Zadanie 3.5.2

Zadanie 3.5.2
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Uzasadnij tożsamości trygonometryczne.

Wskazówki

Definicje funkcji trygonometrycznych

Niech

$\alpha$ będzie miarą łukową (wyrażoną w radianach) kąta uogólnionego skierowanego, którego pierwszym ramieniem (początkowym) jest oś

$OX$ a drugim ramieniem (końcowym) jest półprosta o początku w punkcie

$O(0,0)$ przechodząca przez punkt

$P(x,y),$ dla

$(x, y )\neq (0,0).$

Przy takich oznaczeniach definiujemy wartości funkcji trygonometrycznych nastepująco:

$\begin{array}{l} \large{\sin \alpha =\displaystyle\frac{y}{r}}\\ \large{\cos \alpha = \displaystyle\frac{x}{r}}\\ \large{\operatorname{tg}{\alpha} =\displaystyle\frac{y}{x}}\\ \large{\operatorname{ctg}{\alpha}=\displaystyle\frac{x}{y}}. \end{array}$

Podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi

$\begin{array}{l} \large{\sin^{2}x+\cos^{2}x=1,\ \ x\in \mathbb{R}}\\ \large{\operatorname{tg}{x}=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}, \ \ x\neq (2k+1)\frac{\pi }{2},\ k\in \mathbb{Z}}\\ \large{\operatorname{ctg}{x}=\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x},\ \ x\neq k\pi,\ k\in \mathbb{Z}}\\ \large{\operatorname{tg}{x} \cdot \operatorname{ctg}{x}=1,\ \ x\neq k\cdot \displaystyle\frac{\pi }{2}, \ k\in \mathbb{Z}}. \end{array}$

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

Dla dowolnych

$x, y\in \mathbb{R}$ prawdziwe są następujące wzory:

$\begin{array}{l} \large{\sin (x+y)=\sin x \cos y+ \cos x \sin y}\\ \large{\sin (x-y)=\sin x \cos y- \cos x \sin y}\\ \large{\cos (x+y)=\cos x \cos y- \sin x \sin y}\\ \large{\cos (x-y)=\cos x \cos y+ \sin x \sin y}. \end{array}$
Na podstawie tych wzorów można wyprowadzić również wzory na tangens i cotangens sumy i różnicy kątów:

$\begin{array}{l} \large \operatorname{tg}{(x+y)}=\displaystyle\frac{\operatorname{tg}{x}+\operatorname{tg}{y}}{1-\operatorname{tg}{x} \cdot \operatorname{tg}{y}}\\ \large \operatorname{ctg}{(x+y)}=\displaystyle\frac{\operatorname{ctg}{x}\cdot \operatorname{ctg}{y-1}}{\operatorname{ctg}{y}+\operatorname{tg}{x}}\\ \large \operatorname{tg}{(x-y)}=\displaystyle\frac{\operatorname{tg}{x}-\operatorname{tg}{y}}{1+\operatorname{tg}{x}\cdot \operatorname{tg}{y}}\\ \large \operatorname{ctg}{(x-y)}=\displaystyle\frac{\operatorname{ctg}{x}\cdot \operatorname{ctg}{y}+1}{\operatorname{ctg}{y}-\operatorname{tg}{x}}. \end{array}$

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

Dla dowolnych

$x, y\in \mathbb{R}$ prawdziwe są następujące wzory:

$\begin{array}{l} \large{\sin x+\sin y=2\sin \displaystyle\frac{x+y}{2}\cos \displaystyle\frac{x-y}{2}},\\ \large{\sin x-\sin y=2\cos \displaystyle\frac{x+y}{2}\sin \displaystyle\frac{x-y}{2}},\\ \large{\cos x+\cos y=2\cos \displaystyle\frac{x+y}{2}\cos \displaystyle\frac{x-y}{2}},\\ \large{\cos x-\cos y=-2\sin \displaystyle\frac{x+y}{2}\sin \displaystyle\frac{x-y}{2}}. \end{array}$
Na podstawie tych wzorów można wyprowadzić również wzory na sumy i różnice tangensów i cotangensów.

