Zadanie 3.1.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.1 Własności funkcji
  4. Zadanie 3.1.3

 Polecenie

Określ dziedzinę funkcji.

 Wskazówki

Wyznaczanie dziedziny funkcji

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji (wyrażenia) należy zwrócić uwagę na odpowiednie zasady i założenia wyszczególnione m.in. w prawach działań i definicjach funkcji.
Dzielenie przez zero
1. Nie dzielimy przez \(0,\) zatem gdy mamy wyrażenie w postaci ułamka, wyrażenie z mianownika musi być różne od zera \[\frac{f(x)}{g(x)}:\quad g(x)\neq 0 \]
Pierwiastkowanie
2. Dla pierwiastków parzystego stopnia (w szczególności pierwiastki kwadratowe) liczba podpierwiastkowa musi być nieujemna
\[\sqrt[n]{f(x)},\  \textrm{n - parzyste:}\] \[\ f(x)\geq 0\]
Pierwiastkowanie w mianowniku
3. Gdy pierwiastek parzystego stopnia znajduje się w mianowniku ułamka, wówczas wyrażenie pod tym pierwiastkiem musi być dodatnie
\[\frac{f(x)}{\sqrt[n]{g(x)}},\  \textrm{n - parzyste:}\] \[g(x)\gt 0\]
Logarytmowanie
4. Z definicji logarytmu wynika, że dla
\[\textrm{log}_{a}b:\] \[a>0\  \wedge \ a\neq 1 \ \wedge\  b> 0\]

 Ćwiczenia

\(1. \quad f(x)=\displaystyle\frac{2x}{x^{2}-9}\)

 Rozwiązanie

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji (wyrażenia) musimy wyznaczyć zbiór wszystkich liczb, dla których ta funkcja (wyrażenie) jest określona, czyli ma sens.
Korzystając z pierwszej zasady wyznaczania dziedziny funkcji (patrz wskazówki) wiemy, że wyrażenie w mianowniku ułamka musi być różne od zera.
\[\begin{array}{l}
x^{2}-9\neq 0 \\
(x-3)(x+3)\neq 0\\
x-3\neq 0 \wedge x+3\neq 0\\
x\neq 3 \wedge x\neq -3
\end{array}\]
Zatem
\[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -3,3 \right \}\]

 Odpowiedź

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_{f}=\mathbb{R}\setminus \left \{ -3,3 \right \}\)
\(2. \quad f(x)=\sqrt{1-x^{2}}\)

 Rozwiązanie

Ponieważ pierwiastek jest drugiego, czyli parzystego stopnia, więc musimy założyć, że wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem jest nieujemne.
\[1-x^{2}\geq 0\\
(1-x)(1+x)\geq 0\\
x=1 \vee x=-1\]
Rysunek 3.1.3.2
Zatem \[x\in \left \langle -1,1 \right \rangle\]

 Odpowiedź

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(
D=\left \langle -1,1 \right \rangle.\)
\(3. \quad f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x-5}}{\sqrt{x}}\)

 Rozwiązanie

Ponieważ funkcja \(f\) posiada pierwiastki stopnia parzystego zarówno w liczniku jak i mianowniku, zatem korzystamy z zasady \(1\) i \(2\) wyznaczania dziedziny funkcji (patrz wskazówki).
\[x-5\geq 0 \wedge x> 0\\
x\geq 5 \wedge x> 0\]
Rysunek 3.1.3.3
Zatem \(x\geq 5,\) czyli \[x\in \left \langle 5;\infty  \right ).\]

 Odpowiedź

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D= \left \langle 5;\infty  \right ).\)
\(4. \quad f(x)=\displaystyle\frac{\textrm{log}_{3}(x+1)}{x^{2}+3x+4}\)

 Rozwiązanie

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{\textrm{log}_{3}(x+1)}{x^{2}+3x+4}\) skorzystamy z zasady \(1\) i \(2\) wyznaczania dziedziny funkcji (patrz wskazówki).
Uwaga
Wybierz właściwą odpowiedź aby przejść do następnego kroku.

 Krok 1

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f\) należy przyjąć następujące założenia

\[x^{2}+3x+4 \neq  0 \ \wedge \  \textrm{log}_{3}(x+1)> 0\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[x^{2}+3x+4 \neq  0\  \wedge  \ \textrm{log}_{3}(x+1)\neq  0\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[x^{2}+3x+4 \neq  0 \ \wedge \ x+1 > 0\]

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 2

Założenie \(x^{2}+3x+4 \neq 0\) jest spełnione dla każdej liczby należącej do zbioru:

\[\varnothing\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[ \mathbb{R}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[\mathbb{R}\setminus \left \{ -4,1 \right \}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 3

Założenie \(x+1> 0\) jest spełnione przez każdą liczbę należącą do zbioru:

\[\left ( -1;\infty  \right )\]

Odpowiedź prawidłowa

\[\left ( -\infty; -1  \right )\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\left \langle  -1;\infty  \right )\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 4

Częścią wspólną obu założeń jest zbiór:

\[\mathbb{R}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\left ( -1; \infty  \right )\]

Odpowiedź prawidłowa

\[\left ( -\infty; -1  \right )\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Odpowiedź

Dziedziną funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{\textrm{log}_{3}(x+1)}{x^{2}+3x+4}\) jest zbiór \(D=\left ( -1; \infty  \right ).\)

 Polecenie

Określ dziedzinę funkcji.

