Zadanie 3.3.2

Zadanie 3.3.2
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Rozwiąż nierówności wielomianowe lub wymierne.

Wskazówki

Definicja wielomianu

Niech \(n\in \mathbb{N}.\) Wielomianem stopnia \(n\) nazywamy funkcję \(W:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) postaci
\[W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},\] gdzie \(a_{0},a_{1}, a_{2}\cdots a_{n}\) są dowolnymi liczbami rzeczywistymi (nazywamy je współczynnikami wielomianu) oraz \(a_{n}\neq 0.\)

Uwaga
Funkcję \(W(x)=0\) nazywamy wielomianem zerowym. Przyjmuje się, że wielomian zerowy nie ma stopnia.

Definicja \(k-\)krotnego pierwiastka wielomianu

Liczba \(x_{0}\) jest pierwiastkiem \(k-\)krotnym wielomianu \(W\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(P\) taki, że \[W(x)=(x-x_{0})^{k}P(x),\] gdzie \(P(x)\neq 0\) nie jest podzielny przez dwumian \((x-x_{0}).\)

Twierdzenie (o postaci iloczynowej wielomianu)

Każdy wielomian daje się przedstawić w postaci iloczynu czynników liniowych i kwadratowych o ujemnym wyróżniku.

Uwaga
Dokonanie takiego rozkładu bywa bardzo trudne a nawet niemożliwe. Twierdzenia o pierwiastkach całkowitych i wymiernych ułatwiają nam dokonanie takiego rozkładu.

Twierdzenie Bezout

Liczba \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(P\) taki, że \(W(x)=(x-x_{0})P(x)\).

Uwaga
Reszta z dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-x_{0})\) jest równa \(W(x_0).\)

Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu

Niech \[W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\] będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba całkowita \(p\neq 0\) będzie pierwiastkiem wielomianu \(W.\) Wtedy \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_{0}.\)

Uwaga
Wielomian o współczynnikach całkowitych może nie mieć pierwiastków całkowitych, np.:\(x^{2}+1,\ x^{2}-3.\)

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu

Niech \[W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\] będzie wielomianem stopnia \(n\) o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba wymierna \(\frac{p}{q},\) gdzie liczby \(p\) i \(q\) będą liczbami całkowitymi wsględnie pierwszymi, będzie pierwiastkiem wielomianu \(W.\) Wtedy \(p\) jest dzielnikiem współczynnika \(a_{0},\) a \(q\) jest dzielnikiem współczynnika \(a_{n}\) tego wielomianu.

Uwaga
Jeżeli \(a_{n}=1\), to wszystkie pierwiastki wymierne tego wielomianu są całkowite.

Definicja funkcji wymiernej

Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci \(f(x)=\displaystyle\frac{M(x)}{N(x)},\) gdzie \(M, N\) są wielomianami, przy czym \( N(x)\neq 0.\)
Dziedziną funkcji wymiernej \(f\) jest zbiór \(D_{f}=\left \{ x\in \mathbb{R}: N(x)\neq 0 \right \}.\)

Wzory skróconego mnożenia

\[\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\\
\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\\
a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\\
\left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\\
\left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\\
a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )\\
a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )\]

Nierówność 1

\((x-2)^{2}(\displaystyle\frac{1}{2}x+4)(2x-5)(x+1)^{3} \leq 0\)

