Zadanie 3.2.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.2 Funkcja liniowa i kwadratowa
  4. Zadanie 3.2.3

 Polecenie

Dla podanej funkcji kwadratowej określ:
  1. dziedzinę i zbiór wartości funkcji,
  2. miejsca zerowe i postać iloczynową funkcji,
  3. współrzędne wierzchołka i postać kanoniczną funkcji,
  4. monotoniczność funkcji,
  5. dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie,a dla jakich ujemne,
  6. wartość funkcji dla argumentu \(\sqrt{3},\)
  7. argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość \(1,\)
  8. oś symetrii wykresu funkcji.
Naszkicuj wykres funkcji.

 Wskazówki

Definicja funkcji kwadratowej

Jeżeli \(a\neq 0\), to funkcję \(f\) określoną wzorem \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) nazywamy funkcją kwadratową, gdzie \(a,b,c\) - współczynniki liczbowe funkcji kwadratowej takie, że \(a, b, c \in\mathbb{R}.\)
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

Własności funkcji kwadratowej

Własności funkcji kwadratowej zmieniają się w zależności od \(a\) i \(\Delta.\) Poniżej prezentujemy wszystkie możliwe przypadki - jest ich sześć.
Rysunek 3.2.3_1
Własności dla \(a>0\) i \(\Delta>0\)
1. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych \(D=\mathbb{R}.\)
Zbiór wartości to zbiór \(ZW=(q;\infty)\), gdzie \(q\) jest drugą współrzędną punktu, będącego wierzchołkiem wykresu funkcji \(f.\)

2. Ilość miejsc zerowych zależy od wyróżnika kwadratowego \(\Delta =b^{2}-4ac.\)
\(\Delta>0 \Leftrightarrow\) \(2\) miejsca zerowe \(x_{1}=\displaystyle\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}, x_{2}=\displaystyle\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}.\)
Wówczas funkcja \(f\) ma postać iloczynową \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\ .\)

3. Wierzchołek paraboli: \(W(p,q)=(-\displaystyle\frac{b}{2a}, \displaystyle\frac{-\Delta }{4a}).\)
Funkcja kwadratowa ma postać kanoniczną \(f(x)=a(x-p)^{2}+q.\)

4. Monotoniczność funkcji \(f(x)=ax^{2}+bx+c.\)
Dla \(a\gt 0\)
\(f \nearrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (p;\infty )\\
f \searrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ;p).\)

5. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie/ujemne w przedziałach:
\(f(x)>0 \Leftrightarrow x\in (-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};\infty )\\
f(x)\lt 0 \Leftrightarrow x\in (x_{1};x_{2}).\)

6. Oś symetrii paraboli: \(x=p.\)
Rysunek 3.2.3_2
Własności dla \(a>0\) i \(\Delta=0\)
1. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych \(D=\mathbb{R}.\)
Zbiór wartości to zbiór \(ZW=(q;\infty)\), gdzie \(q\) jest drugą współrzędną punktu, będącego wierzchołkiem wykresu funkcji \(f.\)

2. Ilość miejsc zerowych zależy od wyróżnika kwadratowego \(\Delta =b^{2}-4ac.\)
\(\Delta=0 \Leftrightarrow 1\) miejsce zerowe \(x_{0}=-\displaystyle\frac{b}{2a}.\)
Wówczas funkcja \(f\) ma postać iloczynową \(f(x)=a(x-x_{0})^{2}.\)

3. Wierzchołek paraboli: \(W(p,q)=(-\displaystyle\frac{b}{2a}, \displaystyle\frac{-\Delta }{4a}).\)
Funkcja kwadratowa ma postać kanoniczną \(f(x)=a(x-p)^{2}+q.\)

4. Monotoniczność funkcji \(f(x)=ax^{2}+bx+c.\)
Dla \(a\gt 0\)
\(f \nearrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (p;\infty )\\
f \searrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ;p).\)

5. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie
\(\underset{x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ x_{0} \right \}}{\huge \forall } f(x) \gt 0.\)
Funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych.

