Zadanie 3.3.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.3 Funkcja wielomianowa, wymierna i potęgowa
  4. Zadanie 3.3.3

 Polecenie

Naszkicuj wykres funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{3x-2}{x+1}\) przekształcając wykres funkcji \(y=\displaystyle\frac{a}{x}.\)
  1. Podaj dziedzinę, zbiór wartości, równania asymptot i środek symetrii wykresu funkcji \(f.\)
  2. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe od \(2?\)
  3. Naszkicuj wykres funkcji \(h(x)=\left | f(-x) \right |.\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Aby naszkicować wykres funkcji \(f\) należy przedstawić ją w postaci kanonicznej. Przekształcamy wzór tak, aby dało się zapisać wyrażenie w postaci sumy, w której jeden z czynników skraca się do liczby.
A dokładniej:
\[f(x)=\displaystyle\frac{3x-2}{x+1}=\displaystyle\frac{3(x+1)-5}{x+1}=\displaystyle\frac{3(x+1)}{x+1}-\displaystyle\frac{5}{x+1}=\displaystyle\frac{-5}{x+1}+3.\]
Zaczynamy więc szkicowanie od wykresu funkcji \(y=\displaystyle\frac{-5}{x}\) i przesuwamy go w układzie współrzędnych o wektor \(\overrightarrow{v}=[-1,3].\)
Rysunek 3.3.3.1

 Krok 2

Odczytujemy z wykresu:
\[D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -1 \right \},\\
ZW=\mathbb{R}\setminus \left \{ 3 \right \}.\]
Równania asymptot: \(x=-1, y=3.\)
Środek symetrii wykresu funkcji \(f\) to punkt \(S(-1,3).\)

 Krok 3

Aby wyznaczyć zbiór tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości większe od \(2\) wystarczy rozwiązać nierówność \(\displaystyle\frac{3x-2}{x+1}> 2\) lub odczytać z wykresu, przy czym argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość \(2\) musimy wyznaczyć algebraicznie, czyli wyliczyć z równania \(\displaystyle\frac{3x-2}{x+1}=2.\)
Rozwiązujemy nierówność, wynik przedstawimy również graficznie w układzie współrzędnych.
\[\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{3x-2}{x+1}>2\\
\displaystyle\frac{3x-2-2(x+1)}{x+1}>0\\
\displaystyle\frac{3x-2-2x-2}{x+1}>0\\
\displaystyle\frac{x-4}{x+1}>0\\
(x-4)(x+1)>0\\
x=4 \vee x=-1
\end{array}\]
Rysunek 3.3.3.3
Zatem \[x\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( 4,\infty  \right ).\]
Geometryczna interpretacja:
Rysunek 3.3.3.2

 Krok 4

Szkicując wykres funkcji \(|f(-x)|\) zaczniemy od funkcji \(y=f(-x)\) przekształcając wykres funkcji \(f\) w symetrii względem osi \(OY.\)
W kolejnym kroku przekształcimy wykres funkcji \(y=f(-x)\) w symetrii względem osi \(OX\) ale tylko tą część wykresu, dla których wartości funkcji \(f(-x)\) są ujemne. W ten sposób otrzymamy wykres funkcji \(|f(-x)|.\)
Rysunek 3.3.3.4a
Rysunek 3.3.3.4b

 Wskazówki

Definicja funkcji homograficznej

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję postaci \[f(x)=\displaystyle\frac{ax+b}{cx+d}, \ \  \textrm{dla} \ \  c\neq 0,\ \  ad-bc\neq 0.\]
Uwaga
Każdą funkcję homograficzną da się przedstawić w postaci kanonicznej \[f(x)=\displaystyle\frac{k}{x-p}+q.\]

 Polecenie

Naszkicuj wykres funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{4x+1}{x-2}\) przekształcając wykres funkcji \(y=\displaystyle\frac{a}{x}.\)
  1. Podaj dziedzinę, zbiór wartości, równania asymptot i środek symetrii wykresu funkcji \(f.\)
  2. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości niedodatnie?
  3. Naszkicuj wykres funkcji \(h(x)=-f(|x|) .\)

 Odpowiedź

Wykres funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{4x+1}{x-2}=\displaystyle\frac{4(x-2)+9}{x-2}=\displaystyle\frac{4(x-2)}{x-2}-\displaystyle\frac{9}{x-2}=\displaystyle\frac{9}{x-2}+4.\)
Rysunek 3.3.3.spr1
1. Dziedzina i zbiór wartości:
\(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 2 \right \}\\
ZW=\mathbb{R}\setminus \left \{ 4 \right \}\)
Równania asymptot:
\(x=2,\  y=4.\)
Środek symetrii: \(S=(2,4).\)
2. \(f(x)\leq 0 \ \Leftrightarrow \ x\in \left \langle -\displaystyle\frac{1}{4}, 2 \right ).\)
3. Wykres funkcji \(-f(|x|).\)
Rysunek 3.3.3.spr2