$\begin{array}{l} \large{\operatorname{tg}{x}+\operatorname{tg}{y}=\displaystyle\frac{\sin(x+y)}{\cos x \cos y},}\\ \large{\operatorname{tg}{x}-\operatorname{tg}{y}=\displaystyle\frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y},}\\ \large{\operatorname{ctg}{x}+\operatorname{ctg}{y}=\displaystyle\frac{\sin(x+y)}{\sin x \sin y},}\\ \large{\operatorname{ctg}{x}-\operatorname{ctg}{y}=-\displaystyle\frac{\sin(x-y)}{\sin x \sin y}.} \end{array}$

Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta

Dla dowolnego

$x\in \mathbb{R}$ prawdziwe są następujące wzory:

$\begin{array}{l} \large{\sin 2x=2\sin x \cos x},\\ \large{\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin^{2}x},\\ \large{\operatorname{tg}{2x}=\displaystyle\frac{2\operatorname{tg}{x}}{1-\operatorname{tg}^{2}{x}}},\\ \large{\operatorname{ctg}{2x}=\displaystyle\frac{\operatorname{ctg}^{2}{x-1}}{2\operatorname{ctg}{x}}}. \end{array}$

Funkcje trygonometryczne kąta połówkowego

Dla dowolnego

$x\in \mathbb{R}$ prawdziwe są następujące wzory:

$\begin{array}{l} \large{\sin^{2}\displaystyle \frac{x}{2}=\displaystyle\frac{1-\cos x}{2}},\\ \large{\cos^{2}\displaystyle \frac{x}{2}=\displaystyle\frac{1+\cos x}{2}},\\ \large{\operatorname{tg}{\displaystyle\frac{x}{2}}=\displaystyle\frac{1-\cos x}{\sin x}=\displaystyle\frac{\sin x}{1+\cos x}},\\ \large{\operatorname{ctg}{\displaystyle \frac{x}{2}}=\displaystyle\frac{\sin x}{1-\cos x}=\displaystyle\frac{1+\cos x}{\sin x}}. \end{array}$

Tożsamość 1

$2\operatorname{tg}{x}+\operatorname{ctg}{x}= \displaystyle\frac{2(1+\sin^{2}x)}{\sin 2x}$

Rozwiązanie

Przekształcamy lewą stronę równania (w niektórych przypadkach można zacząć przekształcenia od prawej strony równania).

$\large{\begin{matrix}\begin{array}{l} L = 2\operatorname{tg}{x}+\operatorname{ctg}{x}= & \textrm{rozpisujemy tangens i cotangens} \\ \displaystyle \frac{2\sin x}{\cos x}+\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}= & \textrm{sprowadzamy do wspólnego mianownika} \\ \displaystyle \frac{\color{orange}{2 \sin^{2}x}+\cos ^{2}x}{\sin x \cos x}= & \textrm{zapisujemy iloczyn jako sumę kwadratów dwóch sinusów} \\ \displaystyle \frac{\sin^{2}x+\color{orange}{\sin^{2}x+\cos ^{2}x}}{\sin x \cos x}= & \textrm{można zauważyć, że dostaliśmy jedynkę trygonometryczną} \\ \displaystyle \frac{\sin^{2}x+\color{orange}{1}}{\sin x \cos x}= & \textrm{dopisujemy w mianowniku iloczyn liczb } \displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\\ \displaystyle \frac{\sin^{2}x+1}{\color{orange}{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2} \sin x \cos x}=& \textrm{aby otrzymać wzór na sinus podwojonego kąta}\\ \displaystyle \frac{\sin^{2}x+1}{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \color{orange}{ 2 \sin x \cos x}}=& \textrm{korzystamy ze wzoru, a zamiast dzielić przez jedną drugą, mnożymy przez dwa}\\ \displaystyle \frac{2(\sin^{2}x+1)}{\sin 2x }=P. & \textrm{co należało udowodnić} \end{array} \end{matrix}}$

Tożsamość 2

$\operatorname{tg}^{4}{x}-\operatorname{ctg}^{4}{x}=\displaystyle\frac{-16\cos 2x(1-\frac{1}{2}\sin^{2}2x)}{\sin^{4}2x}$

Rozwiązanie

W kolejnych krokach przekształcimy jedną ze stron tożsamości aby dojść do drugiej strony i udowodnić jej prawdziwość.