Rozwiązanie

Na początku należy wyznaczyć pierwiastki wielomianu znajdującego się po lewej stronie nierówności. Ponieważ w tym przykładzie wielomian jest już w postaci iloczynowej, nie jest to trudne. Iloczyn czynników jest równy zero, jeśli co najmniej jeden z nich jest równy zero, zatem każdy czynnik przyrównujemy do \(0,\) wyznaczamy pierwiastki i określamy ich krotność.
\[\begin{array}{l}
(x-2)^{2}=0 \ \vee \ (\displaystyle\frac{1}{2}x+4)=0 \ \vee \ (2x-5)=0 \ \vee \ (x+1)^{3}=0\\
x-2=0 \ \ \ \ \vee \ \ \displaystyle\frac{1}{2}x+4=0 \ \ \ \vee \ \ 2x-5=0 \ \ \vee \ \ x+1=0\\
x=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vee \ \ \displaystyle\frac{1}{2}x=-4 \ \ \ \ \ \ \ \vee \ \ 2x=5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vee \ \ x=-1\\
x=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vee \ \ x=-8 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vee \ \ x=\displaystyle\frac{5}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vee \ \ x=-1\\
\textrm{p. 2-krotny} \ \ \ \ \ \ \ \textrm{p. jednokrotny}\ \ \ \textrm{p. jednokrotny} \ \ \ \ \textrm{p. 3-krotny}
\end{array}\]

Algorytm

Zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej i rysujemy wykres pomocniczy.
Wyznaczamy znak współczynnika przy najwyższej potędze wielomianu występującego po lewej stronie nierówności.
Wykres zaczynamy szkicować od prawej strony oraz

jeśli \(a_{n}>0,\) to zaczynamy od góry,

jeśli \(a_{n}<0,\) to zaczynamy od dołu.

W kolejnym kroku sprawdzamy krotność pierwiastków, i tak:

jeśli pierwiastek ma parzystą krotność, wówczas "odbijamy się" od osi,
jeśli pierwiastek ma nieparzystą krotność, wówczas przechodzimy na drugą stronę osi (wielomian zmienia wartości na przeciwne).

Odczytujemy zbiór argumentów, dla których wielomian przyjmuje wartości ujemne lub równe \(0.\)
Zatem \[x\in \left ( -\infty ;-8 \right \rangle\cup \left \langle -1; \displaystyle\frac{5}{2} \right \rangle.\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \((x-2)^{2}(\frac{1}{2}x+4)(2x-5)(x+1)^{3} \leq 0\) jest zbiór \( \left ( -\infty ;-8 \right \rangle\cup \left \langle -1; \displaystyle\frac{5}{2} \right \rangle.\)

Nierówność 2

\(x^{6}-5x^{5}+5x^{4}+9x^{3}-14x^{2}-4x+8> 0\)

Rozwiązanie

Do momentu wyznaczenia pierwiastków wielomianu występującego po lewej stronie nierówności rozwiązujemy nierówność tak samo jak równanie.
Dalej należy wykonać rysunek i odczytać zbiór argumentów spełniających podaną nierówność.

Szukamy pierwiastków wielomianu \(W(x)=x^{6}-5x^{5}+5x^{4}+9x^{3}-14x^{2}-4x+8\) wśród liczb \(\left \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \right \}.\)
\(W(1)=1-5+5+9-14-4+8=0.\)
Wielomian \(W\) jest więc podzielny przez dwumian \((x-1).\)
Szukamy pierwiastków kolejnych wielomianów wykorzystując schemat Hornera.

Nierówność możemy zapisać więc w postaci
\[\begin{array}{l}
(x-1)(x+1)^{2}(x-2)(x^{2}-4x+4)> 0\\
(x-1)(x+1)^{2}(x-2)(x-2)^{2}> 0\\
(x-1)(x+1)^{2}(x-2)^{3}> 0\\
x-1=0 \vee x+1=0 \vee x-2=0\\
x=1 \ \ \vee \ \ x=-1 \ \ \vee \ \ x=2\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{p. 2-kr.} \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{p. 3-krotny}
\end{array}\]
Rysujemy wykres pomocniczy.

Odczytujemy z wykresu zbiór argumentów, dla których wielomian przyjmuje tylko wartości dodatnie
\[x\in \left ( -\infty ;1 \right )\cup \left ( 2;\infty \right )\setminus \left \{ -1 \right \}.\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \(x^{6}-5x^{5}+5x^{4}+9x^{3}-14x^{2}-4x+8> 0\) jest zbiór \(\left ( -\infty ;1 \right )\cup \left ( 2;\infty \right )\setminus \left \{ -1 \right \}.\)

Nierówność 3

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}x-6}{3x+1}\leq 0\)

Rozwiązanie

Wyznaczamy dziedzinę wyrażenia wymiernego, przyjmując następujące założenia
\[\begin{array}{l}
3x+1\neq 0\\
3x\neq -1\\
x\neq -\displaystyle\frac{1}{3}
\end{array}\]
Dziedziną naszej nierówności jest więc zbiór \(3x\neq -1\\
D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -\displaystyle\frac{1}{3} \right \}.\)

Jak rozwiązać nierówność wymierną?

