Zadanie 3.5.1
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.5 Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne
  4. Zadanie 3.5.1

 Polecenie

Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych.

 Wskazówki

Wzory redukcyjne

Nie ma wzorów, z których korzystając, można by było wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych wszystkich możliwych kątów.
Są jednak pewne zasady i własności, nazwane ogólnie wzorami redukcyjnymi. Wyznaczając wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej pewnego kąta, należy pamiętać o okresowości, parzystości i nieparzystości, znaku w poszczególnych ćwiartkach oraz wartościach dla pewnych podstawowych kątów funkcji trygonometrycznych. Musimy również wiedzieć, kiedy funkcja zmieni się na kofunkcję a kiedy pozostanie bez zmian.

OKRESOWOŚĆ \((k\in \mathbb{Z})\)

\[\begin{array}{l}
\sin (k\cdot 2\pi +\alpha ) =\sin \alpha \\
\cos (k\cdot 2\pi +\alpha ) =\textrm{cos}\alpha \\
\operatorname{tg}{(k\cdot \pi +\alpha )} =\operatorname{tg}{\alpha} \\
\operatorname{ctg}{(k\cdot \pi +\alpha )} =\operatorname{ctg}{\alpha}
\end{array}\]

PARZYSTOŚĆ / NIEPARZYSTOŚĆ

\[ \begin{array}{l}
\sin (-\alpha ) =-\sin \alpha \\
\cos (-\alpha ) =\cos \alpha \\
\operatorname{tg}{(-\alpha )} =-\operatorname{tg}{\alpha} \\
\operatorname{ctg}{(-\alpha )} =-\operatorname{ctg}{\alpha}
\end{array}\]

ZNAK

Rysunek 3.5.1.7

WARTOŚCI

Rysunek 3.5.1.8

ZAMIANA NA KOFUNKCJĘ

\[\large{\textrm{funkcja} ( k\cdot\displaystyle\frac{\pi }{2}\pm \alpha  )=
\begin{cases}
\pm \textrm{funkcja} (\alpha ), \textrm{gdy k - liczba parzysta}\\
\pm \textrm{kofunkcja} (\alpha ), \textrm{gdy k - liczba nieparzysta}\\
\end{cases}}\]
Kofunkcjami dla poszczególnych funkcji trygonometrycznych są:
\[\large{\textrm{ sinus } \rightarrow \textrm{ cosinus }\\
\textrm{ cosinus }\rightarrow \textrm{ sinus }\\
\textrm{ tangens }\rightarrow \textrm{ cotangens }\\
\textrm{ cotangens } \rightarrow  \textrm{ tangens }}\]
Uogólniony schemat korzystania z wzorów redukcyjnych
  1. Zapisujemy kąt w postaci \( k\cdot 2\pi\pm \alpha  \) lub \(k\cdot \pi\pm \alpha \) odpowiednio dla sinusa i cosinusa, oraz tangensa i cotangensa.
  2. Korzystając z okresowości pomijamy w zapisie kąt odpowiednio \(k\cdot 2\pi\) lub \( k\cdot \pi.\)
  3. Zapisujemy kąt w postaci \(k\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2}\pm \alpha .\)
  4. W zależności od \(k\) zamieniamy na kofunkcję lub nie.
  5. Jednocześnie określamy, w której ćwiartce leży dany kąt \( k\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2}\pm \alpha \) oraz jaki znak ma w tej ćwiartce dana funkcja trygonometryczna. Jeśli jest ujemna, to w wyniku dopisujemy minus.
  6. Wyznaczamy wartość uzyskanej funkcji dla uzyskanego kąta, korzystając z tabeli z wartościami funkcji trygonometrycznych dla podstawowych kątów.

 Przykład

\[\begin{matrix}
\begin{array}{l}
\color{#388E3C}{\textrm{Korzystamy z okresowości funkcji sinus i opuszczamy kąt \(2\pi\)} } & \ \ \sin \displaystyle\frac{11}{4}\pi =\sin \big(2\displaystyle\frac{3}{4}\pi\big)=\sin \big(2\pi +\displaystyle\frac{3}{4}\pi\big)=\\
\color{#388E3C}{\textrm{Ponieważ kąt \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) jest w nieparzystej krotności, zatem funkcja } } & \ \ =\sin \big(\displaystyle\frac{3}{4}\pi\big)=\sin \big(\displaystyle\frac{\pi}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\big)=\\
\color{#388E3C}{\textrm{sinus zamienia się na kofunkcję (na cosinus), kąt \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\) } } & \ \  \\
\color{#388E3C}{\textrm{ znajduje się w \(II\) ćwiartce, sinus jest dodatni, zatem przed cosinusem jest + } } & \ \  \\
\color{#388E3C}{\textrm{Odczytujemy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów} } & \ \   =+\cos \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}  \\
\end{array}
\end{matrix}\]