6. Oś symetrii paraboli: \(x=p.\)
Rysunek 3.2.3_3
Własności dla \(a>0\) i \(\Delta<0\)
1. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych \(D=\mathbb{R}.\)
Zbiór wartości to zbiór \(ZW=(q;\infty)\), gdzie \(q\) jest drugą współrzędną punktu, będącego wierzchołkiem wykresu funkcji \(f.\)

2. Ilość miejsc zerowych zależy od wyróżnika kwadratowego \(\Delta =b^{2}-4ac.\)
\(\Delta\lt 0\Leftrightarrow\) brak miejsc zerowych.
Wówczas funkcja \(f\) nie ma również postaci iloczynowej.

3. Wierzchołek paraboli: \(W(p,q)=(-\displaystyle\frac{b}{2a}, \displaystyle\frac{-\Delta }{4a}).\)
Funkcja kwadratowa ma postać kanoniczną \(f(x)=a(x-p)^{2}+q.\)

4. Monotoniczność funkcji \(f(x)=ax^{2}+bx+c.\)
Dla \(a\gt 0\)
\(f \nearrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (p;\infty )\\
f \searrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ;p).\)

5. Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie \(\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge \forall } f(x)>0 .\)

6. Oś symetrii paraboli \(x=p.\)
Rysunek 3.2.3_4
Własności dla \(a<0\) i \(\Delta>0\)
1. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych \(D=\mathbb{R}.\)
Zbiór wartości to zbiór \(ZW=(-\infty);q\), gdzie \(q\) jest drugą współrzędną punktu, będącego wierzchołkiem wykresu funkcji \(f.\)

2. Ilość miejsc zerowych zależy od wyróżnika kwadratowego \(\Delta =b^{2}-4ac.\)
\(\Delta>0 \Leftrightarrow\) \(2\) miejsca zerowe \(x_{1}=\displaystyle\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}, x_{2}=\displaystyle\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}.\)
Wówczas funkcja \(f\) ma postać iloczynową \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\ .\)

3. Wierzchołek paraboli: \(W(p,q)=(-\displaystyle\frac{b}{2a}, \displaystyle\frac{-\Delta }{4a}).\)
Funkcja kwadratowa ma postać kanoniczną \(f(x)=a(x-p)^{2}+q.\)

4. Monotoniczność funkcji \(f(x)=ax^{2}+bx+c.\)
Dla \(a\lt 0\)
\(f \nearrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ;p)\\
f \searrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (p;\infty ).\)

5. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie/ujemne w przedziałach:
\(f(x)>0 \Leftrightarrow x\in (x_{1};x_{2})\\
f(x) \lt 0 \Leftrightarrow x\in (-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};\infty ).\)

6. Oś symetrii paraboli: \(x=p.\)
Rysunek 3.2.3_5
Własności dla \(a<0\) i \(\Delta=0\)
1. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych \(D=\mathbb{R}.\)
Zbiór wartości to zbiór \(ZW=(-\infty;q)\), gdzie \(q\) jest drugą współrzędną punktu, będącego wierzchołkiem wykresu funkcji \(f.\)

2. Ilość miejsc zerowych zależy od wyróżnika kwadratowego \(\Delta =b^{2}-4ac.\)
\(\Delta=0 \Leftrightarrow\) \(1\) miejsce zerowe \(x_{0}=\displaystyle\frac{-b}{2a}.\)
Wówczas funkcja \(f\) ma postać iloczynową \(f(x)=a(x-x_{0})^{2}.\)

3. Wierzchołek paraboli: \(W(p,q)=(-\displaystyle\frac{b}{2a}, \displaystyle\frac{-\Delta }{4a}).\)
Funkcja kwadratowa ma postać kanoniczną \(f(x)=a(x-p)^{2}+q.\)

4. Monotoniczność funkcji \(f(x)=ax^{2}+bx+c.\)
Dla \(a\lt 0\)
\(f \nearrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ;p)\\
f \searrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (p;\infty ).\)

5. Funkcja przyjmuje wartości ujemne
\(\underset{x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ x_{0} \right \}}{\huge \forall } f(x) \lt 0.\)
Funkcja nie przyjmuje wartości dodatnich.