Rozwiązując nierówność wymierną doprowadzamy zawsze do postaci \[\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\leq 0.\]
Czyli po lewej stronie mamy iloraz dwóch wielomianów, a po prawej \(0.\)
Mając taką postać nierówności badamy znak tego ilorazu, co jest równoznaczne z badaniem znaku iloczynu tych samych czynników, czyli nierówność zapisujemy w postaci iloczynu \[P(x) \cdot Q(x) \leq 0.\]
Dalej rozwiązujemy tak, jak nierówność wielomianową.

Nierówność \(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}x-6}{3x+1}\leq 0\) zapisujemy w postaci \[(\displaystyle\frac{1}{2}x-6)(3x+1)\leq 0.\]
Rozwiązujemy
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{1}{2}x-6=0 \ \ \vee \ \ 3x+1=0\\
\displaystyle\frac{1}{2}x=6 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vee \ \ 3x=-1\\
x=12 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vee \ \ x=-\displaystyle\frac{1}{3}.
\end{array}\]
Szkicujemy wykres pomocniczy i wyznaczamy zbiór tych liczb, dla których wielomian przyjmuje wartości niedodatnie.

Zatem \[x\in \left \langle -\displaystyle\frac{1}{3};12 \right \rangle.\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}x-6}{3x+1}\leq 0\) jest zbiór \(\left \langle -\displaystyle\frac{1}{3};12 \right \rangle.\)

Nierówność 4

\(\displaystyle\frac{2x}{x^{2}-9}-1 > \displaystyle\frac{5x-1}{x-3}\)

Rozwiązanie

Uwaga

Rozwiąż zadanie w czterech krokach. W każdym z nich wybierz prawidłową odpowiedź i sprawdź poprawność. Aby przejść do drugiego kroku musisz wybrać poprawną odpowiedź.

Krok 1

W pierwszym kroku wyznacz dziedzinę funkcji.

\[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -3 \right \}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -3,3 \right \}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 3 \right \}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 2

W drugim kroku znajdź najmniejszy wspólny mianownik i sprowadź nierówność do postaci \(\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}> 0.\)

\[\displaystyle\frac{-6(x^{2}-x-1)}{x^{2}-9}>0\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\displaystyle\frac{-6(x^{2}-2x+2)}{x^{2}-9}>0\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\displaystyle\frac{-6x^{2}-12x+12}{x^{2}-9}>0\]

Odpowiedź prawidłowa

Krok 3

W trzecim kroku sprowadź nierówność do iloczynu oraz wyznacz pierwiastki.

\[-6(x^{2}-x-1)(x^{2}-9)>0\\
x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\ \ \vee \ \ x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ \vee \ \ x=-3 \ \ \vee \ \ x=3 \]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[-6(x^{2}-2x+2)(x^{2}-9)>0\\
x=-3 \ \ \vee \ \ x=3\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[-6(x^{2}+2x-2)(x^{2}-9)>0\\
x=-1-\sqrt{3}\ \ \vee \ \ x=-1+\sqrt{3}\\\vee \ \ x=-3 \ \ \vee \ \ x=3\]

Odpowiedź prawidłowa

Krok 4

W ostatnim kroku zaznacz pierwiastki na osi liczbowej, oznacz ich krotność, naszkicuj wykres wielomianu i odczytaj zbiór rozwiązań.

\[x\in \left ( -3;-1-\sqrt{3} \right )\cup \left ( -1+\sqrt{3};3 \right )\]

Odpowiedź prawidłowa

\[x\in \left ( -\infty ;-3 \right )\cup \left ( 3;\infty \right )\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[x\in \left ( -\infty ;-3 \right )\]

Odpowiedź nieprawidłowa

Odpowiedź

Rozwiązaniem nierówności \( \displaystyle\frac{2x}{x^{2}-9}-1 > \displaystyle\frac{5x-1}{x-3}\) jest zbiór \(\left ( -3;-1-\sqrt{3} \right )\cup \left ( -1+\sqrt{3};3 \right ).\)

Zadanie 3.3.1

Polecenie

Rozwiąż nierówności wielomianowe lub wymierne.

