Polecenie
Naszkicuj wykres funkcji f(x)=3x−2x+1 przekształcając wykres funkcji y=ax.
- Podaj dziedzinę, zbiór wartości, równania asymptot i środek symetrii wykresu funkcji f.
- Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe od 2?
- Naszkicuj wykres funkcji h(x)=|f(−x)|.
Rozwiązanie
Krok 1
Aby naszkicować wykres funkcji f należy przedstawić ją w postaci kanonicznej. Przekształcamy wzór tak, aby dało się zapisać wyrażenie w postaci sumy, w której jeden z czynników skraca się do liczby.
A dokładniej:
f(x)=3x−2x+1=3(x+1)−5x+1=3(x+1)x+1−5x+1=−5x+1+3.
Zaczynamy więc szkicowanie od wykresu funkcji y=−5x i przesuwamy go w układzie współrzędnych o wektor →v=[−1,3].
A dokładniej:
f(x)=3x−2x+1=3(x+1)−5x+1=3(x+1)x+1−5x+1=−5x+1+3.
Zaczynamy więc szkicowanie od wykresu funkcji y=−5x i przesuwamy go w układzie współrzędnych o wektor →v=[−1,3].

Krok 2
Odczytujemy z wykresu:
D=R∖{−1},ZW=R∖{3}.
Równania asymptot: x=−1,y=3.
Środek symetrii wykresu funkcji f to punkt S(−1,3).
D=R∖{−1},ZW=R∖{3}.
Równania asymptot: x=−1,y=3.
Środek symetrii wykresu funkcji f to punkt S(−1,3).
Krok 3
Aby wyznaczyć zbiór tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości większe od 2 wystarczy rozwiązać nierówność 3x−2x+1>2 lub odczytać z wykresu, przy czym argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 2 musimy wyznaczyć algebraicznie, czyli wyliczyć z równania 3x−2x+1=2.
Rozwiązujemy nierówność, wynik przedstawimy również graficznie w układzie współrzędnych.
3x−2x+1>23x−2−2(x+1)x+1>03x−2−2x−2x+1>0x−4x+1>0(x−4)(x+1)>0x=4∨x=−1
Rozwiązujemy nierówność, wynik przedstawimy również graficznie w układzie współrzędnych.
3x−2x+1>23x−2−2(x+1)x+1>03x−2−2x−2x+1>0x−4x+1>0(x−4)(x+1)>0x=4∨x=−1

Zatem x∈(−∞,−1)∪(4,∞).
Geometryczna interpretacja:
Geometryczna interpretacja:

Krok 4
Szkicując wykres funkcji |f(−x)| zaczniemy od funkcji y=f(−x) przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi OY.
W kolejnym kroku przekształcimy wykres funkcji y=f(−x) w symetrii względem osi OX ale tylko tą część wykresu, dla których wartości funkcji f(−x) są ujemne. W ten sposób otrzymamy wykres funkcji |f(−x)|.
W kolejnym kroku przekształcimy wykres funkcji y=f(−x) w symetrii względem osi OX ale tylko tą część wykresu, dla których wartości funkcji f(−x) są ujemne. W ten sposób otrzymamy wykres funkcji |f(−x)|.


Wskazówki
Definicja funkcji homograficznej
Funkcją homograficzną nazywamy funkcję postaci f(x)=ax+bcx+d, dla c≠0, ad−bc≠0.
Uwaga
Każdą funkcję homograficzną da się przedstawić w postaci kanonicznej f(x)=kx−p+q.
Polecenie
Naszkicuj wykres funkcji f(x)=4x+1x−2 przekształcając wykres funkcji y=ax.
- Podaj dziedzinę, zbiór wartości, równania asymptot i środek symetrii wykresu funkcji f.
- Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości niedodatnie?
- Naszkicuj wykres funkcji h(x)=−f(|x|).