Zadanie 3.5.1

Polecenie

Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych.

Wskazówki

Wzory redukcyjne

Nie ma wzorów, z których korzystając, można by było wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych wszystkich możliwych kątów.
Są jednak pewne zasady i własności, nazwane ogólnie wzorami redukcyjnymi. Wyznaczając wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej pewnego kąta, należy pamiętać o okresowości, parzystości i nieparzystości, znaku w poszczególnych ćwiartkach oraz wartościach dla pewnych podstawowych kątów funkcji trygonometrycznych. Musimy również wiedzieć, kiedy funkcja zmieni się na kofunkcję a kiedy pozostanie bez zmian.

OKRESOWOŚĆ $(k\in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l} \sin (k\cdot 2\pi +\alpha ) =\sin \alpha \\ \cos (k\cdot 2\pi +\alpha ) =\textrm{cos}\alpha \\ \operatorname{tg}{(k\cdot \pi +\alpha )} =\operatorname{tg}{\alpha} \\ \operatorname{ctg}{(k\cdot \pi +\alpha )} =\operatorname{ctg}{\alpha} \end{array}$

PARZYSTOŚĆ / NIEPARZYSTOŚĆ

$\begin{array}{l} \sin (-\alpha ) =-\sin \alpha \\ \cos (-\alpha ) =\cos \alpha \\ \operatorname{tg}{(-\alpha )} =-\operatorname{tg}{\alpha} \\ \operatorname{ctg}{(-\alpha )} =-\operatorname{ctg}{\alpha} \end{array}$

ZNAK

WARTOŚCI

ZAMIANA NA KOFUNKCJĘ

$\large{\textrm{funkcja} ( k\cdot\displaystyle\frac{\pi }{2}\pm \alpha )= \begin{cases} \pm \textrm{funkcja} (\alpha ), \textrm{gdy k - liczba parzysta}\\ \pm \textrm{kofunkcja} (\alpha ), \textrm{gdy k - liczba nieparzysta}\\ \end{cases}}$
Kofunkcjami dla poszczególnych funkcji trygonometrycznych są:

$\large{\textrm{ sinus } \rightarrow \textrm{ cosinus }\\ \textrm{ cosinus }\rightarrow \textrm{ sinus }\\ \textrm{ tangens }\rightarrow \textrm{ cotangens }\\ \textrm{ cotangens } \rightarrow \textrm{ tangens }}$

Uogólniony schemat korzystania z wzorów redukcyjnych

Zapisujemy kąt w postaci $k\cdot 2\pi\pm \alpha$ lub $k\cdot \pi\pm \alpha$ odpowiednio dla sinusa i cosinusa, oraz tangensa i cotangensa.
Korzystając z okresowości pomijamy w zapisie kąt odpowiednio $k\cdot 2\pi$ lub $k\cdot \pi.$
Zapisujemy kąt w postaci $k\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2}\pm \alpha .$
W zależności od $k$ zamieniamy na kofunkcję lub nie.
Jednocześnie określamy, w której ćwiartce leży dany kąt $k\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2}\pm \alpha$ oraz jaki znak ma w tej ćwiartce dana funkcja trygonometryczna. Jeśli jest ujemna, to w wyniku dopisujemy minus.
Wyznaczamy wartość uzyskanej funkcji dla uzyskanego kąta, korzystając z tabeli z wartościami funkcji trygonometrycznych dla podstawowych kątów.

Przykład

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \color{#388E3C}{\textrm{Korzystamy z okresowości funkcji sinus i opuszczamy kąt $2\pi$} } & \ \ \sin \displaystyle\frac{11}{4}\pi =\sin \big(2\displaystyle\frac{3}{4}\pi\big)=\sin \big(2\pi +\displaystyle\frac{3}{4}\pi\big)=\\ \color{#388E3C}{\textrm{Ponieważ kąt $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ jest w nieparzystej krotności, zatem funkcja } } & \ \ =\sin \big(\displaystyle\frac{3}{4}\pi\big)=\sin \big(\displaystyle\frac{\pi}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\big)=\\ \color{#388E3C}{\textrm{sinus zamienia się na kofunkcję (na cosinus), kąt $\displaystyle\frac{\pi}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}$ } } & \ \ \\ \color{#388E3C}{\textrm{ znajduje się w $II$ ćwiartce, sinus jest dodatni, zatem przed cosinusem jest + } } & \ \ \\ \color{#388E3C}{\textrm{Odczytujemy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów} } & \ \ =+\cos \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \end{matrix}$

