Zadanie 3.4.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.4 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
  4. Zadanie 3.4.3

 Polecenie

Znajdź funkcję odwrotną do funkcji \(f\). Naszkicuj wykresy funkcji \(f\) i \(f^{-1}\) w tym samym układzie współrzędnych.

 Wskazówki

Definicja i własności funkcji wykładniczej

Funkcję \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}_{+}\) określoną wzorem \(f(x)=a^{x},\) gdzie \(a\in \mathbb{R}_{+}\setminus \left \{ 1 \right \}\) nazywamy funkcją wykładniczą.

Poniższe rysunki przedstawiają wykresy funkcji wykładniczej, odpowiednio dla \(a>1,\) oraz dla \(0<a<1.\)
Rysunek 3.4.3.3
\(D=\mathbb{R}\\
ZW=\mathbb{R}_{+}\\
\underset{x\in D}{\huge \forall }\  f \nearrow \)
Funkcja jest różnowartościowa, tzn. \(a^{x_{1}}=a^{x_{2}}\ \Rightarrow x_{1}=x_{2}\)
Asymptoty: \(y=0.\)
Rysunek 3.4.3.4
\(D=\mathbb{R}\\
ZW=\mathbb{R}_{+}\\
\underset{x\in D}{\huge \forall }\  f \searrow \)
Funkcja jest różnowartościowa, tzn. \(a^{x_{1}}=a^{x_{2}}\ \Rightarrow x_{1}=x_{2}\)
Asymptoty: \(y=0.\)

Definicja i własności funkcji logarytmicznej

Funkcję \(f: \mathbb{R}_{+}\rightarrow \mathbb{R}\) określoną wzorem \(f(x)=\textrm{log}_{a}x,\) gdzie \( a\in \mathbb{R}_{+}\setminus \left \{ 1 \right \}\) nazywamy funkcją logarytmiczną.
Rysunek 3.4.3.5
\(D=\mathbb{R}_{+}\\
ZW=\mathbb{R}\\
\underset{x\in D}{\huge \forall }\  f \nearrow \)
Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa, tzn.\(\textrm{log}_{a}x_{1}=\textrm{log}_{a}x_{2}\ \Rightarrow x_{1}=x_{2}.\)
Asymptoty:\(x=0.\)
Funkcja \(f(x)=\textrm{log}_{a}x\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(f(x)=a^{x};\) ich wykresy są symetryczne względem prostej \(y=x.\)
Rysunek 3.4.3.6
\(D=\mathbb{R}_{+}\\
ZW=\mathbb{R}\\
\underset{x\in D}{\huge \forall }\  f \searrow \)
Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa, tzn.\(\textrm{log}_{a}x_{1}=\textrm{log}_{a}x_{2}\ \Rightarrow x_{1}=x_{2}.\)
Asymptoty:\(x=0.\)
Funkcja \(f(x)=\textrm{log}_{a}x\) jest funkcją odwrotną do funkcji \(f(x)=a^{x};\) ich wykresy są symetryczne względem prostej \(y=x.\)

 Funkcja 1

\(\large{f(x)=5^{\frac{1}{x}}}\)

 Rozwiązanie

Aby wyznaczyć funkcję odwrotną należy wyznaczyć najpierw dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(f: \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\ \rightarrow \ \mathbb{R}_{+}\setminus \left \{ 1 \right \}.\)
Wyznaczając dziedzinę, musimy założyć, że \(x\neq 0,\) natomiast jeśli chodzi o zbiór wartości, należy spojrzeć na wzór funkcji. Funkcja \(\large{y=5^{\frac{1}{x}}}\) przyjmuje tylko wartości dodatnie, na dodatek nigdy nie przyjmie wartości \(1,\) gdyż wyrażenie \(\displaystyle\frac{1}{x}\) nie przyjmie wartości \(0.\)
Przekształcamy wzór funkcji \(f\) i wyznaczamy zmienną \(x.\)
\[ \begin{array}{l}
\large{y=\large{5^{\frac{1}{x}}\ \ /\textrm{log}_{5}}}\\
\large{\textrm{log}_{5}y=\textrm{log}_{5}5^{\frac{1}{x}}}\\
\large{\textrm{log}_{5}y=\displaystyle\frac{1}{x}}\\
\large{1=x\cdot \textrm{log}_{5}y}\\
\large{x=\displaystyle\frac{1}{ \textrm{log}_{5}y}}
\end{array}\]
Zatem funkcja odwrotna \(f^{-1}:\mathbb{R}_{+}\setminus \left \{ 1 \right \}  \ \rightarrow \    \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}\) ma postać \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{1}{ \textrm{log}_{5}x}.\)

