Zadanie 3.2.2
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.2 Funkcja liniowa i kwadratowa
  4. Zadanie 3.2.2
1. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do prostej \(2x-y=4\) i przechodzi przez punkt \((0,3).\)

 Rozwiązanie

Szukamy prostej \(k\) przechodzącej przez punkt \(A(0,3)\) oraz równoległej do prostej \(l.\) Warunki zadania przedstawiamy na rysunku.
Rysunek 3.2.2.1
Prosta \(k\) ma równanie \(k: y=a_{k}x+b_{k}.\)
Korzystając z warunku równoległości prostych, mamy:\(a_{k}=a_{l}=2.\) Zatem prosta \(k: y=2x+b_{k}.\)
Musimy wyznaczyć wyraz wolny prostej \(k.\)
Korzystamy ze współrzędnych punktu \(A=(0,3)\) należącego do prostej \(k.\) Możemy odczytać od razu wyraz wolny \(b_{k}=3\), gdyż jest to punkt przecięcia z osią \(OY.\) W innych przypadkach podstawiamy współrzędne punktu do wzoru funkcji liniowej.
Mamy: \(k: y=2x+3.\)

 Odpowiedź

Równanie prostej \(k: y=2x+3.\)
2. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do prostej \(x-y+1=0\) i przechodzi przez punkt \((\displaystyle\frac{1}{2}, 0).\)

 Rozwiązanie

Szukamy równania funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do prostej \(x-y+1=0,\) czyli po sprowadzeniu do postaci kierunkowej, do prostej \(k:y=-x+1.\) Prosta taka ma postać \(l: y=a_{l}x+b_{l}.\)
Rysunek 3.2.2.2
Z warunku prostopadłości prostych wiemy, że \(a_{l}=-\displaystyle\frac{1}{a_{k}},\) zatem \(a_{l}=-\displaystyle\frac{1}{-1}=1.\) Nasza prosta \(l\) ma juz postać \(l:y=x+b_{l}.\)
Ponieważ prosta ta ma przechodzić przez punkt \(A(\displaystyle\frac{1}{2},0),\) zatem wystarczy podstawić współrzędne punktów do równania prostej.
\[0=\displaystyle\frac{1}{2}+b_{l}\\b_{l}=-\displaystyle\frac{1}{2}.\]
Stąd \(l:y=x-\displaystyle\frac{1}{2}.\)

 Odpowiedź

Równanie prostej \(l: \ y=x-\displaystyle\frac{1}{2}.\)
3. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty \( (3,2)\) oraz \((-1,4).\)

 Rozwiązanie

Szukamy wzoru funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dwa punkty \(A\) i \(B.\)
Rysunek 3.2.2.3

Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty wystarczy podstawić współrzędne obu punktów do równania prostej.
Równanie prostej ma postać \(l: y=ax+b.\) Podstawiamy współrzędne punktów \(A(-1,4)\) oraz \(B(3,2)\) i tworzymy układ równań liniowych.
\[\left\{\begin{matrix}
4=-a+b\\
2=3a+b
\end{matrix}\right.\]
Rozwiązujemy układ równań dowolną metodą, np. podstawiania.
\[\begin{array}{l}
\left\{\begin{matrix}
a=b-4\\
2=3(b-4)+b
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
a=b-4\\
2=3b-12+b
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
a=b-4\\
2=4b-12
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
a=b-4\\
-4b=-12-2
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
a=b-4\\
-4b=-14
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
a=b-4\\
b=\displaystyle\frac{14}{4}=\displaystyle \frac{7}{2}
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
a=\displaystyle \frac{7}{2}-4\\
b=\displaystyle \frac{7}{2}
\end{matrix}\right.\\ \\
\left\{\begin{matrix}
a=-\displaystyle \frac{1}{2}\\
b=\displaystyle \frac{7}{2}
\end{matrix}\right.
\end{array}\]
Zatem nasza prosta będzie miała równanie \(l: y=-\displaystyle \frac{1}{2}x+\displaystyle \frac{7}{2}.\)

 Odpowiedź

Równanie prostej \(l: y=-\displaystyle \frac{1}{2}x+\displaystyle \frac{7}{2}.\)

 Wskazówki

Warunek równoległości prostych

Dane są dwie proste \[l: y=a_{l}x+b_{l}\\
k: y=a_{k}x+b_{k}.\]
Prosta \(k\) jest równoległa do prostej \(l\) wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.
\[l\parallel k \Leftrightarrow a_{l}=a_{k}\]