Nierówność 1

\((x-5)^{2}(2x+6)^{6}(\displaystyle\frac{1}{2}x+4)(x-3)^{3}< 0\)

Odpowiedź

Rozwiązania nierówności \((x-5)^{2}(2x+6)^{6}(\displaystyle\frac{1}{2}x+4)(x-3)^{3}< 0\) należą do zbioru \(\left ( -8;3 \right )\setminus \left \{ -3 \right \}.\)

Rozwiązanie

Wyznaczamy pierwiastki wielomianu znajdującego się po lewej stronie nieróności
\((x-5)^{2}(2x+6)^{6}(\displaystyle\frac{1}{2}x+4)(x-3)^{3}< 0,\) oraz opisujemy krotność każdego pierwiastka.
\[ \begin{array}{l}
(x-5)^{2}(2x+6)^{6}(\displaystyle\frac{1}{2}x+4)(x-3)^{3}< 0\\
x-5=0 \ \vee \ 2x+6=0 \ \vee \ \displaystyle\frac{1}{2}x+4=0 \ \vee \ x-3=0\\
x=5 \quad \ \ \ \vee \quad x=-3 \quad \vee \quad \ x=-8 \quad \vee \quad x=3 \\
\textrm{p. 2-krotny} \ \ \quad \textrm{p. 6-krotny}\ \ \ \ \ \ \ \textrm{p. 1-krotny}\ \quad \ \textrm{p. 3-krotny}
\end{array}\]

Zatem \[x\in \left ( -8;3 \right )\setminus \left \{ -3 \right \}.\]

Nierówność 2

\(x^{3}-x^{2}-8x+12\geq 0\)

Odpowiedź

Rozwiązania nierówności \(x^{3}-x^{2}-8x+12\geq 0\) należą do zbioru \( \left \langle -3;\infty \right ).\)

Rozwiązanie

Szukamy pierwiastków wielomianu \(W(x)=x^{3}-x^{2}-8x+12\) wśród liczb \(\left \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \right \}.\)
\(W(2)=0,\) zatem dzieląc wielomian \(W\) przez dwumian \(x-2\) nierówność można zapisać w postaci \[(x-2)(x^{2}+x-6)\geq 0.\]
Wyznaczając pierwiastki funkcji kwadratowej otrzymamy dwa pierwiastki wielomianu \[ x=2 \ \ \textrm{- p. 2-krotny}, \ \ \ x=-3 \ \ \textrm{- p. pojedyńczy.}\]
Szkicujemy wykres wielomianu i odczytujemy zbiór rozwiązań.

Zatem \[x\in \left \langle -3;\infty \right ).\]

Nierówność 3

\(\displaystyle{\frac{-2x}{x-5}+\frac{x}{x+5}\leq 1}\)

Odpowiedź

Rozwiązania nierówności \(\displaystyle{\frac{-2x}{x-5}+\frac{x}{x+5}\leq 1}\) należą do sumy przedziałów \(\left ( -\infty ;\displaystyle\frac{15-5\sqrt{17}}{-4} \right \rangle\cup \left \langle -5; \displaystyle\frac{15+5\sqrt{17}}{-4}\right \rangle\cup \left \langle 5;\infty \right ).\)

