Zadanie 3.1.4
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.1 Własności funkcji
  4. Zadanie 3.1.4

 Polecenie

Wyznacz funkcje złożone \(\ f\circ g, \ g\circ f,\   f\circ f, \ g\circ g\ \) dla danych funkcji \(f\) i \(g\) oraz określ ich dziedziny.

 Wskazówki

Definicja funkcji złożonej

Niech \(X,Y,Z,W\subset \mathbb{R},\) gdzie \(Y \subseteq Z\) oraz \(f: X\rightarrow Y, \ g: Z\rightarrow W.\) Złożeniem funkcji \(g\) i \(f\) nazywamy funkcję \(g\circ f : X\rightarrow W,\) określoną wzorem \[(g\circ f)(x)=g\left ( f(x) \right )\quad \textrm{dla}\quad x\in X.\]
Uwaga
Składanie funkcji nie jest przemienne, czyli \(f\circ g \neq  g\circ f.\)
Np. Dla \(f(x)=x^{2}\) oraz \(g(x)=\cos x\) mamy
  • \((f\circ g)(x)= f(g(x))=f(\cos x)=\cos ^{2}x,\)
  • \((g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2})=\cos (x^{2}).\)

 Ćwiczenia

\(1. \quad f(x)=x^{2},\  g(x)=0,5x+4\)

 Rozwiązanie

\(D_{f}=\mathbb{R}, ZW_{f}=\mathbb{R}\\
D_{g}=\mathbb{R}, ZW_{g}=\mathbb{R}.\)
Złożenie \(f\circ g \) powstaje tak, że argumentem funkcji \(f\) jest teraz funkcja \(g(x)\) czyli \(0,5x+4.\) W konsekwencji pod \(x\) w funkcji \(f\) podstawiamy \(0,5x+4.\)
\(\big ( f \circ g \big )(x)=f\big ( g(x) \big )=f\big ( 0,5x+4 \big )=(0,5x+4)^{2}=0,25x^{2}+4x+16,\) dla \( x \in \mathbb{R} ,\)
\(\big ( g \circ f \big )(x)=g\big ( f(x) \big )=g\big ( x^{2} \big )= 0,5x^{2}+4,\)dla \(x \in \mathbb{R}, \)
\(\big ( f \circ f \big )(x)=f\big ( f(x) \big )=f\big ( x^{2} \big )= (x^{2})^{2}=x^{4}, \) dla \(x \in \mathbb{R},\)
\(\big ( g \circ g \big )(x)=g\big ( g(x) \big )=g\big (0,5x+4 \big )= 0,5(0,5x+4)+4=0,25x+2+4= 0,25x+6,\)dla \( x \in \mathbb{R}.\)
\(2. \quad f(x)=\sqrt{x^{2}-25}, \ \  g(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\)

 Rozwiazanie

 Krok 1

Wyznaczymy dziedzinę i zbiór wartości obu funkcji.
\(D_{f}=\left ( -\infty ;-5 \right \rangle\cup \left \langle 5;\infty  \right )\\
ZW_{f}=\left \langle  0;\infty  \right )\\
D_{g}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\\
ZW_{g}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}.\)

 Krok 2

Złożenie \(f \circ g\)
Aby wyznaczyć złożenie funkcji \( f \circ g\) należy wyznaczyć dziedzinę tego złożenia.
Dokładniej \(D_{f \circ g}=\left \{ x\in D_{g}:g(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\in D_{f} \right \}.\)
Zatem musimy tak "obciąć" dziedzinę funkcji \(g,\) aby zbiór wartości funkcji \(g\) zawierał się w dziedzinie fukcji \(f.\)
W tym przypadku zbiór wartości funkcji \(g\) musi być równoważny ze zbiorem \(  \left ( -\infty ;-5 \right \rangle\cup \left \langle 5;\infty  \right ).\)
Zatem
\[\begin{array}{l}
g(x)\leq -5 \quad \vee \quad g(x)\geq 5\\
\displaystyle\frac{1}{x}\leq -5 \quad \vee \quad  \displaystyle\frac{1}{x}\geq 5\\
\displaystyle\frac{1}{x}+5\leq 0 \quad \vee \quad  \displaystyle\frac{1}{x}-5\geq 0\\
\displaystyle\frac{1+5x}{x}\leq 0 \quad \vee \quad  \displaystyle\frac{1-5x}{x}\geq 0\\
x(1+5x)\leq 0 \quad \vee \quad x(1-5x)\geq 0\\
x=0 \vee x=-\displaystyle\frac{1}{5} \quad \vee \quad x=0 \vee x=\displaystyle\frac{1}{5}
\end{array}\]
Rysujemy wykresy:
Rysunek 3.1.4.2
\[x\in \left \langle -\displaystyle\frac{1}{5};0 \right \rangle\]
Rysunek 3.1.4.2b
\[x\in \left \langle 0; \displaystyle\frac{1}{5} \right \rangle\]
Sumując zbiory rozwiązań oraz wyłączając \(0\) z dziedziny ze względu na dziedzinę funkcji \(g\) na osi liczbowej
Rysunek 3.1.4.2c
otrzymamy: \[D_{ f \circ g }= \left \langle -\displaystyle\frac{1}{5}; \displaystyle\frac{1}{5} \right \rangle \setminus \left \{ 0 \right \}.\]
Zatem złożenie funkcji \(f\) z funkcją \(g\) wygląda następująco:
\[\big ( f \circ g \big )(x)=f\big ( g(x) \big )=f\big (\displaystyle\frac{1}{x} \big )=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}-5} \quad \textrm{ dla } x \in \left \langle -\displaystyle\frac{1}{5}; \displaystyle\frac{1}{5} \right \rangle \setminus \left \{ 0 \right \}.\]