Ćwiczenie 1

$\sin \displaystyle\frac{\pi }{9}+\cos \displaystyle\frac{11}{18}\pi$

Rozwiązanie

$\sin \frac{\pi }{9}+\cos \frac{11}{18}\pi =\cdots$
Na początku zapisujemy kąt

$\displaystyle\frac{11}{18}\pi$ jako sumę dwóch kątów, w tym jednego jako wielokrotność

$\displaystyle\frac{\pi}{2}.$

$\cdots =\sin \frac{\pi }{9}+\cos \frac{9\pi +2\pi }{18}=\\ =\sin \frac{\pi }{9}+\cos \Big(\frac{9\pi}{18}+\frac{2\pi}{18}\Big)= \cdots$
i skracamy ułamki:

$\cdots=\sin \frac{\pi }{9}+\cos \Big(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{9}\Big)=\cdots$
Korzystamy ze wzorów redukcyjnych, tj.

$\cos (90 ^{o}+\alpha),$ czyli zmieniamy funkcję cosinus na kofunkcje czyli na funkcję sinus,

${\displaystyle\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{9}}$ to II ćwiartka, zatem cosinus jest ujemny, i opuszczamy na końcu kąt

$\displaystyle\frac{\pi}{2},$ mamy zatem:

$\cdots =\sin \displaystyle\frac{\pi }{9}-\sin \displaystyle\frac{\pi}{9}=0.$

Odpowiedź

$\sin \displaystyle\frac{\pi }{9}+\cos \displaystyle\frac{11}{18}\pi =0$

Ćwiczenie 2

$\cos \displaystyle\frac{31}{6}\pi +\cos \displaystyle\frac{7}{6}\pi$

Rozwiązanie

$\cos \frac{31}{6}\pi +\cos \frac{7}{6}\pi =\cdots$
Na początku korzystamy z okresowości funkcji cosinus. Zapisujemy kąt

$\displaystyle\frac{31}{6}\pi$ jako sumę dwóch kątów, z czego jeden jest wielokrotnością okresu

$2\pi.$

$\cdots=\cos (4\pi +\frac{7}{6}\pi) +\cos \frac{7}{6}\pi =\cdots$
Opuszczamy wielokrotność okresu, czyli

$4\pi.$

$\cdots=\cos \frac{7}{6}\pi +\cos \frac{7}{6}\pi =\cdots$
Dodajemy cosinusy i korzystamy ze wzorów redukcyjnych, ponieważ liczymy cosinus kąta

$\pi+\alpha,$ więc nie zmieniamy na kofunkcję, jest to III ćwiartka, więc cosinus jest ujemny, mamy zatem:

${\displaystyle\cos \frac{7}{6}\pi=\cos \big ( \pi +\frac{\pi}{6} \big ) =-\cos \frac{\pi}{6} }.$
Podstawiamy i liczymy wartość cosinusa dla

$\displaystyle\frac{\pi}{6}.$

$\cdots=2\cos \frac{7}{6}\pi = 2(-\cos \frac{\pi}{6}) = -2 \frac{\sqrt{3}}{2}= -\sqrt{3}$

Odpowiedź

Wartością wyrażenia

$\cos \displaystyle\frac{31}{6}\pi +\cos \displaystyle\frac{7}{6}\pi$ jest

$-\sqrt{3}.$

Ćwiczenie 3

$\displaystyle\frac{4 \cdot \sin (-420^{\circ}) \cdot \cos 690^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}{315^{\circ}}}{\cos 480^{\circ} \cdot \sin 540^{\circ} + \cos (-1080^{\circ}) }$

Rozwiązanie

Do przeanalizowania rozwiązania pomocna będzie tabela z kolejnymi etapami rozwiązania.

