Zadanie 3.3.1

Zadanie 3.3.1
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Rozwiąż równania wielomianowe lub wymierne.

Wskazówki

Definicja wielomianu

Niech

$n\in \mathbb{N}.$ Wielomianem stopnia

$n$ nazywamy funkcję

$W:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ postaci

$W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$ gdzie

$a_{0},a_{1}, a_{2}\cdots a_{n}$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi (nazywamy je współczynnikami wielomianu) oraz

$a_{n}\neq 0.$

Uwaga
Funkcję

$W(x)=0$ nazywamy wielomianem zerowym. Przyjmuje się, że wielomian zerowy nie ma stopnia.

Definicja funkcji wymiernej

Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci

$f(x)=\displaystyle\frac{M(x)}{N(x)},$ gdzie

$M, N$ są wielomianami, przy czym

$N(x)\neq 0.$
Dziedziną funkcji wymiernej

$f$ jest zbiór

$D_{f}=\left \{ x\in \mathbb{R}: N(x)\neq 0 \right \}.$

Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu

Niech

$W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba całkowita

$p\neq 0$ będzie pierwiastkiem wielomianu

$W.$ Wtedy

$p$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego

$a_{0}.$

Uwaga
Wielomian o współczynnikach całkowitych może nie mieć pierwiastków całkowitych, np.:

$x^{2}+1.$

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu

Niech

$W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ będzie wielomianem stopnia

$n$ o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba wymierna

$\frac{p}{q},$ gdzie liczby

$p$ i

$q$ będą liczbami całkowitymi wsględnie pierwszymi, będzie pierwiastkiem wielomianu

$W.$ Wtedy

$p$ jest dzielnikiem współczynnika

$a_{0},$ a

$q$ jest dzielnikiem współczynnika

$a_{n}$ tego wielomianu.

Uwaga
Jeżeli

$a_{n}=1$ , to wszystkie pierwiastki wymierne tego wielomianu są całkowite.

Twierdze Bezout

Liczba

$x_0$ jest pierwiastkiem wielomianu

$W$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian

$P$ taki, że

$W(x)=(x-x_{0})P(x)$ .

Uwaga
Reszta z dzielenia wielomianu

$W$ przez dwumian

$(x-x_{0})$ jest równa

$W(x_0).$

Wzory skróconego mnożenia

$\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\\ \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\\ a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\\ \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\\ \left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\\ a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )\\ a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )$

Równanie 1

$2x^{4}-3x^{3}-9x^{2}-x+3=0$

Rozwiązanie

Aby rozwiązać równanie wielomianowe należy zapisać podany po lewej stronie równania wielomian w postaci iloczynowej.
Do tego służą różne metody, m.in. wzory skróconego mnożenia, wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, grupowanie wyrazów, twierdzenie o pierwiastkach całkowitych (wymiernych) wielomianu oraz dzielenie wielomianów (również za pomocą schematu Hornera).

$2x^{4}-3x^{3}-9x^{2}-x+3=0$
Ponieważ nie jest łatwo pogrupować wyrazy, zatem korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu.
Wymierny pierwiastek wielomianu, jeżeli istnieje, to znajduje się wśród liczb postaci

$\displaystyle\frac{p}{q},$ gdzie

$p$ jest dzielnikiem liczby

$3,$ a

$q$ liczby

$2.$ Szukamy zatem w zbiorze

$\left \{ 1,-1,3,-3,\displaystyle\frac{3}{2}, -\displaystyle\frac{3}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}, -\displaystyle\frac{1}{2} \right \}.$

$\begin{array}{l} W(x)=2x^{4}-3x^{3}-9x^{2}-x+3\\ W(1)=2-3-9-1+3\neq 0\\ W(-1)=2+3-9+1+3=0. \end{array}$
Zatem liczba

$-1$ jest pierwiastkiem wielomianu

$W.$ Aby zapisać go w postaci iloczynowej należy podzielić wielomian

$W$ przez dwumian

$x+1.$ Można to zrobić stosując dzielenie wielomianów pisemne lub schematem Hornera.
My pokażemy jak podzielić wielomian

$W$ przez dwumian

$x+1$ stosując schemat Hornera.

Animacja - Schemat Hornera

Uwaga

Użyj przycisków aby przejść do kolejnego slajdu.