 Krok 3

Złożenie \(g \circ f\)
Analogicznie
\(D_{g \circ f}= \left \{ x\in D_{f}:f(x)=\sqrt{x^{2}-25}\in D_{g} \right \} \Leftrightarrow \\
D_{g \circ f}=\left \{ x\in \left ( -\infty ;-5 \right \rangle \cup \left \langle 5;\infty  \right ) : \sqrt{x^{2}-25} \neq 0 \right \}\Leftrightarrow \\
D_{g \circ f}=\left \{ x\in \left ( -\infty ;-5 \right \rangle \cup \left \langle 5;\infty  \right ) : x\neq 5 \wedge  x \neq  -5 \right \} = \left ( -\infty ;-5 \right ) \cup \left ( 5;\infty  \right ).\)
Zatem
\[ \big ( g \circ f \big ) (x)=g\big ( f(x) \big )=g\big ( \sqrt{x^{2}-25} \big )=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^{2}-25}} \quad \textrm{ dla } x \in \left ( -\infty ;-5 \right ) \cup \left ( 5;\infty  \right ) .\]

 Krok 4

Złożenie \(f \circ f\)
Podobnie wyznaczamy dziedzinę złożenia \(f \circ f.\)
\(D_{f \circ f}= \left \{ x\in D_{f}:f(x)=\sqrt{x^{2}-25}\in D_{f} \right \} \Leftrightarrow \\
D_{f \circ f}= \left \{ x\in  \left ( -\infty ;-5 \right \rangle \cup \left \langle 5;\infty  \right ):\sqrt{x^{2}-25}\leq -5 \vee \sqrt{x^{2}-25}\geq 5 \right \}.\)
Pierwsza nierówność jest sprzeczna, dlatego wystarczy rozwiązać tylko drugą.
\(\sqrt{x^{2}-25}\geq 5 \ \  /()^{2}\) (możemy podnieść obustronnie do potęgi drugiej, gdyż obie strony są liczbami dodatnimi)
\(x^{2}-25\geq 25\\
x^{2}-25-25\geq 0\\
x^{2}-50\geq 0\\
(x-5\sqrt{2})(x+5\sqrt{2})\geq 0\\
x=5\sqrt{2} \vee x=-5\sqrt{2}.\)
Rysujemy parabolę i odczytujemy zbiór rozwiązań uwzględniając dziedzinę funkcji \(f.\)
Rysunek 3.1.4.2d
Zatem:
\[\big ( f \circ f \big )(x)=f\big ( f(x) \big )=f\big ( \sqrt{x^{2}-25} \big )= \sqrt{\sqrt{x^{2}-25}-5}=\sqrt{x^{2}-50},\quad \textrm{ dla } x \in \left ( -\infty ;-5\sqrt{2} \right \rangle \cup \left \langle 5\sqrt{2};\infty  \right )\]

 Krok 5

Złożenie \(g \circ g\)
W podobny sposób wyznaczamy ostatnie złożenie \(g \circ g.\)
\(D_{g \circ g}=\left \{ x\in D_{g}: g(x)= \displaystyle\frac{1}{x}\in D_{g} \right \}=\left \{ x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}: \displaystyle\frac{1}{x}\neq 0 \right \} =\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}.\)
Zatem
\[\big ( g \circ g \big )(x)=g\big ( g(x) \big )=g\big (\displaystyle\frac{1}{x} \big )= \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{x}}=x,\quad \textrm{ dla } x \in \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}.\]

 Krok 6 - Odpowiedź

\( \big ( f \circ g \big )(x)=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}-5} \quad \textrm{ dla } x \in \left \langle -\displaystyle\frac{1}{5}; \displaystyle\frac{1}{5} \right \rangle \setminus \left \{ 0 \right \},\\
 \big ( g \circ f \big ) (x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^{2}-25}} \quad \textrm{ dla } x \in \left ( -\infty ;-5 \right ) \cup \left ( 5;\infty  \right ) ,\\
\big ( f \circ f \big )(x)=\sqrt{x^{2}-50},\quad \textrm{ dla } x \in \left ( -\infty ;-5\sqrt{2} \right \rangle \cup \left \langle 5\sqrt{2};\infty  \right ),\\
\big ( g \circ g \big )(x)=x,\quad \textrm{ dla } x \in \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}.\)

 Polecenie

Wyznacz funkcje złożone \(\ f\circ g, \  g\circ f,\   f\circ f, \  g\circ g\ \) dla danych funkcji \(f\) i \(g\) oraz określ ich dziedziny.