6. Oś symetrii paraboli: \(x=p.\)
Rysunek 3.2.3_6
Własności dla \(a<0\) i \(\Delta<0\)
1. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych \(D=\mathbb{R}.\)
Zbiór wartości to zbiór \(ZW=(-\infty);q\), gdzie \(q\) jest drugą współrzędną punktu, będącego wierzchołkiem wykresu funkcji \(f.\)

2. Ilość miejsc zerowych zależy od wyróżnika kwadratowego \(\Delta =b^{2}-4ac.\)
\(\Delta \lt 0 \Leftrightarrow\) brak miejsc zerowych.
Wówczas funkcja \(f\) nie ma również postaci iloczynowej.

3. Wierzchołek paraboli: \(W(p,q)=(-\displaystyle\frac{b}{2a}, \displaystyle\frac{-\Delta }{4a}).\)
Funkcja kwadratowa ma postać kanoniczną \(f(x)=a(x-p)^{2}+q.\)

4. Monotoniczność funkcji \(f(x)=ax^{2}+bx+c.\)
Dla \(a\lt 0\)
\(f \nearrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ;p)\\
f \searrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (p;\infty ).\)

5. Funkcja przyjmuje tylko wartości ujemne
\(\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge \forall}  f(x) \lt 0.\)

6. Oś symetrii paraboli: \(x=p.\)

 Funkcja 1

\(f(x)=x^{2}-4x+3\)

 Rozwiązanie

Aby opisać własności funkcji \(f\) potrzebne nam będą pewne obliczenia.
Na początku wyznaczmy \(\Delta\) oraz współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f.\)
\[\Delta =(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4\\\sqrt{\Delta }=2\\x_{1}=\displaystyle\frac{4-2}{2}=1, x_{2}=\displaystyle\frac{4+2}{2}=3.\]
\[W(p,q)=(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta }{4a})=(-\frac{-4}{2}, -\frac{4}{4})=(2,-1).\]
Możemy zatem wypisać własności funkcji \(f.\)

1. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych \(D=\mathbb{R}.\) Zbiór wartości to zbiór \(ZW=(-1;\infty).\)

2. Funkcja ma dwa miejsca zerowe \(x_{1}=1, x_{2}=3.\) Postać iloczynowa funkcji \(f(x)=(x-1)(x-3).\)

3. Wierzchołek paraboli: \(W(p,q)=(2,-1).\) Funkcja kwadratowa ma postać kanoniczną \(f(x)=(x-2)^{2}-1.\)

4. Monotoniczność funkcji \(f.\) Ponieważ \(a\gt 0\)
\[f \nearrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (2;\infty )\\
f \searrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ;2).\]

5. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie/ujemne w przedziałach:
\[f(x)\gt 0 \Leftrightarrow x\in (-\infty ;1)\cup (3;\infty )\\
f(x)\lt 0 \Leftrightarrow x\in (1;3).\]

6. Aby wyznaczyć wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(\sqrt{3}\) wystarczy podstawić do wzoru funkcji \(f\) za \(x=\sqrt{3}.\)
\(f(\sqrt{3})=\sqrt{3}^{2}-4\sqrt{3}+3=3-4\sqrt{3}+3=6-4\sqrt{3}.\)

7. Wyznaczając argument, dla którego wartość funkcji wynosi \(1\) należy rozwiązać równanie \(f(x)=1.\)
\[ \begin{array}{l}
f(x)=1 \Leftrightarrow  & x^{2}-4x+3=1 \\
&x^{2}-4x+3-1=0\\
&x^{2}-4x+2=0\\
&\Delta =16-4\cdot 1\cdot 2=8\\ 
&\sqrt{\Delta }=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\
&x_{1}=\displaystyle\frac{4-2\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2},\quad x_{2}=\displaystyle\frac{4+2\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}.
\end{array}\]
Zatem \(f(x)=1 \quad\Leftrightarrow \quad x=2-\sqrt{2}\quad \vee\quad x=2+\sqrt{2}.\)