 Ćwiczenie 1

\(\sin \displaystyle\frac{\pi }{9}+\cos \displaystyle\frac{11}{18}\pi \)

 Rozwiązanie

\[\sin \frac{\pi }{9}+\cos \frac{11}{18}\pi =\cdots\]
Na początku zapisujemy kąt \(\displaystyle\frac{11}{18}\pi\) jako sumę dwóch kątów, w tym jednego jako wielokrotność \(\displaystyle\frac{\pi}{2}.\)
\[\cdots =\sin \frac{\pi }{9}+\cos \frac{9\pi +2\pi }{18}=\\ =\sin \frac{\pi }{9}+\cos \Big(\frac{9\pi}{18}+\frac{2\pi}{18}\Big)= \cdots\]
i skracamy ułamki:
\[\cdots=\sin \frac{\pi }{9}+\cos \Big(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{9}\Big)=\cdots\]
Korzystamy ze wzorów redukcyjnych, tj.  \(\cos (90 ^{o}+\alpha),\) czyli zmieniamy funkcję cosinus na kofunkcje czyli na funkcję sinus, \({\displaystyle\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{9}}\) to II ćwiartka, zatem cosinus jest ujemny, i opuszczamy na końcu kąt \(\displaystyle\frac{\pi}{2},\) mamy zatem:
\[\cdots =\sin \displaystyle\frac{\pi }{9}-\sin \displaystyle\frac{\pi}{9}=0.\]

 Odpowiedź

\(\sin \displaystyle\frac{\pi }{9}+\cos \displaystyle\frac{11}{18}\pi =0\)

 Ćwiczenie 2

\(\cos \displaystyle\frac{31}{6}\pi +\cos \displaystyle\frac{7}{6}\pi \)

 Rozwiązanie

\[\cos \frac{31}{6}\pi +\cos \frac{7}{6}\pi =\cdots\]
Na początku korzystamy z okresowości funkcji cosinus. Zapisujemy kąt \(\displaystyle\frac{31}{6}\pi\) jako sumę dwóch kątów, z czego jeden jest wielokrotnością okresu \(2\pi.\)
\[\cdots=\cos (4\pi +\frac{7}{6}\pi) +\cos \frac{7}{6}\pi =\cdots\]
Opuszczamy wielokrotność okresu, czyli \(4\pi.\)
\[\cdots=\cos \frac{7}{6}\pi +\cos \frac{7}{6}\pi =\cdots\]
Dodajemy cosinusy i korzystamy ze wzorów redukcyjnych, ponieważ liczymy cosinus kąta \(\pi+\alpha,\) więc nie zmieniamy na kofunkcję, jest to III ćwiartka, więc cosinus jest ujemny, mamy zatem: \({\displaystyle\cos \frac{7}{6}\pi=\cos \big ( \pi +\frac{\pi}{6} \big ) =-\cos \frac{\pi}{6}  }.\)
Podstawiamy i liczymy wartość cosinusa dla \(\displaystyle\frac{\pi}{6}.\)
\[\cdots=2\cos \frac{7}{6}\pi = 2(-\cos \frac{\pi}{6}) = -2 \frac{\sqrt{3}}{2}= -\sqrt{3}\]

 Odpowiedź

Wartością wyrażenia \(\cos \displaystyle\frac{31}{6}\pi +\cos \displaystyle\frac{7}{6}\pi \) jest \(-\sqrt{3}.\)

 Ćwiczenie 3

\(\displaystyle\frac{4 \cdot \sin (-420^{\circ}) \cdot \cos 690^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}{315^{\circ}}}{\cos 480^{\circ} \cdot \sin 540^{\circ} + \cos (-1080^{\circ}) }\)