Warunek prostopadlości prostych

Dane są dwie proste \[l: y=a_{l}x+b_{l}\\
k: y=a_{k}x+b_{k}.\]
Prosta \(k\) jest prostopadła do prostej \(l\) wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:
\[l\perp k \Leftrightarrow a_{l}=-\frac{1}{a_{k}}\]
1. Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do prostej \(3x-y+1=0\) oraz przechodzi przez punkt \(A=(-1,3).\)

 Odpowiedź

Funkcja liniowa, której wykres jest równoległy do prostej \(3x-y+1=0\) oraz przechodzi przez punkt \(A=(-1,3),\) wyraża się wzorem \(y=3x+6.\)

 Rozwiązanie

Prosta \(l: 3x-y+1=0\) zapisana w postaci kierunkowej ma postać \(l: y=3x+1.\) Współczynnik kierunkowy szukanej prostej, nazwijmy ją \(k\), jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej \(l.\) Zatem \(a_{k}=a_{l}=3.\)
Prosta \(k\) ma postać \(y=3x+b_{k}.\) Do wykresu należy punkt \(A,\) zatem \(3=3\cdot(-1)+b_{k}\\3=-3+b_{k}\\ b_{k}=6.\)
Stąd \(k: y=3x+6.\)
2. Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do prostej o równaniu \( x-2y+4=0\) i przechodzi przez punkt \(B=(-4,0).\)

 Odpowiedź

Funkcja liniowa, której wykres jest prostopadły do prostej o równaniu \( x-2y+4=0\) i przechodzi przez punkt \(B=(-4,0),\) wyraża się wzorem \(y=-2x-8.\)

 Rozwiązanie

Prosta \(l: x-2y+4=0\) zapisana w postaci kierunkowej ma postać \(l: y=\displaystyle\frac{1}{2}x+2.\) Współczynnik kierunkowy szukanej prostej, nazwijmy ją \(k\), jest równy \(a_{k}=- \displaystyle\frac{1}{a_{l}}=-2.\)
Prosta \(k\) ma zatem postać \(y=-2x+b_{k}.\) Do wykresu należy punkt \(B=(-4,0),\) zatem \(0=-2\cdot(-4)+b_{k}\\0=8+b_{k}\\ b_{k}=-8.\)
Stąd \(k: y=-2x-8.\)
3. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty \(C= (-\displaystyle\frac{1}{2},3)\) oraz \(D=(2,1\displaystyle\frac{1}{2}).\)

 Odpowiedź

Funkcja liniowa, której wykres przechodzi przez punkty \(C= (-\displaystyle\frac{1}{2},3)\) oraz \(D=(2,1\displaystyle\frac{1}{2}),\) wyraża się wzorem \(y=-\displaystyle \frac{3}{5}x+\displaystyle \frac{27}{10}.\)

 Rozwiązanie

Tworzymy układ równań podstawiając współrzędne punktów \(C=(-\displaystyle\frac{1}{2},3), D=(2, 1\displaystyle\frac{1}{2})\) do równania prostej \(y=ax+b.\)
\[\left\{\begin{matrix}
3=-\displaystyle\frac{1}{2}a+b\\
\displaystyle\frac{3}{2}=2a+b
\end{matrix}\right.\]
Odejmujemy stronami
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{3}{2}=-\displaystyle\frac{5}{2}a \quad /\cdot 2\\
3=-5a\\
a=-\displaystyle\frac{3}{5}\\
3=-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot (-\displaystyle\frac{3}{5})+b\\
3=\displaystyle\frac{3}{10}+b\\
b=\displaystyle \frac{27}{10}.
\end{array}\]
Zatem \(y=-\displaystyle \frac{3}{5}x+\displaystyle \frac{27}{10}.\)

Wybierz jedną z czterech podanych odpowiedzi. Poprawność udzielonych odpowiedzi sprawdzisz przyciskiem "Sprawdź" lub na końcu przyciskiem "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Prosta równoległa do prostej \(2x-y-1=0\) i przechodząca przez punkt \((0,-4)\) ma postać:

Zadanie 2

Funkcja liniowa, której wykres jest prostopadły do prostej \(x=2\) i przechodzi przez punkt \((0,3),\) jest określona wzorem:

Zadanie 3

Prosta dana wzorem \(\sqrt{3}x-2y=1\) przechodzi przez punkty:

Zadanie 4

Przez punkty \((0,2\sqrt{3})\) i \((\sqrt{3}, 0)\) przechodzi prosta o równaniu:

Zadanie 5

Dla jakiego parametru \(m\) proste \(y=2mx-4\) i \(y=3x-5\) są prostopadłe?

Podsumowanie