Zadanie 3.2.6
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.2 Funkcja liniowa i kwadratowa
  4. Zadanie 3.2.6

 Polecenie

Dana jest funkcja \(f(x)=(2-m)x^{2}-mx+m+1.\) Dla jakich wartości parametru \(m\) funkcja \(f\) jest
1. funkcją liniową?

 Rozwiązanie

Funkcja \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) będzie funkcją liniową tylko wówczas, gdy \(a=0.\) Zatem funkcja \( f(x)=(2-m)x^{2}-mx+m+1\) jest funkcją liniową dla  \(2-m=0  \quad \Leftrightarrow \quad m=2.\)
Wówczas przyjmuje ona postać \(f(x)=0\cdot x^{2}-2x+2+1\\f(x)=-2x+3.\)

 Odpowiedź

Dla \(m=2\) podana funkcja \(f\) jest funkcją liniową.
2. funkcją kwadratową, mającą dwa dodatnie pierwiastki?

 Rozwiązanie

 Krok 1

Podana funkcja \(f(x)=(2-m)x^{2}-mx+m+1\) ma być funkcją kwadratową więc zakładamy, że \(a\neq 0,\) Funkcja ma posiadać dwa pierwiastki dodatnie. Musimy w takim razie założyć, że \(\Delta  \geq 0\) (gdyby w założeniu wyszczególnić, że pierwiastki mają być różne, należy założyć, że \(\Delta \gt 0.\) ) 
Dodatkowo oba pierwiastki mają być dodatnie, zatem należy zastanowić się jakie znaki musi mieć suma i iloczyn tych pierwiastków (wzory Viete'a). I tak, suma dwóch liczb dodatnich będzie liczbą dodatnią, iloczyn dwóch liczb dodatnich również jest liczbą dodatnią.
Podsumujmy:
\[\left\{\begin{matrix}
a\neq 0\\
\Delta \geq 0\\
x_{1}+x_{2} \gt 0\\
x_{1}\cdot x_{2} \gt 0
\end{matrix}\right.\]

 Krok 2

W kolejnym kroku rozwiązujemy układ równań, czyli każde założenie z układu możemy rozwiązać osobno i znaleźć część wspólną wszystkich rozwiązań.
Analizując pierwsze założenie:
\(a\neq 0 \Leftrightarrow 2-m\neq 0 \Leftrightarrow m\neq 2.\)

 Krok 3

Dalej rozwiązujemy nierówność \(\Delta \geq 0.\)
\[\begin{array}{l}
\Delta \geq 0 \Leftrightarrow (-m)^{2}-4\cdot (2-m)\cdot (m+1)\geq 0 \\
\quad \quad \quad \quad m^{2}-4(2m+2-m^{2}-m)\geq 0 \\
\quad \quad \quad \quad m^{2}+4m^{2}-4m-8\geq 0 \\
\quad \quad \quad \quad 5m^{2}-4m-8\geq 0 \\
\quad \quad \quad \quad \Delta_{m}=16-4\cdot 5\cdot (-8)=176\\
\quad \quad \quad \quad \sqrt{\Delta _{m}}=\sqrt{176}=4\sqrt{11}\\
\quad \quad \quad \quad m_{1}=\displaystyle\frac{4-4\sqrt{11}}{2\cdot 5}=\displaystyle\frac{2-2\sqrt{11}}{5}\approx -0,93\\
\quad \quad \quad \quad m_{2}=\displaystyle\frac{4+4\sqrt{11}}{2\cdot 5}=\displaystyle\frac{2+2\sqrt{11}}{5}\approx 1,73.
\end{array}\]

Rysujemy wykres pomocniczy funkcji \(g(m)=5m^{2}-4m-8.\)
Rysunek 3.2.6.2
Odczytujemy
\(\Delta \geq 0 \Leftrightarrow m\in \left (-\infty ;\displaystyle\frac{2-2\sqrt{11}}{5} \right \rangle \cup \left \langle \displaystyle\frac{2+2\sqrt{11}}{5} ;\infty \right ).\)

 Krok 4

Rozpatrujemy kolejne założenie na sumę pierwiastków.
\[\begin{array}{l} 
x_{1}+x_{2}> 0 \Leftrightarrow
-\displaystyle\frac{b}{a}>0 \Leftrightarrow \\
-\displaystyle\frac{-m}{2-m}>0 \Leftrightarrow \\
\displaystyle\frac{m}{2-m}>0 \Leftrightarrow \\
m(2-m)>0 \\
m=0 \vee m=2
\end{array}\]
Zaznaczamy na osi liczbowej miejsca zerowe, rysujemy parabolę i odczytujemy rozwiązanie.
Rysunek 3.2.6.2b
Odczytujemy z wykresu \[ x_{1}+x_{2}>0 \Leftrightarrow m\in (0;2).\]

