Zadanie 3.3.4
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.3 Funkcja wielomianowa, wymierna i potęgowa
  4. Zadanie 3.3.4

 Polecenie

Naszkicuj wykres funkcji potęgowej \(f(x)=x^{\alpha }\) dla podanej wartości \(\alpha\) oraz
  1. wyznacz dziedzinę, zbiór wartości i określ monotoniczność funkcji \(f,\)
  2. naszkicuj wykres funkcji \(|1-f(x)|,\)
  3. rozwiąż równanie \(f(x-1)-f(x+2)=4.\)
\(a) \ \ \alpha =3,\)

 Rozwiązanie

Wykres funkcji \(f(x)=x^{3}.\)
Rysunek 3.3.4.6
1. \(D=\mathbb{R}\\
ZW=\mathbb{R}\\
\underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall } f \nearrow \)

2. Wykres funkcji \(|1-f(x)|\) będziemy szkicować etapami:
  • \(f(x)\)
  • \(-f(x) \ \rightarrow \ S_{OX}\)
  • \(-f(x)+1 \ \rightarrow T_{\displaystyle\overrightarrow{w}=[0,1]}\)
  • \(\left | -f(x)+1 \right |=\left | 1-f(x) \right | \ \rightarrow  \  \underset{\large{y \lt 0}}{\huge \forall } S_{OX}.\)
Rysunek 3.3.4.9
3. \(f(x-1)-f(x+2)=4\)
Podstawiamy do wzoru \(f(x)=x^{3}\) kolejno argumenty \(x-1\) oraz \(x+2.\) Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na  \((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}, \ (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\) 
\[\begin{array}{l}
(x-1)^{3}-(x+2)^{3}=4\\
x^{3}-3x^{2}+3x-1-(x^{3}+6x^{2}+12x+8)-4=0\\
x^{3}-3x^{2}+3x-1-x^{3}-6x^{2}-12x-8-4=0\\
-9x^{2}-9x-13=0\\
\Delta =(-9)^{2}-4\cdot (-9)\cdot (-13)< 0
\end{array}\]
Ponieważ delta jest ujemna, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, zatem równanie nie ma rozwiązania
\[x\in \varnothing .\]
\(b) \ \ \alpha =-1, \)

 Rozwiązanie

 Krok 1

W pierwszym kroku naszkicujemy wykres funkcji \(f(x)=x^{-1}=\displaystyle\frac{1}{x}\ .\)
Można stworzyć tabelkę częściowa i zaznaczyć kilka punktów dla argumentów dodatnich i kilka dla argumentów ujemnych w układzie współrzędnych.
Rysunek 3.3.4.7
Spróbuj wyznaczyć dziedzinę, zbiór wartości oraz monotoniczność funkcji \(f.\)

 Krok 2

\(D=\mathbb{R} \setminus \left \{ 0 \right \},\\
ZW=\mathbb{R} \setminus \left \{ 0 \right \}.\)
Funkcja przedziałami malejąca
\(f \searrow \ \textrm{dla } \ x\in \left ( -\infty ;0 \right )\\
f \searrow  \ \textrm{dla } \ x\in \left ( 0;\infty  \right ).\\\)
Spróbuj naszkicować wykres funkcji \(|1-f(x)|.\)

 Krok 3

Wykres funkcji \(|1-f(x)|\) będziemy szkicować etapami:
  • \(f(x\)
  • \(-f(x) \ \rightarrow \ S_{OX}\)
  • \(-f(x)+1 \ \rightarrow T_{\displaystyle\overrightarrow{w}=[0,1]}\)
  • \(\left | -f(x)+1 \right |=\left | 1-f(x) \right | \ \rightarrow  \  \underset{\large{y \lt 0}}{\huge \forall } S_{OX}.\)
Rysunek 3.3.4.10
Spróbuj rozwiązać równanie \(f(x-1)-f(x+2)=4.\)