 Ćwiczenia

\(1. \quad f(x)= 3|x|, \ \  g(x)=\displaystyle\frac{2x}{3-x}\)

 Odpowiedź

\((f \circ g)(x)= 3\left | \displaystyle\frac{2x}{3-x} \right |\) dla \(x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 3 \right \},\)
\((g \circ f)(x)= \displaystyle\frac{2|x|}{1-|x|}\) dla  \( x \in \mathbb{R}\setminus \left \{ -1,1 \right \},\)
\((f \circ f) (x)=9|x|\) dla \(x \in \mathbb{R},\)
\((g \circ g) (x)=\displaystyle\frac{4x}{9-5x}\) dla \( x \in \mathbb{R}\setminus \left \{ 3, \displaystyle\frac{9}{5}\right \}.\)

 Rozwiązanie

\(D_{f}=\mathbb{R}, ZW_{f}=\left \langle 0;\infty  \right ),\\
D_{g}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 3 \right \}, ZW_{g}=\mathbb{R}\setminus \left \{ -2 \right \}\)
Złożenie \(f \circ g\)
\(ZW_{g}\subset D_{f}\) zatem można złożyć funkcję \(f\) z funkcją \(g.\)
\((f \circ g)(x)= f(g(x))=f(\displaystyle\frac{2x}{3-x})=3\left | \displaystyle\frac{2x}{3-x} \right |\) dla \(x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 3 \right \}.\)
Złożenie \(g \circ f\)
\(ZW_{f} \nsubseteq   D_{g}\) więc wyznaczamy dziedzinę
\(D_{g \circ f}=\left \{ x\in D_{f}:f(x)=3|x| \in D_{g} \right \}= \left \{ x\in \mathbb{R}: 3|x|\neq 3 \right \}= \mathbb{R}\setminus \left \{ -1,1 \right \}.\)
\((g \circ f)(x)= g(f(x))=g(3|x|)=\displaystyle\frac{2\cdot 3|x|}{3-3|x|}= \displaystyle\frac{6|x|}{3(1-|x|)}= \displaystyle\frac{2|x|}{1-|x|}\) dla  \( x \in \mathbb{R}\setminus \left \{ -1,1 \right \}.\)
Złożenie \(f \circ f\)
\(D_{f \circ f}=\left \{ x\in D_{f}: f(x) \in D_{f} ) \right \}= \left \{ x\in \mathbb{R}: 3|x|\in \mathbb{R} \right \}=\mathbb{R} (\ \ \textrm{gdyż}\ \  ZW_{f}\subset D_{f}).\)
\((f \circ f) (x)=f(f(x))=f(3|x|)=3 \big | 3|x| \big |=9|x|\) dla \(x \in \mathbb{R}.\)
Złożenie \(g \circ g\)
\(D_{g \circ g}=\left \{ x\in D_{g}: g(x) \in D_{g} ) \right \}= \left \{ x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 3 \right \}: \displaystyle\frac{2x}{3-x}\neq 3 \right \}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 3, \displaystyle\frac{9}{5}\right \}.\)
\((g \circ g) (x)=g(g(x))=g( \displaystyle\frac{2x}{3-x})= \displaystyle\frac{2\cdot\displaystyle\frac{2x}{3-x} }{3-\displaystyle\frac{2x}{3-x}}= \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4x}{3-x} }{\displaystyle\frac{3(3-x)-2x}{3-x}}= \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4x}{3-x} }{\displaystyle\frac{9-5x}{3-x}} = \displaystyle\frac{4x}{3-x} \cdot \displaystyle\frac{3-x}{9-5x}=\displaystyle\frac{4x}{9-5x}\) dla \( x \in \mathbb{R}\setminus \left \{ 3, \displaystyle\frac{9}{5}\right \}.\)
\(2. \quad f(x)= 3x-\displaystyle\frac{3}{2}, \ \  g(x)=2x^{2}\)