8. Oś symetrii paraboli: \(x=2.\) 

Aby narysować wykres funkcji \(f(x)=x^{2}-4x+3\) wystarczy skorzystać z postaci kanonicznej.
Szkicujemy wykres funkcji \(y=x^{2}\) i przesuwamy o wektor \(\overrightarrow{w}=[2,-1].\)



Rysunek 3.2.3.1

 Funkcja 2

\(f(x)=2x^{2}+\sqrt{3}\)

 Rozwiązanie

Wyznaczamy najpierw \(\Delta\) oraz współrzędne wierzchołka paraboli.

\[\Delta =0-4\cdot 2\cdot \sqrt{3}=-8\sqrt{3}\lt 0.\]
\[W(p,q)=(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta }{4a})=(-\frac{0}{4}, -\frac{-8\sqrt{3}}{4\cdot 2})=(0,\sqrt{3}).\]

1. \(D=\mathbb{R}, ZW=(\sqrt{3};\infty).\)

2. \(\Delta\lt 0\) zatem brak miejsc zerowych oraz postaci iloczynowej.

3. Wierzchołek paraboli: \(W(p,q)=(0, \sqrt{3}).\) Funkcja kwadratowa ma postać kanoniczną \(f(x)=2(x-0)^{2}+\sqrt{3}=2x^{2}+\sqrt{3}.\)

4. Monotoniczność funkcji \(f.\) Ponieważ \(a\gt 0\)
\[f \nearrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (0;\infty )\\
f \searrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ;0).\]

5. Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie \(\underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall }f(x)\gt 0.\)

6. \(f(\sqrt{3})=2\sqrt{3}^{2}+\sqrt{3}=2\cdot3 +\sqrt{3}=6+\sqrt{3}.\)

7. \(f(x)=1 \Leftrightarrow 2x^{2}+\sqrt{3}=1\\ \quad\quad\quad\quad\quad 2x^{2}+\sqrt{3}-1=0\\\quad\quad\quad\quad\quad
\Delta =-4\cdot 2\cdot (\sqrt{3}-1) \lt 0 .\)
Nie istnieją zatem takie argumenty, dla których wartość funkcji wynosi \(1.\)

8. Oś symetrii paraboli: \(x=0.\) 

Aby narysować wykres funkcji \(f(x)=2x^{2}+\sqrt{3}\) wystarczy skorzystać z postaci kanonicznej.
Szkicujemy wykres funkcji \(y=2x^{2}\) i przesuwamy o wektor \(\overrightarrow{w}=[0, \sqrt{3}].\)
Rysunek 3.2.3.2

 Funkcja 3

\(f(x)=2x^{2}+x-1\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Aby wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(f(x)=2x^{2}+x-1\) musimy wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f.\) Po tych obliczeniach możemy stwierdzić, że:

\(D=\mathbb{R}\\ ZW=\left ( -\displaystyle\frac{9}{8};\infty  \right )\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(D=\mathbb{R}\\ZW=\left \langle -\displaystyle\frac{9}{8};\infty  \right )\)

Odpowiedź prawidłowa

\(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \} \\ ZW=\left ( -\displaystyle\frac{9}{8};\infty  \right ) \)

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 2

Wyznaczając miejsca zerowe i postać iloczynową funkcji \(f(x)=2x^{2}+x-1\) zaczynamy od wyznaczenia \(\Delta.\) Wybierz właściwą \(\Delta,\) pierwiastki i postać iloczynową.

\(\Delta =9,\quad x_{1}=-1,\quad x_{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\\
f(x)=2(x+1)(x-\displaystyle\frac{1}{2})\)

Odpowiedź prawidłowa

\(\Delta =9,\quad x_{1}=1,\quad x_{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\\
f(x)=2(x-1)(x-\displaystyle\frac{1}{2})\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(\Delta =9,\quad x_{1}=1,\quad x_{2}=-\displaystyle\frac{1}{2}\\
f(x)=2(x-1)(x+\displaystyle\frac{1}{2})\)

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 3

Wybierz właściwe współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f(x)=2x^{2}+x-1\) oraz jej postać kanoniczną.