 Krok 4

Rozwiązujemy równanie \(f(x-1)-f(x+2)=4\) jako równanie wymierne. Dziedziną takiego równania jest zbiór \(\mathbb{R}\setminus \left \{ -2,1 \right \}.\)
\[\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{1}{x+2}=4\\
\displaystyle\frac{x+2-(x-1)-4(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)}=0\\
\displaystyle\frac{x+2-x+1-4x^{2}-4x+8}{(x-1)(x+2)}=0\\
-4x^{2}-4x+11=0\\
\Delta =(-4)^{2}-4\cdot (-4)\cdot 11=192\\
\sqrt{\Delta }=8\sqrt{3}\\
x_{1}=\displaystyle\frac{4-8\sqrt{3}}{-8}=\displaystyle\frac{-1+2\sqrt{3}}{2}\\
x_{2}=\displaystyle\frac{4+8\sqrt{3}}{-8}=\displaystyle\frac{-1-2\sqrt{3}}{2}
\end{array}\]
Zatem \[x\in \left \{ \displaystyle\frac{-1+2\sqrt{3}}{2},\ \displaystyle\frac{-1-2\sqrt{3}}{2}\right \}.\]
\(c) \ \ \alpha =\displaystyle\frac{1}{2}.\)

 Rozwiązanie

Wskazówka
W każdym kroku wybierz prawidłową odpowiedź i kliknij przycisk "Sprawdź."

 Krok 1

Wykres funkcji \(f(x)=\displaystyle x^{\large\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\) przedstawia rysunek:

Rysunek 3.3.4.8

Odpowiedź prawidłowa

Rysunek 3.3.4.8b

Odpowiedź nieprawidłowa

Rysunek 3.3.4.8c

Odpowiedź nierpawidłowa

 Krok 2

Które z trzech zestawów własności są własnościami funkcji \( f(x)=\sqrt{x}?\)

\[D=\mathbb{R}_{+}\cup \left \{ 0 \right \}\\
ZW=\mathbb{R}_{+}\\
\underset{x\in \mathbb{D}}{\huge \forall } f \ \nearrow\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[D=\mathbb{R}_{+}\cup \left \{ 0 \right \}\\
ZW=\mathbb{R}_{+}\\
\underset{x\in \mathbb{D}}{\huge \forall } f \ \searrow\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[D=\mathbb{R}_{+}\cup \left \{ 0 \right \}\\
ZW=\mathbb{R}_{+}\cup \left \{ 0 \right \}\\
\underset{x\in \mathbb{D}}{\huge \forall } f \ \nearrow\]

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 3

Który z przedstawionych rysunków przedstawia wykres funkcji \(|1-f(x)|,\) gdzie \(f(x)=\sqrt{x}?\)

Rysunek 3.3.4.11a

Odpowiedź nieprawidłowa

Rysunek 3.3.4.11

Odpowiedź prawidłowa

Rysunek 3.3.4.11c

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 4

Rozwiązaniem równania \(f(x-1)-f(x+2)=4,\) dla \(f(x)=\sqrt{x}\) są liczby należące do zbioru:

\[\mathbb{R}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\mathbb{R}_{+}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\varnothing\]

Odpowiedź prawidłowa
\[ \begin{array}{l}
D=\left \langle 1;\infty  \right )\\
\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=4\\
\sqrt{x-1}=4+\sqrt{x+2} \ \ \ /()^{2}
\end{array}\]Możemy podnieść obustronnie do potęgi drugiej, gdyż obie strony są dodatnie dla argumentów z dziedziny.
\[ \begin{array}{l}
x-1=16+8\sqrt{x+2}+x+2\\
-19=8\sqrt{x+2}\\
\textrm{sprzeczność}\\
x\in \varnothing
\end{array}\]

Podsumowanie

Wszystkie kroki z zadania 3.3.4.c zostały wykonane prawidłowo.

 Wskazówki

Definicja funkcji potęgowej

Funkcją potęgową nazywamy funkcję \(f: D\rightarrow \mathbb{R}\) postaci \(f(x)=x^{\alpha }.\)

Własności funkcji potęgowej

Własności funkcji potęgowej zależą od wykładnika \(\alpha.\)
Dla \(\alpha=1,\) czyli funkcja \(f(x)=x.\)
Wykres funkcji potęgowej  \(f(x)=x^{\alpha },\) dla \(\alpha=1,\) czyli funkcji \(f(x)=x.\)
Rysunek 3.3.4.5c