Korzystając z twierdzenia Bezout możemy teraz odczytać, że

$W(x)=(x+1)\cdot Q(x)=(x+1)(\color{#F57C00}{2}x^{3}\color{#F57C00}{-5}x^{2}\color{#F57C00}{-4}x+\color{#F57C00}{3}).$
Dla wielomianu

$Q(x)=2x^{3}-5x^{2}-4x+3$ szukamy pierwiastka znów wśród liczb

$\left \{ 1,-1,3,-3,\displaystyle\frac{3}{2}, -\displaystyle\frac{3}{2}, \displaystyle\frac{1}{2}, -\displaystyle\frac{1}{2} \right \}.$

$\begin{array}{l} Q(1)=2-5-4+3\neq0\\ Q(-1)=-2-5+4+3=0. \end{array}$
Zatem wielomian

$Q$ jest również podzielny przez dwumian

$x+1.$
Ponownie wykonamy dzielenie wielomianów za pomocą schematu Hornera.

Wyjściowe równanie możemy zapisać już w postaci:

$\begin{array}{l} (x+1)^{2}(\color{#F57C00}{2}x^{2}\color{#F57C00}{-7}x+\color{#F57C00}{3})=0\\ x+1=0 \ \vee \ 2x^{2}-7x+3=0\\ x=-1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta =(-7)^{2}-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sqrt{\Delta } =5\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{1}=\displaystyle\frac{7-5}{4}=\displaystyle\frac{2}{4}=\displaystyle\frac{1}{2},\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{2}=\displaystyle\frac{7+5}{4}=\displaystyle\frac{12}{4}=3. \end{array}$
Zatem rozwiązaniem równania wielomianowego

$2x^{4}-3x^{3}-9x^{2}-x+3=0$ są liczby

$x=-1 \ \vee \ x=\displaystyle\frac{1}{2} \ \vee \ x=3.$

Odpowiedź

Rozwiązaniem równania wielomianowego

$2x^{4}-3x^{3}-9x^{2}-x+3=0$ są liczby należące do zbioru

$\left \{ -1, \displaystyle\frac{1}{2}, 3 \right \}.$

Równanie 2

$\displaystyle\frac{2}{x^{2}-1}-\displaystyle\frac{3}{x-1}=\displaystyle\frac{1-3x^{2}}{x^{3}-1}$

Rozwiązanie

Uwaga

Aby rozwiązać podane równanie wymierne warto przeanalizować wcześniej przykłady 2 i 3 w zadaniu 2.2.3.

1. Wyznaczamy dziedzinę równania wymiernego.
Musimy przyjąć odpowiednie założenia:

$\begin{array}{l} x^{2}-1\neq 0 \ \quad \quad\quad \ \quad \wedge \quad x-1\neq 0 \ \wedge \quad x^{3}-1\neq 0\\ (x-1)(x+1)\neq 0 \quad \wedge \quad x\neq 1 \quad \quad \wedge \quad (x-1)(x^{2}+x+1)\neq 0\\ x\neq 1 \ \wedge \ x\neq -1 \quad \ \ \ \wedge \quad x\neq 1 \quad \quad \wedge \quad x\neq 1 \ \wedge \ x^{2}+x+1\neq 0 \\ x\neq 1 \ \wedge \ x\neq -1 \quad \ \ \ \wedge \quad x\neq 1 \quad \quad \wedge \quad x\neq 1 \ \wedge \ \underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall } x^{2}+x+1\neq 0 \\ \end{array}$
Zatem

$D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -1,1 \right \}.$

2. Szukamy najmniejszego wspólnego mianownika i rozwiązujemy równanie (rozwiązując równanie po sprowadzeniu do wspólnego mianownika możemy pomnożyć przez niego obustronnie, inaczej jest przy rozwiązywaniu nierówności).