\(W(p,q)=W(\displaystyle\frac{1}{4}, \displaystyle\frac{9}{8})\\
f(x)=2(x-\displaystyle\frac{1}{4})^{2}+\displaystyle\frac{9}{8}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(W(p,q)=W(\displaystyle\frac{1}{4}, -\displaystyle\frac{9}{8})\\
f(x)=2(x-\displaystyle\frac{1}{4})^{2}-\displaystyle\frac{9}{8}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(W(p,q)=W(-\displaystyle\frac{1}{4}, -\displaystyle\frac{9}{8})\\
f(x)=2(x+\displaystyle\frac{1}{4})^{2}-\displaystyle\frac{9}{8}\)

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 4

Analizując monotoniczność funkcji \(f(x)=2x^{2}+x-1\) bierzemy pod uwagę wartość współczynnika \(a\), a dokładniej jego znak oraz pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, czyli \(p\). Wybierz właściwą odpowiedź.

\(f \nearrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (\displaystyle\frac{1}{4};\infty )\\
f \searrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ;\displaystyle\frac{1}{4})\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(f \nearrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\displaystyle\frac{9}{8};\infty )\\
f \searrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ;-\displaystyle\frac{9}{8})\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(f \nearrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\displaystyle\frac{1}{4};\infty )\\
f \searrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ;-\displaystyle\frac{1}{4})\)

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 5

Szukając zbiorów argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie/ujemne, bierzemy pod uwagę miejsca zerowe oraz znak współczynnika \(a.\) Wybierz właściwą odpowiedź.

\(f(x) \gt 0 \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty; -1)\cup \left ( \displaystyle\frac{1}{2};\infty  \right )\\
f(x) \lt 0 \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-1 ;\displaystyle\frac{1}{2})\)

Odpowiedź prawidłowa

\(f(x) \gt 0 \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty; \displaystyle\frac{1}{2})\cup \left (1;\infty  \right )\\
f(x) \lt 0 \quad\Leftrightarrow \quad x \in (\displaystyle\frac{1}{2};1)\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(f(x) \gt 0 \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty; -1)\cup \left ( -\displaystyle\frac{1}{2};\infty  \right )\\
f(x) \lt 0 \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-1 ;-\displaystyle\frac{1}{2})\)

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 6

Wyznacz wartość funkcji \(f(x)=2x^{2}+x-1\) dla argumentu \(\sqrt{3},\) podstawiając go do wzoru. Wybierz prawidłową odpowiedź.

\(f(\sqrt{3})=3\sqrt{3}-1\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(f(\sqrt{3})=5-\sqrt{3}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(f(\sqrt{3})=5+\sqrt{3}\)

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 7

 Aby wyznaczyć zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartość \(1\) wystarczy rozwiązać równanie \(f(x) = 1.\)  Dla jakich argumentów spełnione jest takie równanie?

Brak miejsc zerowych, brak argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartość \(1.\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(x_{1}=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{17}}{4},\quad x_{2}=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\)

Odpowiedź prawidłowa

\(x_{1}=1,\quad x_{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 8

Osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\) jest prosta \(x=p,\) gdzie \(p\) jest pierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli.
Zatem prosta ta ma postać:

\(x=-\displaystyle\frac{9}{8}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(x=\displaystyle\frac{1}{4}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(x=-\displaystyle\frac{1}{4}\)

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 9

Z pomocą wcześniej wyznaczonych własności funkcji \(f(x)=2x^{2}+x-1\) wybierz właściwy wykres.

Rysunek 3.2.3.3_1

Odpowiedź prawidłowa

Rysunek 3.2.3.3_2

Odpowiedź nieprawidłowa

Rysunek 3.2.3.3_3

Odpowiedź nieprawidłowa
Wszystkie kroki z zadania 3.2.3.3 zostały wykonane prawidłowo.

 Polecenie

Dla podanej funkcji kwadratowej określ:
  1. dziedzinę i zbiór wartości funkcji,
  2. miejsca zerowe i postać iloczynową funkcji,
  3. współrzędne wierzchołka i postać kanoniczną funkcji,
  4. monotoniczność funkcji,
  5. dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie,a dla jakich ujemne,
  6. wartość funkcji dla argumentu \(\sqrt{3},\)
  7. argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość \(1,\)
  8. oś symetrii wykresu funkcji.
Naszkicuj wykres funkcji.

