Polecenie
Do wykresu funkcji f(x)=2x2+bx+c należy punkt A(−1,−4). Funkcja ta posiada dwa miejsca zerowe, jedno z nich to x=−2. Znajdź współczynniki b i c oraz naszkicuj wykres funkcji f.
Rozwiązanie
Aby znaleźć wzór funkcji i naszkicować jej wykres musimy skorzystać z podanych dwóch punktów: A(−1,−4) oraz miejsca zerowego x=−2, czyli punktu B(−2,0). Wiedząc, że punkty te leżą na paraboli, będącej wykresem funkcji f wiemy również, że ich współrzędne spełniają równanie tej paraboli. Możemy więc ułożyć układ równań podstawiając współrzędne punktów A i B do wzoru funkcji f(x)=2x2+bx+c.
Dostaniemy
{−4=2⋅(−1)2+b⋅(−1)+c0=2⋅(−2)2+b⋅(−2)+c{−4=2−b+c0=8−2b+c
Odejmujemy stronami:
−4=−6+bb=−4+6b=2
c=−4−2+bc=−6+2c=−4.
Zatem funkcja ma postać f(x)=2x2+2x−4.
Współrzędne wierzchołka liczymy ze wzorów na p i q. W(p,q)=(−24,−368)=(−12,−92).
Aby naszkicować wykres funkcji f wystarczy narysować parabolę y=2x2 i przesunąć ją o wektor →w=[−12,−92].
Dostaniemy
{−4=2⋅(−1)2+b⋅(−1)+c0=2⋅(−2)2+b⋅(−2)+c{−4=2−b+c0=8−2b+c
Odejmujemy stronami:
−4=−6+bb=−4+6b=2
c=−4−2+bc=−6+2c=−4.
Zatem funkcja ma postać f(x)=2x2+2x−4.
Współrzędne wierzchołka liczymy ze wzorów na p i q. W(p,q)=(−24,−368)=(−12,−92).
Aby naszkicować wykres funkcji f wystarczy narysować parabolę y=2x2 i przesunąć ją o wektor →w=[−12,−92].

Odpowiedź
Szukanymi współczynnikami są b=2,c=−4.
Polecenie
Do wykresu funkcji f(x)=ax2−5x+c należy punkt A(2,−2). Funkcja ta posiada dwa miejsca zerowe, jedno z nich to x=1. Znajdź współczynniki a i c oraz naszkicuj wykres funkcji f.
Odpowiedź
Szukaną funkcją jest f(x)=x2−5x+4, zatem a=1,c=4.
Rozwiązanie
Wiemy, że punkty (2,−2) oraz (1,0) należą do wykresu funkcji f zatem spełniają równanie tej paraboli. Tworzymy i rozwiązujemy układ równań.
{0=a⋅12−5⋅1+c−2=a⋅22−5⋅2+c{a+c=54a+c=8
Odejmujemy stronami równania w układzie i otrzymujemy
3a=3/:3a=1a+c=5c=5−1c=4.
Zatem f(x)=x2−5x+4.
Aby narysować wykres funkcji f wystarczy wyznaczyć współrzędne wierzchołka tej funkcji.
W(p,q)=(52,−94).
Przesuwamy zatem wykres funkcji y=x2 o wektor →w=[52,−94].
{0=a⋅12−5⋅1+c−2=a⋅22−5⋅2+c{a+c=54a+c=8
Odejmujemy stronami równania w układzie i otrzymujemy
3a=3/:3a=1a+c=5c=5−1c=4.
Zatem f(x)=x2−5x+4.
Aby narysować wykres funkcji f wystarczy wyznaczyć współrzędne wierzchołka tej funkcji.
W(p,q)=(52,−94).
Przesuwamy zatem wykres funkcji y=x2 o wektor →w=[52,−94].
