnowartościowa.

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{4}{3}\) na zbiorze \( \mathbb{R}\) jest różnowartościowa.
\(2. \quad f(x)=7x^{2},\) na zbiorze \(\left \langle 0;\infty  \right ).\)

 Rozwiązanie

Zakładamy, że \(f(x_{1})=f(x_{2})\) oraz \(x_{1},x_{2}\in \left \langle 0;\infty  \right )\) tzn, że
\(7x_{1}^{2}=7x_{2}^{2}\\
x_{1}^{2}=x_{2}^{2}\\
x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0\\
(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})=0\\
x_{1}=x_{2} \vee x_{1}=-x_{2} \quad \textrm{ -  sprzeczne z założeniem.}\)
Zatem wynika stąd, że \(x_{1}=x_{2}. \quad \quad \blacksquare \)

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=7x^{2}\) na zbiorze \( \left \langle 0;\infty  \right )\) jest funkcją różnowartościową.
\(3. \quad f(x)=\displaystyle\frac{1-x}{x-3},\) na zbiorze \( (3;\infty ).\)

 Rozwiązanie

Zakładamy, że dla dowolnych \(x_{1}, x_{2} \in (3;\infty )\)
\(f(x_{1})=f( x_{2}),\) czyli
\(\displaystyle\frac{1-x_{1}}{x_{1}-3}=\displaystyle\frac{1-x_{2}}{x_{2}-3}\\
(1-x_{1})(x_{2}-3)=(1-x_{2})(x_{1}-3)\\
x_{2}-3-x_{1}x_{2}+3x_{1}=x_{1}-3-x_{1}x_{2}+3x_{2}\\
3x_{1}-x_{1}=3x_{2}-x_{2}\\
2x_{1}=2x_{2}\\
x_{1}=x_{2}. \quad \quad \blacksquare \)

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\displaystyle\frac{1-x}{x-3}\) na przedziale \((3;\infty )\) jest różnowartościowa.

 Polecenie

Sprawdź czy podane funkcje są różnowartościowe na podanych zbiorach.

 Ćwiczenia

\(1. \quad f(x)=\sqrt{x-2},\ \ \) na zbiorze \(\left \langle 2;\infty  \right ).\)

 Odpowiedź

Funkcja \( f(x)=\sqrt{x-2},\) na zbiorze \(\left \langle 2;\infty  \right )\) jest różnowartościowa.

 Rozwiązanie

Zakładamy, że dla dowolnych \(x_{1}, x_{2} \in \left \langle 2;\infty  \right ): \quad f(x_{1})=f(x_{2}).\)
Zatem
\(\sqrt{x_{1}-2}=\sqrt{x_{2}-2} \ \ \ /()^{2}\) (możemy podnieść obustronnie do kwadratu, gdyż po obu stronach równania mamy liczby nieujemne)
\(x_{1}-2=x_{2}-2\\
x_{1}=x_{2}. \quad \quad \quad\blacksquare \)
\(2. \quad f(x)=\displaystyle\frac{1}{x-1},\ \ \) na zbiorze \(\left ( 1;\infty  \right ).\)

 Odpowiedź

Funkcja \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{x-1},\) na zbiorze \(\left ( 1;\infty  \right )\) jest różnowartościowa.

 Rozwiązanie

Zakładamy, że dla dowolnych \(x_{1},x_{2}\in \left ( 1;\infty  \right ): \ \  f(x_{1})=f(x_{2}).\)
Zatem
\(\displaystyle\frac{1}{x_{1}-1}=\displaystyle\frac{1}{x_{2}-1}\\
1\cdot (x_{2}-1)=1\cdot (x_{1}-1)\\
x_{2}-1=x_{1}-1\\
x_{2}=x_{1}. \ \ \ \ \blacksquare \)