 Krok 5

Ostatnia nierówność w układzie, to założenie na iloczyn pierwiastków.
\[\begin{array}{l} 
x_{1}\cdot x_{2}> 0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{c}{a}>0 \Leftrightarrow \\
\displaystyle\frac{m+1}{2-m}>0 \Leftrightarrow \\
(m+1)(2-m)>0 \\
m=-1 \vee m=2.
\end{array}\]
Rysujemy parabolę, będącą wykresem funkcji \(k(m)=(m+1)(2-m)\) i odczytujemy te wartości parametru \(m\), dla których iloczyn pierwiastków funkcji wyjściowej jest dodatni.
Rysunek 3.2.6.2c
Odczytujemy z wykresu \[ x_{1}\cdot x_{2}>0 \Leftrightarrow  m\in (-1,2).\]

 Krok 6

Aby rozwiązać zadanie do końca, należy teraz wyznaczyć przekrój (część wspólną) rozwiązań wszystkich założeń w układzie.
Zatem podsumujemy te rozwiązania na osi liczbowej.
Rysunek 3.2.6.2d
Częścią wspólną wszystkich rozwiązań jest przedział \(\left \langle \displaystyle\frac{2+2\sqrt{11}}{5};\infty \right ).\)

 Odpowiedź

Dla \(m\in \left \langle \displaystyle\frac{2+2\sqrt{11}}{5};\infty  \right )\) funkcja \(f\) jest funkcją kwadratową, mającą dwa dodatnie pierwiastki.
3. funkcją parzystą?

 Rozwiązanie

Funkcja jest parzysta, gdy jej wykres jest symetryczny względem osi \(OY.\) Aby funkcja \(f\) była parzysta, musi być funkcją kwadratową (funkcja liniowa może być tylko funkcją nieparzystą.)

Aby wykres funkcji kwadratowej \(f(x)=(2-m)x^{2}-mx+m+1\) był symetryczny względem osi \(OY\) wystarczy, aby parabola, będąca jej wykresem, miała oś symetrii o równaniu \(x=0.\) Będzie tak wtedy, gdy \(p=0.\) Ponieważ \(p=-\displaystyle\frac{b}{2a}\), zatem \[-\displaystyle\frac{b}{2a}=0\\-\displaystyle\frac{-m}{2(2-m)}=0 \\
\displaystyle\frac{m}{2(2-m)}=0.\]
Ponieważ \(m\neq 2\) (bo chcemy aby funkcja \(f\) była kwadratowa), więc \[\displaystyle\frac{m}{2(2-m)}=0 \Leftrightarrow m=0.\]
Dla \(m=0,\) \(f(x)=(2-0)x^{2}-0 \cdot x+0+1,\) zatem \(f(x)=2x^{2}+1.\)

W rozwiązaniu alternatywnym wystarczyłoby odczytać ze wzoru funkcji \(f(x)=(2-m)x^{2}-mx+m+1,\) że aby wykres funkcji kwadratowej był symetryczny względem osi \(OY\) współczynnik \(b\) musi być równy \(0.\)(Wówczas parabola ma wierzchołek na osi \(OY\).)  Zatem \(-m=0\)  więc \(m=0.\)

 Odpowiedź

Dla \(m=0\) funkcja \(f\) jest parzysta i przyjmuje postać \(f(x)=2x^{2}+1.\)

 Wskazówki

Wzory Viete'a
Jeśli \(x_{1},x_{2}\) są pierwiastkami funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^{2}+bx+c\), dla \(a\neq 0\), wówczas zachodzą wzory:
\[x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\\
x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}.\]
Definicja funkcji parzystej
Funkcję \(f: X\rightarrow \mathbb{R}\) nazywamy parzystą, jeśli dla każdego \(x\in X\) liczba przeciwna do \(x\) również należy do dziedziny tej funkcji (\(-x\in X\)) oraz \(f(-x)=f(x).\)
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi \(OY.\)

 Polecenie

Dana jest funkcja \(f(x)=mx^{2}-(3-m)x+2m.\) Dla jakich wartości parametru \(m\) funkcja \(f\) jest:
1. funkcją liniową?

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=mx^{2}-(3-m)x+2m\) jest funkcją liniowa dla \(m=0\) i przyjmuje wówczas postać \(f(x)=-3x.\)
2. funkcją kwadratową, posiadającą dwa miejsca zerowe różnych znaków?