Własności i wzory	Działania
1. Korzystamy z parzystości/nieparzystości funkcji trygonometrycznych	$\sin(-420^{\circ})=-\sin420^{\circ}\\ \cos (-1080^{\circ})=\cos 1080^{\circ}$
2. Korzystamy z okresowości funkcji trygonometrycznych: - dla sinusa i cosinusa $T=2\pi=360^{\circ}$ - dla tangensa i cotangensa $T=\pi=180^{\circ}$ oraz z parzystości/nieparzystości funkcji trygonometrycznych	$\sin 420^{\circ}=\sin\left (360^{\circ}+60^{\circ} \right )=\sin 60^{\circ}\\ \cos 690^{\circ}=\cos \left ( 720^{\circ}-30^{\circ} \right )=\cos \left ( -30^{\circ} \right )=\cos 30^{\circ}\\ \textrm{ctg }315^{\circ}=\textrm{ctg }\left ( 360^{\circ}-45^{\circ} \right )=\textrm{ctg }\left ( -45^{\circ} \right )=-\textrm 45^{\circ}\\ \cos 480^{\circ}=\cos \left ( 360^{\circ}+120^{\circ} \right )=\cos 120^{\circ}\\ \sin 540^{\circ}=\sin \left ( 360^{\circ}+180^{\circ} \right )=\sin 180^{\circ}\\ \cos 1080^{\circ}=\cos \left ( 3\cdot 360^{\circ} \right )=\cos 0^{\circ}$
3. Korzystamy z wzorów redukcyjnych	$\cos 120^{\circ}=\cos \left ( 90^{\circ}+30^{\circ} \right )=-\sin 30^{\circ}$
4. Korzystamy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych dla podstawowych kątów	$\sin 60^{\circ}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos 30^{\circ}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \textrm{ctg }45^{\circ}=1\\ \sin 30^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{2}\\ \sin 180^{\circ}=0\\ \cos 0^{\circ}=1$

Zatem podsumowując:

$\begin{matrix} \begin{array}{l} {\displaystyle\frac{4 \cdot \sin (-420^{\circ}) \cdot \cos 690^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}{315^{\circ}}}{\cos 480^{\circ} \cdot \sin 540^{\circ} + \cos (-1080^{\circ}) } =} & (\textrm{numer własności z tabeli})\\ ={\displaystyle\frac{-4 \sin 420^{\circ} \cdot \cos 690^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}{315^{\circ}}}{\cos 480^{\circ} \cdot \sin 540^{\circ} + \cos 1080^{\circ} } =} & (1)\\ ={\displaystyle\frac{-4 \cdot \sin (360^{\circ}+60^{\circ}) \cdot \cos (720^{\circ}-30^{\circ}) \cdot \operatorname{ctg}{(360^{\circ}-45^{\circ})}}{\cos (360^{\circ}+120^{\circ}) \cdot \sin (360^{\circ}+180^{\circ}) + \cos (3\cdot 360^{\circ}) } =} & (2)\\ ={\displaystyle\frac{-4 \cdot \sin 60^{\circ} \cdot \cos (-30^{\circ}) \cdot \operatorname{ctg}{(-45^{\circ})}}{\cos (90^{\circ}+30^{\circ}) \cdot \sin 180^{\circ} + \cos 0^{\circ} } =} & (2) (3)\\ ={\displaystyle\frac{4 \cdot \sin 60^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}{45^{\circ}}}{-\sin 30^{\circ} \cdot \sin 180^{\circ} + \cos 0^{\circ} } =} & (3) \\ ={\displaystyle\frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1}{-\frac{1}{2} \cdot 0 + 1 } = \frac{3}{1}=3} & (4) \end{array} \end{matrix}$

Odpowiedź

Wartość wyrażenia

$\displaystyle\frac{4 \cdot \sin (-420^{\circ}) \cdot \cos 690^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}{315^{\circ}}}{\cos 480^{\circ} \cdot \sin 540^{\circ} + \cos (-1080^{\circ}) }$ wynosi

$3.$

3.5 Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne

Polecenie

Oblicz, korzystając ze wzorów redukcyjnych.

Ćwiczenie 1

$\displaystyle\frac{\cos 210^\circ \cdot \operatorname{ctg}{390^\circ}+(-\sin 405^\circ) \cdot \cos 675^\circ}{\sin 30^\circ \cdot \operatorname{tg}{225^\circ}+(\sin 300^\circ)^{2}}$

Odpowiedź

$\displaystyle\frac{\cos 210^\circ \cdot \operatorname{ctg}{390^\circ}-\sin 405^\circ \cdot \cos 675^\circ}{\sin 30^\circ \cdot \operatorname{tg}{225^\circ}+(\sin 300^\circ)^{2}}=-\displaystyle\frac{8}{5}$

