Processing math: 100%
Zadanie 3.3.3

 Polecenie

Naszkicuj wykres funkcji f(x)=3x2x+1 przekształcając wykres funkcji y=ax.
  1. Podaj dziedzinę, zbiór wartości, równania asymptot i środek symetrii wykresu funkcji f.
  2. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe od 2?
  3. Naszkicuj wykres funkcji h(x)=|f(x)|.

 Rozwiązanie

 Krok 1

Aby naszkicować wykres funkcji f należy przedstawić ją w postaci kanonicznej. Przekształcamy wzór tak, aby dało się zapisać wyrażenie w postaci sumy, w której jeden z czynników skraca się do liczby.
A dokładniej:
f(x)=3x2x+1=3(x+1)5x+1=3(x+1)x+15x+1=5x+1+3.
Zaczynamy więc szkicowanie od wykresu funkcji y=5x i przesuwamy go w układzie współrzędnych o wektor v=[1,3].
Rysunek 3.3.3.1

 Krok 2

Odczytujemy z wykresu:
D=R{1},ZW=R{3}.
Równania asymptot: x=1,y=3.
Środek symetrii wykresu funkcji f to punkt S(1,3).

 Krok 3

Aby wyznaczyć zbiór tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości większe od 2 wystarczy rozwiązać nierówność 3x2x+1>2 lub odczytać z wykresu, przy czym argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 2 musimy wyznaczyć algebraicznie, czyli wyliczyć z równania 3x2x+1=2.
Rozwiązujemy nierówność, wynik przedstawimy również graficznie w układzie współrzędnych.
3x2x+1>23x22(x+1)x+1>03x22x2x+1>0x4x+1>0(x4)(x+1)>0x=4x=1
Rysunek 3.3.3.3
Zatem x(,1)(4,).
Geometryczna interpretacja:
Rysunek 3.3.3.2

 Krok 4

Szkicując wykres funkcji |f(x)| zaczniemy od funkcji y=f(x) przekształcając wykres funkcji f w symetrii względem osi OY.
W kolejnym kroku przekształcimy wykres funkcji y=f(x) w symetrii względem osi OX ale tylko tą część wykresu, dla których wartości funkcji f(x) są ujemne. W ten sposób otrzymamy wykres funkcji |f(x)|.
Rysunek 3.3.3.4a
Rysunek 3.3.3.4b

 Wskazówki

Definicja funkcji homograficznej

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję postaci f(x)=ax+bcx+d,  dla  c0,  adbc0.
Uwaga
Każdą funkcję homograficzną da się przedstawić w postaci kanonicznej f(x)=kxp+q.

 Polecenie

Naszkicuj wykres funkcji f(x)=4x+1x2 przekształcając wykres funkcji y=ax.
  1. Podaj dziedzinę, zbiór wartości, równania asymptot i środek symetrii wykresu funkcji f.
  2. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości niedodatnie?
  3. Naszkicuj wykres funkcji h(x)=f(|x|).

 Odpowiedź

Wykres funkcji f(x)=4x+1x2=4(x2)+9x2=4(x2)x29x2=9x2+4.
Rysunek 3.3.3.spr1
1. Dziedzina i zbiór wartości:
D=R{2}ZW=R{4}
Równania asymptot:
x=2, y=4.
Środek symetrii: S=(2,4).
2. f(x)0  x14,2).
3. Wykres funkcji f(|x|).
Rysunek 3.3.3.spr2