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=mx^{2}-(3-m)x+2m\) jest funkcją kwadratową, posiadającą dwa miejsca zerowe różnych znaków dla \(m\in (\displaystyle\frac{6\sqrt{2}-3}{7};\displaystyle\frac{6\sqrt{2}+3}{7}).\)

 Rozwiązanie

Tworzymy układ założeń, które musi spełniać funkcja \(f(x)=mx^{2}-(3-m)x+2m,\) aby być funkcją kwadratową, mającą dwa dodatnie pierwiastki.

Po pierwsze, aby funkcja \(f(x)=mx^{2}-(3-m)x+2m\) była funkcją kwadratową, współczynnik \(m\) (przy \(x^{2}\) ) musi być różny od \(0.\)
Po drugie, aby istniały dwa różne pierwiastki (jeśli są różnych znaków, to na pewno są od siebie różne), to \(\Delta\) musi być większa od \(0.\)
Ostatni warunek jest taki, że jeśli pierwiastki mają być różnych znaków, to ich iloczyn na pewno będzie ujemny. O ich sumie nic nie można powiedzieć, więc nie uwzględniamy jej w założeniu.

Podsumujmy \[\left\{\begin{matrix}
m\neq 0\\
\Delta > 0\\
x_{1}\cdot x_{2}< 0
\end{matrix}\right. \]

Rozwiązujemy drugie założenie \(\Delta>0.\)
\[\begin{array}{l}
\Delta > 0 \Leftrightarrow \left [ -(3-m) \right ]^{2}-4\cdot m\cdot 2m >0\\
\quad \quad \quad \quad 9-6m+m^{2}-8m^{2}>0\\
\quad \quad \quad \quad -7m^{2}-6m+9>0\\
\quad \quad \quad \quad \Delta _{m}=36-4\cdot (-7)\cdot 9=36+252=288\\
\quad \quad \quad \quad \sqrt{\Delta _{m}}=12\sqrt{2}\\
\quad \quad \quad \quad m_{1}=\displaystyle\frac{6-12\sqrt{2}}{-14}=\displaystyle\frac{6\sqrt{2}-3}{7}\approx 0,78\\
\quad \quad \quad \quad m_{1}=\displaystyle\frac{6+12\sqrt{2}}{-14}=\displaystyle\frac{6\sqrt{2}+3}{7}\approx 1,64.
\end{array}\]
Szkicujemy wykres funkcji \(g(m)=-7m^{2}-6m+9\) i odczytujemy rozwiązanie nierówności.
Rysunek 3.2.6.spr.1
Zatem \(\Delta > 0 \Leftrightarrow m\in (\displaystyle\frac{6\sqrt{2}-3}{7};\displaystyle\frac{6\sqrt{2}+3}{7}).\)

W kolejnym kroku rozpatrujemy znak iloczynu pierwiastków funkcji \(f(x)=mx^{2}-(3-m)x+2m.\)
\[x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a} \textrm{ (wzór Viete'a)}\\
x_{1}\cdot x_{2}>0 \Leftrightarrow \\
\frac{c}{a} >0 \Leftrightarrow\\
\frac{2m}{m}>0\\
2m\cdot m>0\\
2m^{2}>0.\]
Dla \(m\neq 0\) nierówność \(2m^{2}>0\) jest zawsze spełniona.
Zatem \[x_{1}\cdot x_{2}>0 \Leftrightarrow m\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}.\]

W podsumowaniu należy wziąć część wspólną rozwiązań wszystkich założeń układu.
Przedstawimy je na osi liczbowej.
Rysunek 3.2.6.spr.2
Ostatecznie \[m\in (\displaystyle\frac{6\sqrt{2}-3}{7};\displaystyle\frac{6\sqrt{2}+3}{7}).\]
3. parzystą funkcją kwadratową?

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=mx^{2}-(3-m)x+2m\) jest parzystą funkcja kwadratową dla \(m=3\) i przyjmuje postać \(f(x)=3x^{2}+6.\)

 Rozwiązanie

Funkcja \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) będzie parzystą funkcją kwadratową, jeśli \(a\neq 0 \wedge b=0.\)
Zatem funkcja \(f(x)=mx^{2}-(3-m)x+2m\) dla \(m\neq 0\) będzie taką funkcją dla \[ -(3-m)=0\\3-m=0\\m=3.\]
Funkcja będzie miała wtedy postać \[f(x)=3x^{2}+6.\]