Rozwiązanie

$\begin{array}{l} \displaystyle\frac{\cos 210^\circ \cdot \operatorname{ctg}{390^\circ}-\sin 405^\circ \cdot \cos 675^\circ}{\sin 30^\circ \cdot \operatorname{tg}{225^\circ}+(\sin 300^\circ)^{2}}=\\ \displaystyle\frac{\cos (180^\circ+30^\circ) \cdot \operatorname{ctg}{(360^\circ+30^\circ)}-\sin (360^\circ+45^\circ) \cdot \cos (720^\circ-45^\circ)}{\sin 30^\circ \cdot \operatorname{tg}{(180^\circ+45^\circ)}+\big(\sin (360^\circ-60^\circ)\big)^{2}}=\\ \displaystyle\frac{-\cos 30^\circ \cdot \operatorname{ctg}{30^\circ}-\sin 45^\circ \cdot \cos (-45^\circ)}{\sin 30^\circ \cdot \operatorname{tg}{45^\circ}+\big(-\sin 60^\circ\big)^{2}}=\\ \displaystyle\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1+(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}= \displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{3}{2}-\displaystyle\frac{2}{4}}{\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{3}{4}}= \displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{8}{4}}{\displaystyle\frac{5}{4}}=\\ -\displaystyle\frac{8}{4}\cdot \displaystyle\frac{4}{5}=-\displaystyle\frac{8}{5} \end{array}$

Ćwiczenie 2

$\operatorname{tg}{\displaystyle\frac{7}{4}\pi} +\operatorname{ctg}{\displaystyle\frac{10}{6}\pi}$

Odpowiedź

Wartością wyrażenia

$\operatorname{tg}{\displaystyle\frac{7}{4}\pi} +\operatorname{ctg}{\displaystyle\frac{10}{6}\pi}$ jest

$-1-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Rozwiązanie

$\begin{array}{l} \operatorname{tg}{\displaystyle\frac{7}{4}\pi} +\operatorname{ctg}{\displaystyle\frac{10}{6}\pi}=\\ \operatorname{tg}{(\pi +\displaystyle\frac{3}{4}\pi)} +\operatorname{ctg}{(\pi +\displaystyle\frac{4}{6}\pi)}=\\ \operatorname{tg}{\displaystyle\frac{3}{4}\pi} +\operatorname{ctg}{\displaystyle\frac{4}{6}\pi}=\\ \operatorname{tg}{(\displaystyle\frac{2}{4}\pi+\displaystyle\frac{1}{4}\pi)} +\operatorname{ctg}{(\displaystyle\frac{3}{6}\pi+ \displaystyle\frac{1}{6}\pi)}=\\ \operatorname{tg}{(\displaystyle\frac{1}{2}\pi+\displaystyle\frac{1}{4}\pi)} +\operatorname{ctg}{(\displaystyle\frac{1}{2}\pi+ \displaystyle\frac{1}{6}\pi)}= -\operatorname{ctg}{\displaystyle\frac{\pi}{4}}-\operatorname{tg}{\displaystyle\frac{\pi}{6}}=-1-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$

Ćwiczenie 3

$\sin (-\displaystyle\frac{15}{2}\pi )+\sin (\displaystyle\frac{17}{2}\pi )\cdot \cos (-\displaystyle\frac{17}{2}\pi )$

Odpowiedź

$\sin (-\displaystyle\frac{15}{2}\pi )+\sin (\displaystyle\frac{17}{2}\pi )\cdot \cos (-\displaystyle\frac{17}{2}\pi )=1$

Rozwiązanie

$\begin{array}{l} \sin (-\displaystyle\frac{15}{2}\pi )+\sin (\displaystyle\frac{17}{2}\pi )\cdot \cos (-\displaystyle\frac{17}{2}\pi )= \sin (8\pi -\displaystyle\frac{\pi}{2}\ )+\sin(8\pi +\displaystyle\frac{\pi}{2}\ )\cdot \cos (8\pi +\displaystyle\frac{\pi}{2}\ )=\\ -\sin ( -\displaystyle\frac{\pi}{2}\ )+\sin\displaystyle\frac{\pi}{2}\cdot \cos\displaystyle\frac{\pi}{2}= \sin \displaystyle\frac{\pi}{2}+\sin\displaystyle\frac{\pi}{2}\cdot \cos\displaystyle\frac{\pi}{2}=\\ 1+1\cdot 0=1 \end{array}$

Polecenie

Wskazówki

Wzory redukcyjne

OKRESOWOŚĆ (k∈Z)(k\in \mathbb{Z})

PARZYSTOŚĆ / NIEPARZYSTOŚĆ

ZNAK

WARTOŚCI

ZAMIANA NA KOFUNKCJĘ

Przykład

Ćwiczenie 1

Rozwiązanie

Odpowiedź

Ćwiczenie 2

Rozwiązanie

Odpowiedź

Ćwiczenie 3

Rozwiązanie

Odpowiedź

Polecenie

Ćwiczenie 1

Odpowiedź

Rozwiązanie

Ćwiczenie 2

Odpowiedź

Rozwiązanie

Ćwiczenie 3

Odpowiedź

Rozwiązanie

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Podsumowanie

OKRESOWOŚĆ $(k\in \mathbb{Z})$