  1. \(D=\mathbb{R}\)
  2. \(ZW=\mathbb{R}\)
  3. \(f \nearrow \ \ \Leftrightarrow \ \ x\in D\)
  4. Miejsce zerowe \(x_{0}=0\)
  5. \(f(x) \gt 0 \ \Leftrightarrow  \ x\in \left ( 0;\infty  \right )\)
    \(f(x) \lt 0 \ \Leftrightarrow  \ x\in \left ( -\infty ; 0  \right )\)
Dla \(\alpha=2k,\) gdzie \(k \in \mathbb{N}_{+}\)
Wykres funkcji potęgowej  \(f(x)=x^{\alpha },\) dla \(\alpha=2k,\) gdzie \(k \in \mathbb{N}_{+}.\)
Rysunek 3.3.4.1

  1. \(D=\mathbb{R}\)
  2. \(ZW=\left \langle 0;\infty  \right )\)
  3. \(f \nearrow \ \ \Leftrightarrow \ \ x\in \left ( 0;\infty  \right )\)
    \(f \searrow \ \ \Leftrightarrow \ \ x\in \left ( -\infty;0  \right )\)
  4. \(\underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall } \ f(x)\geq 0\)
  5. Miejsce zerowe \(x_{0}=0\)
Dla \(\alpha=2k+1,\) gdzie \(k \in \mathbb{N}_{+}\)
Wykres funkcji potęgowej  \(f(x)=x^{\alpha },\) dla \(\alpha=2k+1,\) gdzie \(k \in \mathbb{N}_{+}.\)
Rysunek 3.3.4.2


  1. \(D=\mathbb{R},\)
  2. \(ZW=\mathbb{R}\)
  3. \(\underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall }\ f \nearrow \)
  4. Miejsce zerowe \(x_{0}=0\)
  5. \(f(x) \gt 0 \ \Leftrightarrow  \ x\in \left ( 0;\infty  \right )\)
    \(f(x) \lt 0 \ \Leftrightarrow  \ x\in \left (-\infty;0  \right )\)
Dla \(\alpha=2k,\) gdzie \(k \in \mathbb{Z}_{-}\)
Wykres funkcji potęgowej  \(f(x)=x^{\alpha },\) dla \(\alpha=2k,\) gdzie \(k \in \mathbb{Z}_{-}\)
Rysunek 3.3.4.3


  1. \(D=\mathbb{R}\)
  2. \(ZW=\left ( 0;\infty  \right )\)
  3. \(f \nearrow \ \ \Leftrightarrow \ \ x\in \left ( -\infty;0  \right )\)
    \(f \searrow \ \ \Leftrightarrow \ \ x\in \left (   0;\infty \right )\)
  4. \(\underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall } \ f(x)>0\)
  5. Brak miejsc zerowych
Dla \(\alpha=2k-1,\) gdzie \(k \in \mathbb{Z}_{-}\cup \left \{ 0 \right \}\)
Wykres funkcji potęgowej  \(f(x)=x^{\alpha },\) dla \(\alpha=2k-1,\) gdzie \(k \in \mathbb{Z}_{-}\cup \left \{ 0 \right \}.\)
Rysunek 3.3.4.4


  1. \(D=\mathbb{R}\)
  2. \(ZW=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\)
  3. \(f \searrow \ \ \Leftrightarrow \ \ x\in D\)
  4. \(f(x) \gt 0 \ \Leftrightarrow  \ x\in \left ( 0;\infty  \right )\)
    \(f(x) \lt 0 \ \Leftrightarrow  \ x\in \left ( -\infty ; 0  \right )\)
  5. Brak miejsc zerowych
Dla \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{k}\ ,\) gdzie \(k \in \left \{ 2,4,6 \cdots \right \}\)
Wykres funkcji potęgowej  \(f(x)=x^{\alpha },\) dla \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{k},\) gdzie \(k \in \left \{ 2,4,6 \cdots  \right \}.\)
Rysunek 3.3.4.5


  1. \(D=\left \langle 0;\infty  \right )\)
  2. \(ZW=\left \langle 0;\infty  \right )\)
  3. \(f \nearrow \ \ \Leftrightarrow \ \ x\in D\)
  4. Miejsce zerowe \(x_{0}=0\)
  5. \(\underset{x\in D}{\huge \forall } \ f(x) \gt 0 \)
Dla \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{k}\ ,\) gdzie \(k \in \left \{ 3,5,7 \cdots \right \}\)
Wykres funkcji potęgowej  \(f(x)=x^{\alpha },\) dla \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{k}\ ,\) gdzie \(k \in \left \{ 3,5,7 \cdots  \right \}.\)
Rysunek 3.3.4.5a