$\begin{array}{l} \displaystyle\frac{2}{x^{2}-1}-\displaystyle\frac{3}{x-1}=\displaystyle\frac{1-3x^{2}}{x^{3}-1}\\ \displaystyle\frac{2}{(x-1)(x+1)}-\displaystyle\frac{3}{(x-1)}=\displaystyle\frac{1-3x^{2}}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\\ \displaystyle\frac{2(x^{2}+x+1)-3(x+1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)}=\displaystyle\frac{(1-3x^{2})(x+1)}{(x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)} \ \ \ \ /\cdot (x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)\\ 2(x^{2}+x+1)-3(x+1)(x^{2}+x+1)=(1-3x^{2})(x+1)\\ 2x^{2}+2x+2-3(x^{3}+x^{2}+x+x^{2}+x+1)=x+1-3x^{3}-3x^{2}\\ 2x^{2}+2x+2-3x^{3}-3x^{2}-3x-3x^{2}-3x-3=x+1-3x^{3}-3x^{2}\\ 2x^{2}+2x+2\cancel{-3x^{3}}-6x^{2}-6x-3=x+1\cancel{-3x^{3}}-3x^{2}\\ -4x^{2}-4x-1-x-1+3x^{2}=0\\ -x^{2}-5x-2=0\\ x^{2}+5x+2=0\\ \Delta =25-4\cdot 1\cdot 2=25-8=17\\ \sqrt{\Delta }=\sqrt{17}\\ x_{1}=\displaystyle\frac{-5-\sqrt{17}}{2} \in D\\ x_{2}=\displaystyle\frac{-5+\sqrt{17}}{2} \in D. \end{array}$
Zatem rozwiązaniem równania są liczby

$x_{1}=\displaystyle\frac{-5-\sqrt{17}}{2}, x_{2}=\displaystyle\frac{-5+\sqrt{17}}{2} .$

Odpowiedź

Rozwiązaniem równania

$\displaystyle\frac{2}{x^{2}-1}-\displaystyle\frac{3}{x-1}=\displaystyle\frac{1-3x^{2}}{x^{3}-1}$ jest zbiór

$x\in \left \{ \displaystyle\frac{-5-\sqrt{17}}{2},\displaystyle\frac{-5+\sqrt{17}}{2} \right \}.$

Równanie 3

$\displaystyle\frac{2x-1}{x^{2}-3x+2}=\displaystyle\frac{x-2}{x^{2}-2x+1}-\displaystyle\frac{3-x}{x^{2}-4x+4}$

Rozwiązanie

Krok 1

W pierwszym kroku wyznacz odpowiednie założenia oraz dziedzinę równania. Wybierz prawidłową odpowiedź i sprawdź.

$x^{2}-3x+2\neq 0 \\ \wedge \\ x^{2}-2x+1\neq 0\\ \wedge \\ x^{2}-4x+4\neq 0$
$D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 1,2 \right \}$

Odpowiedź prawidłowa

$x^{2}-3x+2\neq 0 \\ \wedge \\ x^{2}-2x+1\neq 0 \\ \wedge \\ x^{2}-4x+4\neq 0$
$D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 1,-1,2, -2 \right \}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$x^{2}-3x+2\geq 0 \\ \wedge \\ x^{2}-2x+1\geq 0\\ \wedge \\ x^{2}-4x+4\geq 0$
$D=\left ( -\infty ;1 \right )\cup \left ( 2;\infty \right )$

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 2

W drugim kroku znajdź i wybierz najmniejszy wspólny mianownik.

$(x^{2}-3x+2)(x^{2}-2x+1)(x^{2}-4x+4)$

Odpowiedź nieprawidłowa

$(x-1)^{2}(x-2)^{2}$

Odpowiedź prawidłowa

$(x-1)(x-2)$

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 3

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika, pomnożeniu przez wspólny mianownik oraz dokonaniu przekształceń, równanie ma postać

$18x^{2}-4x+9=0$

Odpowiedź nieprawidłowa

$4x^{2}+26x+9=0$

Odpowiedź nieprawidłowa

$4x^{2}-12x+9=0$

Odpowiedź prawidłowa

Krok 4

Rozwiązaniem równania

$\displaystyle\frac{2x-1}{x^{2}-3x+2}=\displaystyle\frac{x-2}{x^{2}-2x+1}-\displaystyle\frac{3-x}{x^{2}-4x+4}$ jest zbiór

$\left \{ 0\right \}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\left \{ \displaystyle\frac{3}{2}\right \}$

Odpowiedź prawidłowa

$\varnothing$

Odpowiedź nieprawidłowa

Podsumowanie

Wszystkie kroki z zadania 3.3.1.3 zostały wykonane prawidłowo.

3.3 Funkcja wielomianowa, wymierna i potęgowa