 Funkcja 1

\(f(x)=x^{2}+2x+3\)

 Odpowiedź

1. \(D=\mathbb{R},\quad ZW=\left \langle 2;\infty  \right ).\)

2. \(\Delta =-8 \lt 0\) zatem brak miejsc zerowych oraz postaci iloczynowej.

3. \(W(p,q)=(-1, 2),\) postać kanoniczna funkcji \(f(x)=(x+1)^{2}+2.\)

4. \(f \nearrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-1; \infty)\\
f \searrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty;-1 ).\)

5. \(\underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall } f(x) \gt 0.\)

6. \(f(\sqrt{3})=3+2\sqrt{3}+3=6+2\sqrt{3}.\)

7. \(f(x)=1 \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}+2x+3=1 \quad \Leftrightarrow \quad x^{2}+2x+2=0 \quad \Leftrightarrow \quad \Delta=-4 \lt 0 \quad \Leftrightarrow \quad\) brak rozwiązań równania.
Zatem nie istnieją takie argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość \(1.\)

8. \(x=-1\) - oś symetrii.

9. Wykres funkcji \(f(x)=x^{2}+2x+3.\)
Rysunek 3.2.3.spr.1

 Funkcja 2

\(f(x)=-x^{2}+4\)

 Odpowiedź

1. \(D=\mathbb{R}, \quad ZW=\left (-\infty ;4 \right \rangle.\)

2. \(\Delta =16,\quad x_{1}=2,\quad x_{2}=-2.\) Postać iloczynowa: \( f(x)=-(x-2)(x+2).\)

3. \(W(p,q)=(0, 4).\) Postać kanoniczna: \( f(x)=-x^{2}+4.\)

4. \(f \nearrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ;0)\\
f \searrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (0;\infty ).\)

5. \(f(x)>0 \Leftrightarrow x\in (-2;2)\\
f(x) \lt 0 \Leftrightarrow x\in (-\infty ;-2)\cup (2;\infty ).\)

6. \(f(\sqrt{3})=-3+4=1.\)

7. \(f(x)=1 \quad \Leftrightarrow \quad -x^{2}+4=1 \quad \Leftrightarrow \quad -x^{2}+3=0 \quad \Leftrightarrow  \quad -(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\sqrt{3} \vee x=-\sqrt{3}.\)

8. \(x=0.\)

9. Wykres funkcji \(f(x)=-x^{2}+4.\)
Rysunek 3.2.3.spr.2

 Funkcja 3

\(f(x)=-x^{2}+3x+4\)

 Odpowiedź

1. \(D=\mathbb{R},\quad ZW=\left (  -\infty ;\displaystyle\frac{25}{4} \right \rangle.\)

2. \(\Delta =25, x_{1}=4, x_{2}=-1 \\ f(x)=-(x+1)(x-4).\)

3. \(W(p,q)=(\displaystyle\frac{3}{2}, \displaystyle\frac{25}{4}) \\ f(x)=-(x-\displaystyle\frac{3}{2})^{2}+\displaystyle\frac{25}{4}.\)

4. \(f \nearrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ;\displaystyle\frac{3}{2})\\
f \searrow \quad\Leftrightarrow \quad x \in (\displaystyle\frac{3}{2};\infty ).\)

5. \(f \gt 0 \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-1 ;4)\\
f \lt 0 \quad\Leftrightarrow \quad x \in (-\infty ; -1)\cup (4;\infty ).\)

6. \(f(\sqrt{3})=3\sqrt{3}+1.\)

7. \(f(x)=1 \quad \Leftrightarrow  \quad -x^{2}+3x+4=1 \quad \Leftrightarrow \quad -x^{2}+3x+3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\displaystyle\frac{3+\sqrt{21}}{2} \vee x=\displaystyle\frac{3-\sqrt{21}}{2}.\)

8. \(x=\displaystyle\frac{3}{2}.\)


9. Wykres funkcji \(f(x)=-x^{2}+3x+4.\)
Rysunek 3.2.3.spr.3