Krok 1

Rozpisujemy lewą stronę równania.
W pierwszym kroku skorzystamy dwukrotnie ze wzoru skróconego mnożenia na

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ .

$\begin{array}{l} L = \operatorname{tg}^{4}{x}-\operatorname{ctg}^{4}{x}=\\ (\operatorname{tg}^{2}{x}-\operatorname{ctg}^{2}{x})(\operatorname{tg}^{2}{x}+\operatorname{ctg}^{2}{x})=\\ (\operatorname{tg}{x}-\operatorname{ctg}{x})(\operatorname{tg}{x}+\operatorname{ctg}{x})(\operatorname{tg}^{2}{x}+\operatorname{ctg}^{2}{x})= \cdots \end{array}$

Krok 2

W drugim kroku rozpisujemy tangens i cotangens za pomocą sinusów i cosinusów tego samego kąta korzystając z podstawowych związków między funkcjami trygonometrycznymi. Sprowadzamy ułamki do wspólnych mianowników.

$\begin{array}{l} \cdots = \Big( \displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}-\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x} \Big) \Big( \displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}+\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x} \Big) \Big( \displaystyle\frac{\sin ^{2}x}{\cos^{2} x}+\displaystyle\frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} \Big) =\\ \displaystyle\frac{\sin ^{2}x-\cos^{2}x}{\sin x\cos x}\cdot \displaystyle\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}\cdot \displaystyle\frac{\sin^{4}x+\cos^{4}x}{\sin^{2}x\cos^{2}x} =\cdots \end{array}$

Krok 3

W trzecim kroku w liczniku pierwszego ułamka wyłączamy minus, w liczniku drugiego ułamka korzystamy z jedynki trygonometrycznej. Aby skorzystać z wzoru na sinus podwojonego kąta, w mianownikach wszystkich trzech ułamków dopisujemy odpowiednie iloczyny.

$\begin{array}{l} \cdots = \displaystyle\frac{-(\cos^{2}x-\sin ^{2}x)}{\sin x\cos x}\cdot \displaystyle\frac{1}{\sin x\cos x}\cdot \displaystyle\frac{\sin^{4}x+\cos^{4}x}{\sin^{2}x\cos^{2}x} =\\ \displaystyle\frac{-(\cos^{2}x-\sin ^{2}x)}{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\sin x\cos x}\cdot \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\sin x\cos x}\cdot \displaystyle\frac{\sin^{4}x+\cos^{4}x}{\displaystyle\frac{1}{4}\cdot 4\sin^{2}x\cos^{2}x} = \cdots \end{array}$

Krok 4

Następnie korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta oraz w liczniku pierwszego ułamka na cosinus podwojonego kąta. Ułamki z mianowników w wyniku mnożenia przez odwrotność weszły do licznika jako liczby całkowite. Mnożymy też przez siebie dwa pierwsze ułamki.

$\begin{array}{l} \cdots =\displaystyle\frac{-2(\cos 2x)}{2\sin x\cos x}\cdot \displaystyle\frac{2}{2\sin x\cos x}\cdot \displaystyle\frac{4(\sin^{4}x+\cos^{4}x)}{4\sin^{2}x\cos^{2}x} =\\ \displaystyle\frac{-2\cos 2x}{\sin 2x}\cdot \displaystyle\frac{2}{ \sin 2x}\cdot \displaystyle\frac{4(\sin^{4}x+\cos^{4}x)}{\sin^{2}2x} =\\ \displaystyle\frac{-4\cos 2x}{\sin^{2} 2x}\cdot \displaystyle\frac{4(\sin^{4}x+\cos^{4}x)}{\sin^{2}2x} =\cdots \end{array}$

Krok 5

W tym kroku rozpiszemy osobno licznik drugiego ułamka.
Korzystamy tutaj ze wzoru jedynkowego, później wyłączamy przed nawias wspólny czynnik dwóch ostatnich wyrazów i kolejny raz stosujemy wzór jedynkowy. Na końcu znaną nam już metodą korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta.