  1. \(D=\mathbb{R}\)
  2. \(ZW=\mathbb{R}\)
  3. \(f \nearrow \ \ \Leftrightarrow \ \ x\in D\)
  4. Miejsce zerowe \(x_{0}=0\)
  5. \(f(x) \gt 0 \ \Leftrightarrow  \ x\in \left ( 0;\infty  \right )\)
    \(f(x) \lt 0 \ \Leftrightarrow  \ x\in \left ( -\infty ; 0  \right )\)
Dla \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{k}\ ,\) gdzie \(k \in \left \{ -2,-4,-6 \cdots \right \}\)
Wykres funkcji potęgowej  \(f(x)=x^{\alpha },\) dla \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{k}\ ,\) gdzie \(k \in \left \{ -2,-4,-6 \cdots  \right \}.\)
Rysunek 3.3.4.5d


    \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\)
    \(ZW=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\)
    \(f \searrow \ \ \Leftrightarrow \ \ x\in \left ( -\infty;0  \right )\cup \left ( 0;\infty  \right ) \)
    Brak miejsc zerowych.
    \(f(x) \gt 0 \ \Leftrightarrow  \ x\in \left ( 0;\infty  \right )\)
    \(f(x) \lt 0 \ \Leftrightarrow  \ x\in \left ( -\infty ; 0  \right )\)
    Asymptoty: \(x=0, \ \ y=0.\)
Dla \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{k}\ ,\) gdzie \(k \in \left \{ -3,-5,-7 \cdots \right \}\)
Wykres funkcji potęgowej  \(f(x)=x^{\alpha },\) dla \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{k}\ ,\) gdzie \(k \in \left \{ -3,-5,-7 \cdots  \right \}.\)
Rysunek 3.3.4.5e


  1. \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\)
  2. \(ZW=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\)
  3. \(f \searrow \ \ \Leftrightarrow \ \ x\in \left ( -\infty;0  \right )\cup \left ( 0;\infty  \right ) \)
  4. Brak miejsc zerowych.
  5. \(f(x) \gt 0 \ \Leftrightarrow  \ x\in \left ( 0;\infty  \right )\)
    \(f(x) \lt 0 \ \Leftrightarrow  \ x\in \left ( -\infty ; 0  \right )\)
  6. Asymptoty: \(x=0, \ \ y=0.\)

 Polecenie

Naszkicuj wykres funkcji potęgowej \(f(x)=x^{\alpha }\) dla podanej wartości \(\alpha\) oraz
  1. wyznacz dziedzinę, zbiór wartości i określ monotoniczność funkcji \(f,\)
  2. naszkicuj wykres funkcji \(f(|x-2|)-1.\)
\(a) \ \ \alpha=1\)

 Odpowiedź

Wykres funkcji \(f(x)=x.\)
Rysunek 3.3.4.spr.c1
\(1. \  D=\mathbb{R}\\
ZW=\mathbb{R}\\
\underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall }\  f\nearrow \)
\(2.\) Wykres funkcji \(f(|x-2|)-1.\)
Rysunek 3.3.4.spr.c22
\(b) \ \ \alpha=-3\)

 Odpowiedź

Wykres funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^{3}}.\)
Rysunek 3.3.4.spr.c2
\(1.\\
D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\\
ZW=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\\
f \searrow \ \ \textrm{dla } \ \ x\in \left ( -\infty;0  \right )\\
f \searrow \ \ \textrm{dla } \ \ x\in \left ( 0;\infty  \right )\\\)
\(2.\) Wykres funkcji \(f(|x-2|)-1.\)
Rysunek 3.3.4.spr.c23
\(c) \ \ \alpha=-\displaystyle\frac{1}{2}\)

 Odpowiedź

Wykres funkcji \(f(x)=\sqrt{x}.\)
Rysunek 3.3.4.spr.c3
\(2.\\D=\left ( 0;\infty  \right )\\
ZW=\left ( 0;\infty  \right )\\
\underset{x\in D}{\huge \forall } \ f \searrow \\ \)
\(3.\) Wykres funkcji \(f(|x-2|)-1.\)
Rysunek 3.3.4.spr.c24