 Odpowiedź

\( (f \circ g) (x)=6x^{2}-\displaystyle\frac{3}{2},\)  dla \(x\in \mathbb{R},\)
\( (g \circ f) (x)=18x^{2}-18x+\displaystyle\frac{9}{2},\) dla \(x\in \mathbb{R},\)
\( (f \circ f) (x)=9x-6,\) dla \(x\in \mathbb{R},\)
\( (g \circ g) (x)=8x^{4},\) dla \(x\in \mathbb{R}.\)

 Rozwiązanie

\(D_{f}=\mathbb{R}, ZW_{f}=\mathbb{R}\\
D_{g}=\mathbb{R}, ZW_{g}=\mathbb{R}.\)
\((f \circ g) (x)=f(g(x))=f(2x^{2})=3(2x^{2})-\displaystyle\frac{3}{2}=6x^{2}-\displaystyle\frac{3}{2},\)  dla \(x\in \mathbb{R},\)
\((g \circ f) (x)=g(f(x))=g(3x-\displaystyle\frac{3}{2})=2(3x-\displaystyle\frac{3}{2})^{2}=2(9x^{2}-9x+\displaystyle\frac{9}{4})=18x^{2}-18x+\displaystyle\frac{9}{2},\) dla \(x\in \mathbb{R},\)
\( (f \circ f) (x)=f(f(x))=f(3x-\displaystyle\frac{3}{2})=3(3x-\displaystyle\frac{3}{2})-\displaystyle\frac{3}{2}=9x-\displaystyle\frac{9}{2}-\displaystyle\frac{3}{2}=9x-6,\) dla \(x\in \mathbb{R},\)
\( (g \circ g) (x)=g(g(x))=g(2x^{2})=2(2x^{2})^{2}=2\cdot 4x^{4}=8x^{4},\) dla \(x\in \mathbb{R}.\)
\(3. \quad f(x)= \sqrt{2x-3}, \ \   g(x)=4x+1\)

 Odpowiedź

\( (f \circ g)(x)=f(g(x))=f(4x+1)=\sqrt{2(4x+1)-3}=\sqrt{8x-1},\) dla \(x \in \left \langle \displaystyle\frac{1}{8};\infty  \right ),\)
\( (g \circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{2x-3})=4\sqrt{2x-3}+1,\) dla \(x \in \left \langle \displaystyle\frac{3}{2};\infty  \right ),\)
\( (f \circ f)(x)=f(f(x))=f(\sqrt{2x-3})=\sqrt{2\sqrt{2x-3}-3},\) dla \(x \in \left \langle 2\displaystyle\frac{5}{8}; \infty  \right ),\)
\( (g \circ g)(x)=g(g(x))=g(4x+1)=4(4x+1)+1=16x+5,\) dla \(x \in \mathbb{R}.\)

 Rozwiązanie

\(D_{f}=\left \langle \displaystyle\frac{3}{2};\infty  \right ),\ \  ZW_{f}=\left \langle 0;\infty  \right )\\
D_{g}=\mathbb{R},\ \  ZW_{g}=\mathbb{R}.\)

\(D_{f \circ g}=\left \{ x\in D_{g}: g(x)=4x+1 \in D_{f} \right \}=\left \{ x\in \mathbb{R}: 4x+1 \geq \displaystyle\frac{3}{2} \right \}=\left \langle \displaystyle\frac{1}{8};\infty  \right ).\)
Zatem
\((f \circ g)(x)=f(g(x))=f(4x+1)=\sqrt{2(4x+1)-3}=\sqrt{8x-1},\) dla \(x \in \left \langle \displaystyle\frac{1}{8};\infty  \right ).\)

\(ZW_{f}\subset D_{g}\)
Zatem \(D_{g \circ f}=D_{f}=\left \langle \displaystyle\frac{3}{2};\infty  \right ).\)
\((g \circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{2x-3})=4\sqrt{2x-3}+1,\) dla \(x \in \left \langle \displaystyle\frac{3}{2};\infty  \right ).\)

\(D_{f \circ f}=\left \{ x\in D_{f}:f(x)=\sqrt{2x-3}\in D_{f} \right \}= \left \{ x\in  \left \langle \displaystyle\frac{3}{2};\infty  \right ) :\sqrt{2x-3}\geq \displaystyle\frac{3}{2} \right \}= \left \langle 2\displaystyle\frac{5}{8}; \infty  \right ).\)
Zatem
\((f \circ f)(x)=f(f(x))=f(\sqrt{2x-3})=\sqrt{2\sqrt{2x-3}-3},\) dla \(x \in \left \langle 2\displaystyle\frac{5}{8}; \infty  \right ).\)

\(D_{g \circ g}=\left \{ x\in D_{g}:g(x)=4x+1 \in D_{g} \right \}= \mathbb{R}.\)
Zatem
\((g \circ g)(x)=g(g(x))=g(4x+1)=4(4x+1)+1=16x+5,\) dla \(x \in \mathbb{R}.\)