$\sin^{4}x+\cos^{4}x=(\color{orange}{\sin^{2}x})^{2}+\cos^{4}x=(\color{orange}{1-\cos^{2}x})^{2}+\cos^{4}x =1-2\cos^{2}x+\cos^{4}x+\cos^{4}x=\\ 1-2\cos^{2}x+2\cos^{4}x=1+2\cos^{4}x-2\cos^{2}x =1+2\cos^{2}x(\color{orange}{\cos^{2}x-1})=1+2\cdot (\color{orange}{-\sin^{2}x})\cos^{2}x=\\ 1-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \color{orange}{4\sin^{2}x\cos^{2}x}=1-\displaystyle\frac{1}{2}\color{orange}{\sin^{2}2x}$

Krok 6

Stosujemy powyższe obliczenia w naszym przykładzie. Mnożymy przez siebie ułamki i otrzymujemy prawą stronę naszej tożsamości.

$\begin{array}{l} \cdots = \displaystyle\frac{-4\cos 2x}{\sin^{2} 2x}\cdot \displaystyle\frac{4(1-\displaystyle\frac{1}{2}\sin^{2}2x)}{\sin^{2}2x} =\\ \displaystyle\frac{-16\cos 2x(1-\displaystyle\frac{1}{2}\sin^{2}2x)}{\sin^{4} 2x}=P \quad \quad \blacksquare \end{array}$

Zadanie 3.5.1

Polecenie

Uzasadnij tożsamości trygonometryczne.

Tożsamość 1

$\displaystyle\frac{1}{\sin x}-\sin x=\cos x\operatorname{ctg}{x}$

Odpowiedź - Dowód

$\begin{array}{l} \displaystyle\frac{1}{\sin x}-\sin x= \\ =\displaystyle\frac{1-\sin^{2} x}{\sin x} =\displaystyle\frac{\cos^{2} x}{\sin x}=\\ =\displaystyle\frac{\cos x\cdot \cos x}{\sin x} =\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x}\cdot \cos x=\\ =\operatorname{ctg}{x}\cdot \cos x.\quad\quad\quad\blacksquare \end{array}$

Tożsamość 2

$\displaystyle\frac{1}{\sin x-1}-\displaystyle\frac{1}{\sin x+1}=\displaystyle\frac{-2}{\cos^{2} x}$

Odpowiedź - Dowód

$\begin{array}{l} \displaystyle\frac{1}{\sin x-1}-\displaystyle\frac{1}{\sin x+1}= \displaystyle\frac{\sin x+1-\sin x+1}{\sin^{2} x-1}=\\ =\displaystyle\frac{2}{\sin^{2} x-1}= \displaystyle\frac{2}{-(1-\sin^{2} x)}=\\ =\displaystyle\frac{-2}{1-\sin^{2} x}= \displaystyle\frac{-2}{\cos^{2} x}. \quad\quad\quad\blacksquare \end{array}$

Zadanie 3.5.3

1. Logika

2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

3. Funkcje

4. Ciągi

5. Granice. Ciągłość funkcji

6. Pochodne

7. Badanie przebiegu zmienności funkcji

8. Całka nieoznaczona

9. Całka oznaczona

10. Zastosowanie całek

Ankieta

Polecenie

Wskazówki

Tożsamość 1

Rozwiązanie

Tożsamość 2

Rozwiązanie

Krok 1

Krok 2

Krok 3

Krok 4

Krok 5

Krok 6

Polecenie

Tożsamość 1

Odpowiedź - Dowód

Tożsamość 2

Odpowiedź - Dowód