 Rozwiązanie

Do przeanalizowania rozwiązania pomocna będzie tabela z kolejnymi etapami rozwiązania.
Własności i wzory Działania
1. Korzystamy z parzystości/nieparzystości funkcji trygonometrycznych \(\sin(-420^{\circ})=-\sin420^{\circ}\\ \cos (-1080^{\circ})=\cos 1080^{\circ}\)
2. Korzystamy z okresowości funkcji trygonometrycznych: - dla sinusa i cosinusa \(T=2\pi=360^{\circ}\) - dla tangensa i cotangensa \(T=\pi=180^{\circ}\) oraz z parzystości/nieparzystości funkcji trygonometrycznych \(\sin 420^{\circ}=\sin\left (360^{\circ}+60^{\circ} \right )=\sin 60^{\circ}\\ \cos 690^{\circ}=\cos \left ( 720^{\circ}-30^{\circ} \right )=\cos \left ( -30^{\circ} \right )=\cos 30^{\circ}\\ \textrm{ctg }315^{\circ}=\textrm{ctg }\left ( 360^{\circ}-45^{\circ} \right )=\textrm{ctg }\left ( -45^{\circ} \right )=-\textrm 45^{\circ}\\ \cos 480^{\circ}=\cos \left ( 360^{\circ}+120^{\circ} \right )=\cos 120^{\circ}\\ \sin 540^{\circ}=\sin \left ( 360^{\circ}+180^{\circ} \right )=\sin 180^{\circ}\\ \cos 1080^{\circ}=\cos \left ( 3\cdot 360^{\circ} \right )=\cos 0^{\circ}\)
3. Korzystamy z wzorów redukcyjnych \(\cos 120^{\circ}=\cos \left ( 90^{\circ}+30^{\circ} \right )=-\sin 30^{\circ}\)
4. Korzystamy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych dla podstawowych kątów \(\sin 60^{\circ}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos 30^{\circ}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \textrm{ctg }45^{\circ}=1\\ \sin 30^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{2}\\ \sin 180^{\circ}=0\\ \cos 0^{\circ}=1\)
Zatem podsumowując:
\[\begin{matrix}
\begin{array}{l}
{\displaystyle\frac{4 \cdot \sin (-420^{\circ}) \cdot \cos 690^{\circ} \cdot  \operatorname{ctg}{315^{\circ}}}{\cos 480^{\circ} \cdot \sin 540^{\circ} + \cos (-1080^{\circ}) } =} & (\textrm{numer własności z tabeli})\\
={\displaystyle\frac{-4 \sin 420^{\circ} \cdot \cos 690^{\circ} \cdot  \operatorname{ctg}{315^{\circ}}}{\cos 480^{\circ} \cdot \sin 540^{\circ} + \cos 1080^{\circ} } =} & (1)\\
={\displaystyle\frac{-4 \cdot \sin (360^{\circ}+60^{\circ}) \cdot \cos (720^{\circ}-30^{\circ}) \cdot  \operatorname{ctg}{(360^{\circ}-45^{\circ})}}{\cos (360^{\circ}+120^{\circ}) \cdot \sin (360^{\circ}+180^{\circ}) + \cos (3\cdot 360^{\circ}) } =} & (2)\\
={\displaystyle\frac{-4 \cdot \sin 60^{\circ} \cdot \cos (-30^{\circ}) \cdot  \operatorname{ctg}{(-45^{\circ})}}{\cos (90^{\circ}+30^{\circ}) \cdot \sin 180^{\circ} + \cos 0^{\circ} } =} & (2) (3)\\
={\displaystyle\frac{4 \cdot \sin 60^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} \cdot  \operatorname{ctg}{45^{\circ}}}{-\sin 30^{\circ} \cdot \sin 180^{\circ} + \cos 0^{\circ} } =} & (3) \\
={\displaystyle\frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot  1}{-\frac{1}{2} \cdot 0 + 1 } = \frac{3}{1}=3} & (4)
\end{array}
\end{matrix}\]

 Odpowiedź

Wartość wyrażenia \(\displaystyle\frac{4 \cdot \sin (-420^{\circ}) \cdot \cos 690^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}{315^{\circ}}}{\cos 480^{\circ} \cdot \sin 540^{\circ} + \cos (-1080^{\circ}) }\) wynosi \(3.\)

 Polecenie

Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych.

 Ćwiczenie 1

\(\displaystyle\frac{\cos 210^\circ \cdot \operatorname{ctg}{390^\circ}+(-\sin 405^\circ) \cdot \cos 675^\circ}{\sin 30^\circ \cdot \operatorname{tg}{225^\circ}+(\sin 300^\circ)^{2}}\)

 Odpowiedź

\(\displaystyle\frac{\cos 210^\circ \cdot \operatorname{ctg}{390^\circ}-\sin 405^\circ \cdot \cos 675^\circ}{\sin 30^\circ \cdot \operatorname{tg}{225^\circ}+(\sin 300^\circ)^{2}}=-\displaystyle\frac{8}{5}\)

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{\cos 210^\circ \cdot \operatorname{ctg}{390^\circ}-\sin 405^\circ \cdot \cos 675^\circ}{\sin 30^\circ \cdot \operatorname{tg}{225^\circ}+(\sin 300^\circ)^{2}}=\\
\displaystyle\frac{\cos (180^\circ+30^\circ) \cdot \operatorname{ctg}{(360^\circ+30^\circ)}-\sin (360^\circ+45^\circ) \cdot \cos (720^\circ-45^\circ)}{\sin 30^\circ \cdot \operatorname{tg}{(180^\circ+45^\circ)}+\big(\sin (360^\circ-60^\circ)\big)^{2}}=\\
\displaystyle\frac{-\cos 30^\circ \cdot \operatorname{ctg}{30^\circ}-\sin 45^\circ \cdot \cos (-45^\circ)}{\sin 30^\circ \cdot \operatorname{tg}{45^\circ}+\big(-\sin 60^\circ\big)^{2}}=\\
\displaystyle\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1+(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}= \displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{3}{2}-\displaystyle\frac{2}{4}}{\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{3}{4}}= \displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{8}{4}}{\displaystyle\frac{5}{4}}=\\
-\displaystyle\frac{8}{4}\cdot \displaystyle\frac{4}{5}=-\displaystyle\frac{8}{5}
\end{array}\]