Szkicujemy wykresy funkcji tworząc tabele częściowe dla obu funkcji, ujmując argumenty z dziedziny, kilka dodatnich jak i ujemnych.
Rysunek 3.4.3.1

 Odpowiedź

Funkcja odwrotna do funkcji \(\large{f(x)=5^{\frac{1}{x}}}\) ma postać \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{1}{ \textrm{log}_{5}x}.\)

 Funkcja 2

\(\large{f(x)=\textrm{ln}(x-e)}\)

 Rozwiązanie

Wyznaczamy dziedzinę funkcji \(f.\)
\[x-e \gt 0\\
x \gt e\]
Zatem \(f:\left ( e;\infty  \right )\ \rightarrow \ \mathbb{R}.\)
Wyznaczamy zmienną \(x\) ze wzoru na
\[\begin{array}{l}
y=\textrm{ln}(x-e)\\
x-e=e^{y}\\
x=e^{y}+e
\end{array}\]
Funkcja odwrotna \(f^{-1}:\mathbb{R}\ \rightarrow \ \left ( e;\infty  \right )\) ma więc postać \(f^{-1}=e^{x}+e.\)

Szkicujemy wykres funkcji \(y=\textrm{ln}x,\) tworząc tabelkę częściową. W kolejnym kroku przesuwamy wykres tej funkcji o wektor \([e,0].\)
Dla funkcji odwrotnej zaczynamy od wykresu funkcji \(y=e^{x}\) i przesuwamy o wektor \([0,e].\)
Rysunek 3.4.3.2

 Odpowiedź

Funkcja odwrotna do funkcji \(\large{f(x)=\textrm{ln}(x-e)}\) ma postać \(f^{-1}=e^{x}+e.\)

 Polecenie

Znajdź funkcję odwrotną do funkcji \(f\). Naszkicuj wykresy funkcji \(f\) i \(f^{-1}\) w tym samym układzie współrzędnych.

 Funkcja 1

\(\large{f(x)=\log_\frac{1}{3}(x-1)+2}\)

 Odpowiedź

Funkcja odwrotna do funkcji \(f(x)=\textrm{log}_\frac{1}{3}(x-1)+2\) ma postać \(f^{-1}(x)=9\Big(\displaystyle\frac{1}{3}\ \Big)^{x}+1.\)

 Rowiązanie

\[f(x)=\log_\frac{1}{3}(x-1)+2\\
x-1 \gt 0\\
x \gt 0\\
D=\left ( 1;\infty  \right )\]
Mamy więc \(f:\left ( 1;\infty  \right )\ \rightarrow \ \mathbb{R}\\
f^{-1}:\mathbb{R}\ \rightarrow \ \left ( 1;\infty  \right ).\)
\[ \begin{array}{l}
y=\log_\frac{1}{3}(x-1)+2\\
y-2=\log_\frac{1}{3}(x-1)\\
x-1=\Big(\displaystyle\frac{1}{3}\ \Big)^{y-2}\\
x-1=\displaystyle\frac{\Big(\displaystyle\frac{1}{3}\ \Big)^{y}}{\Big(\displaystyle\frac{1}{3}\ \Big)^{2}}\\
x-1=9\Big(\displaystyle\frac{1}{3}\ \Big)^{y}\\
x=9\Big(\displaystyle\frac{1}{3}\ \Big)^{y}+1\\
\end{array}\]
Zatem \(f^{-1}(x)=9\Big(\displaystyle\frac{1}{3}\ \Big)^{x}+1.\)
Rysunek 3.4.3.spr.1

 Funkcja 2

\( \large{f(x)=e^{2x}}\)

 Odpowiedź

Funkcją odwrotną do funkcji \(f(x)=e^{2x}\) jest \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\ \ln x.\)

 Rozwiązanie

\(f:\mathbb{R}\ \rightarrow \ \mathbb{R}_{+}\\
f^{-1}:\mathbb{R}_{+}\ \rightarrow \ \mathbb{R}\)
\[ \begin{array}{l}
y=e^{2x}\ \ /\ln\\
\ln y=\ln e^{2x}\\
\ln y=2x\ln e\\
\ln y=2x\\
x=\displaystyle\frac{1}{2}\ln y
\end{array}\]
Funkcja odwrotna ma więc postać \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\ \ln x.\)
Rysunek 3.4.3.spr.2