Rozwiązanie

Wyznaczamy dziedzinę wyrażeń wymiernych występujących w nierówności. Zakładamy, że \[x-5 \neq 0 \ \ \wedge \ \ x+5 \neq 0\\
x\neq 5 \ \ \ \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ x \neq -5.\]
Zatem \[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -5,5 \right \}.\]
Sprowadzamy wyrażenia do wspólnego mianownika (najlepiej najmniejszego) i rozwiązujemy nierówność.
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{-2x(x+5)}{x^{2}-25}+\displaystyle\frac{x(x-5)}{x^{2}-25}-\displaystyle\frac{1(x^{2}-25)}{x^{2}-25}\leq 0\\
\displaystyle\frac{-2x(x+5)+x(x-5)-(x^{2}-25)}{x^{2}-25}\leq 0\\
\displaystyle\frac{-2x^{2}-10x+x^{2}-5x-x^{2}+25}{x^{2}-25}\leq 0\\
\displaystyle\frac{-2x^{2}-15x+25}{x^{2}-25}\leq 0\\
(-2x^{2}-15x+25)(x-5)(x+5)\leq 0\\
\sqrt{\Delta }=5\sqrt{17}\\
x_{1}=\displaystyle\frac{15-5\sqrt{17}}{-4}\approx 1,4\\
x_{2}=\displaystyle\frac{15+5\sqrt{17}}{-4}\approx -8,9.\\
\end{array}\]
Zatem \[x=\displaystyle\frac{15-5\sqrt{17}}{-4} \ \ \vee x=\displaystyle\frac{15+5\sqrt{17}}{-4}\ \ \vee x=5 \ \ \vee x=-5.\]

Zatem \[x\in \left ( -\infty ;\displaystyle\frac{15-5\sqrt{17}}{-4} \right \rangle\cup \left \langle -5; \displaystyle\frac{15+5\sqrt{17}}{-4}\right \rangle\cup \left \langle 5;\infty \right ).\]

Nierówność 4

\(\displaystyle\frac{2}{x^{2}+x-6}< \displaystyle\frac{1}{x^{2}-x-2} -\displaystyle\frac{1}{x^{2}+4x+3} \)

Odpowiedź

Rozwiązania nierówności \( \displaystyle\frac{2}{x^{2}+x-6}< \displaystyle\frac{1}{x^{2}-x-2} -\displaystyle\frac{1}{x^{2}+4x+3} \) należą do zbioru \(\left ( -3;-1 \right )\cup \left ( \displaystyle\frac{3}{2};2 \right ).\)

Rozwiązanie

Wyznaczamy dziedzinę nierwóności zakładając
\[\begin{array}{l}
x^{2}+x-6\neq 0 \ \ \wedge \ \ x^{2}-x-2\neq 0 \ \ \wedge \ \ x^{2}+4x+3\neq 0\\
(x-2)(x+3)\neq 0 \ \ \wedge \ \ (x-2)(x+1)\neq 0 \ \ \wedge \ \ (x+3)(x+1)\neq 0\\
x\neq 2 \ \ \wedge \ \ x\neq-3 \ \ \wedge \ \ x\neq-1
\end{array}\]
Zatem \[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -3, -1, 2 \right \}.\]

Sprowadzamy nierówność do wspólnego mianownika i zapisujemy w postaci iloczynu.
\[\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{2(x+1)}{(x-2)(x+3)(x+1)}< \displaystyle\frac{1(x+3)}{(x-2)(x+1)(x+3)} -\displaystyle\frac{1(x-2)}{(x+3)(x+1)(x-2)} \\
\displaystyle\frac{2(x+1)-(x+3)+(x-2)}{(x-2)(x+3)(x+1)}<0\\
\displaystyle\frac{2x+2-x-3+x-2}{(x-2)(x+3)(x+1)}<0\\
(2x-3)(x-2)(x+3)(x+1)<0\\
x=\displaystyle\frac{3}{2} \ \vee \ x=2 \ \vee \ x=-3 \ \vee \ x=-1
\end{array}\]
Każdy z pierwiastków jest jednokrotny. Szkicujemy wykres i odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

Zatem \[x\in \left ( -3;-1 \right )\cup \left ( \displaystyle\frac{3}{2};2 \right ).\]

Zadanie 3.3.3