 Ćwiczenie 2

\(\operatorname{tg}{\displaystyle\frac{7}{4}\pi} +\operatorname{ctg}{\displaystyle\frac{10}{6}\pi}\)

 Odpowiedź

Wartością wyrażenia\(\operatorname{tg}{\displaystyle\frac{7}{4}\pi} +\operatorname{ctg}{\displaystyle\frac{10}{6}\pi}\) jest \(-1-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}.\)

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
\operatorname{tg}{\displaystyle\frac{7}{4}\pi} +\operatorname{ctg}{\displaystyle\frac{10}{6}\pi}=\\
\operatorname{tg}{(\pi +\displaystyle\frac{3}{4}\pi)} +\operatorname{ctg}{(\pi +\displaystyle\frac{4}{6}\pi)}=\\
\operatorname{tg}{\displaystyle\frac{3}{4}\pi} +\operatorname{ctg}{\displaystyle\frac{4}{6}\pi}=\\
\operatorname{tg}{(\displaystyle\frac{2}{4}\pi+\displaystyle\frac{1}{4}\pi)} +\operatorname{ctg}{(\displaystyle\frac{3}{6}\pi+ \displaystyle\frac{1}{6}\pi)}=\\
\operatorname{tg}{(\displaystyle\frac{1}{2}\pi+\displaystyle\frac{1}{4}\pi)} +\operatorname{ctg}{(\displaystyle\frac{1}{2}\pi+ \displaystyle\frac{1}{6}\pi)}= -\operatorname{ctg}{\displaystyle\frac{\pi}{4}}-\operatorname{tg}{\displaystyle\frac{\pi}{6}}=-1-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}
\end{array}\]

 Ćwiczenie 3

\(\sin (-\displaystyle\frac{15}{2}\pi )+\sin (\displaystyle\frac{17}{2}\pi )\cdot \cos (-\displaystyle\frac{17}{2}\pi )\)

 Odpowiedź

\(\sin (-\displaystyle\frac{15}{2}\pi )+\sin (\displaystyle\frac{17}{2}\pi )\cdot \cos (-\displaystyle\frac{17}{2}\pi )=1\)

 Rozwiązanie

\[\begin{array}{l}
\sin (-\displaystyle\frac{15}{2}\pi )+\sin (\displaystyle\frac{17}{2}\pi )\cdot \cos (-\displaystyle\frac{17}{2}\pi )=
\sin (8\pi -\displaystyle\frac{\pi}{2}\ )+\sin(8\pi +\displaystyle\frac{\pi}{2}\ )\cdot \cos (8\pi +\displaystyle\frac{\pi}{2}\ )=\\
-\sin ( -\displaystyle\frac{\pi}{2}\ )+\sin\displaystyle\frac{\pi}{2}\cdot \cos\displaystyle\frac{\pi}{2}=
\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}+\sin\displaystyle\frac{\pi}{2}\cdot \cos\displaystyle\frac{\pi}{2}=\\
1+1\cdot 0=1
\end{array}\]

Wybierz jedną z czterech podanych odpowiedzi. Aby sprawdzić poprawność udzielonej odpowiedzi kliknij przycisk "Sprawdź" lub na końcu "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Wyrażenie \(\sin(-\alpha)-\cos(\displaystyle\frac{\pi }{2}-\alpha )\) jest równe:

Zadanie 2

\(\operatorname{ctg}{(-\displaystyle\frac{22}{3}\pi)}\) jest równy

Zadanie 3

Wartością wyrażenia \(\operatorname{tg}{(495^\circ)}-\operatorname{tg}{(840^\circ)}\) jest:

Zadanie 4

Po zastosowaniu wzorów redukcyjnych wyrażenie \(\left ( \operatorname{tg}{210^\circ} + \sin 150^\circ \right ) ^{2}\) ma wartość

Zadanie 5

Wyrażenie \(\log_{8} \sin \displaystyle\frac{3\pi }{4} + \log_{\frac{1}{9}} \left (\operatorname{tg}^{2}{\displaystyle\frac{\pi }{3}}\right )\) jest równe:

Podsumowanie