 Ćwiczenia

\(1. \quad f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt[3]{2x+5}}{\sqrt{x^{2}-2x+1}}\)

 Odpowiedź

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_{f}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}.\)

 Rozwiązanie

Zakładamy, że
\[x^{2}-2x+1> 0\]
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na  \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)  możemy zapisać daną nierówność w postaci:
\[(x-1)^{2}> 0\]
Dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie \( (x-1)^{2}\) jest nieujemne, jednak dla \(x=1\) będzie przyjmowało wartość \(0.\)
Zatem nierówność \((x-1)^{2}> 0\) jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej różnej od \(1.\)
\[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}.\]
\(2. \quad f(x)=\displaystyle\frac{\textrm{ log}_{2}(x^{2}-1)}{2x-3}\)

 Odpowiedź

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_{f}=\left ( -\infty ;-1 \right )\cup \left ( 1;\displaystyle\frac{3}{2} \right )\cup \left ( \displaystyle\frac{3}{2};\infty  \right ).\)

 Rozwiązanie

Zakładamy, że
\[ \begin{array}{l}
x^{2}-1 > 0 \quad \wedge \quad 2x-3\neq 0\\
(x-1)(x+1)>0 \quad \wedge \quad 2x\neq 3\\
(x-1)(x+1)>0 \quad \wedge \quad x\neq \displaystyle\frac{3}{2}\\
\end{array}\]Rozwiązujemy nierówność kwadratową rysując wykres i odczytując zbiór argumentów, dla których funkcja kwadratowa przyjmuje wartości dodatnie.
Miejscami zerowymi danej funkcji kwadratowej są \(x=1 \vee x=-1.\)
Rysunek 3.1.3.spr.1
Rozwiązaniem nierówności kwadratowej jest zbiór \(\left ( -\infty ;-1 \right )\cup \left ( 1;\infty  \right ).\)
Bierzemy część wspólną z założeniem \(x\neq \displaystyle\frac{3}{2}.\)
Rysunek 3.1.3.spr.2
Biorąc część wspólną z założeniem \(x\neq \displaystyle\frac{3}{2}\) dostajemy sumę zbiorów \[\left ( -\infty ;-1 \right )\cup \left ( 1;\frac{3}{2} \right )\cup \left ( \frac{3}{2};\infty  \right ).\]
\(3. \quad f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-2x}}\)

 Odpowiedź

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_{f}=\left \langle  0; \displaystyle\frac{1}{2}\right ).\)

 Rozwiązanie

Zakładamy, że
\[\begin{array}{l}
x\geq 0 \quad \wedge \quad 1-2x>0\\
x\geq 0 \quad \wedge \quad -2x>-1\\
x\geq 0 \quad \wedge \quad x<\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array}\]
Rysunek 3.1.3.spr.3
Częścią wspólną obu założeń jest zbiór \[\left \langle  0; \displaystyle\frac{1}{2}\right ).\]
\(4. \quad f(x)=\sqrt{\displaystyle\frac{x-2}{x+5}}+|x|\)

 Odpowiedź

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \( D_{f}=\left ( -\infty ; -5 \right )\cup \left \langle -2;\infty  \right ).\)

 Rozwiązanie

Zakładamy, że
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{x-2}{x+5}\geq 0 \quad \wedge \quad x+5\neq 0 \\
(x-2)(x+5)\geq 0 \quad \wedge \quad x\neq -5 \\
x=2 \vee x=-5
\end{array}\]
Rysunek 3.1.3.spr.4
Z wykresu wynika, że \[x\in \left ( -\infty ; -5 \right \rangle \cup \left \langle -2;\infty  \right )\] oraz \[x\neq -5.\]
Częścią wspólną obu założeń jest zbiór \[\left ( -\infty ; -5 \right )\cup \left \langle -2;\infty  \right ).\]

W każdym zadaniu wybierz jedną prawidłową spośród czterech odpowiedzi. Możesz w sprawdzić poprawność swojej odpowiedzi klikając przycisk sprawdź lub na końcu klikając "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Dziedziną wyrażenia \(\displaystyle\frac{1}{x^{2}}\) jest zbiór

Zadanie 2

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{4 \textrm{ log}_{x-1}(2x^{2}+4)}{\sqrt{x^{2}-6}}\) należy wyznaczyć zbiór liczb rzeczywistych spełniających założenia:

Zadanie 3

Dziedziną funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{4 \textrm{ log}_{x-1}(2x^{2}+4)}{\sqrt{x^{2}-6}}\) jest suma zbiorów:

Zadanie 4

Dziedziną funkcji \(g(x)=\sqrt[3]{2\sqrt{3}x^{2}-\sqrt{6}}\) jest zbiór:

Podsumowanie