Zadanie 3.5.3

Zadanie 3.5.3
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Naszkicuj wykresy podanych funkcji.

Wskazówki

Wykres funkcji $f(x)=\sin x$

Własności funkcji $f(x)=\sin x$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \color{#388E3C}{\textrm{Dziedzina} } & \ \ D=\mathbb{R}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Zbiór wartości} } & \ \ ZW=\left \langle -1;1 \right \rangle\\ \color{#388E3C}{\textrm{Miejsca zerowe} } & \ \ \textrm{nieskończenie wiele miejsc zerowych } x_{0}=k\pi, \ k\in \mathbb{C}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Monotoniczność} } & \ \ \textrm{funkcja przedziałami monotoniczna}\\ & \ \ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left \langle -\displaystyle\frac{\pi }{2}+2k\pi ; \displaystyle\frac{\pi }{2}+2k\pi \right \rangle, \ k\in \mathbb{C}\\ & \ \ f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left \langle \displaystyle\frac{\pi }{2}+2k\pi ; \displaystyle\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right \rangle, \ k\in \mathbb{C}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Różnowartościowość} } & \ \ \textrm{funkcja nie jest różnowartościowa}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Parzystość/Nieparzystość} } & \ \ \textrm{funkcja nieparzysta - wykres symetryczny względem punktu } O(0,0)\\ \color{#388E3C}{\textrm{Okresowość }} & \ \ \textrm{funkcja okresowa, okres podstawowy } T=2\pi. \end{array} \end{matrix}$

Wykres funkcji $f(x)=\cos x$

Własności funkcji $f(x)=\cos x$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \color{#388E3C}{\textrm{Dziedzina} } & \ \ D=\mathbb{R}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Zbiór wartości} } & \ \ ZW=\left \langle -1;1 \right \rangle\\ \color{#388E3C}{\textrm{Miejsca zerowe} } & \ \ \textrm{nieskończenie wiele miejsc zerowych } x_{0}=\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi, \ k\in \mathbb{C}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Monotoniczność} } & \ \ \textrm{funkcja przedziałami monotoniczna}\\ & \ \ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left \langle \pi+2k\pi ; 2\pi+2k\pi \right \rangle, \ k\in \mathbb{C}\\ & \ \ f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left \langle 2k\pi ; \pi+2k\pi \right \rangle, \ k\in \mathbb{C}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Różnowartościowość} } & \ \ \textrm{funkcja nie jest różnowartościowa}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Parzystość/Nieparzystość} } & \ \ \textrm{funkcja parzysta - wykres symetryczny względem osi } OY\\ \color{#388E3C}{\textrm{Okresowość }} & \ \ \textrm{funkcja okresowa, okres podstawowy } T=2\pi. \end{array} \end{matrix}$

Wykres funkcji $f(x)=\operatorname{tg}{x}$

Własności funkcji $f(x)=\operatorname{tg}{x}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \color{#388E3C}{\textrm{Dziedzina} } & \ D=\mathbb{R}\setminus \left \{ \displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi : k\in \mathbb{C} \right \}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Zbiór wartości} } & \ \ ZW=\mathbb{R}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Miejsca zerowe} } & \ \ \textrm{nieskończenie wiele miejsc zerowych } x_{0}=k\pi, \ k\in \mathbb{C}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Monotoniczność} } & \ \ \textrm{funkcja przedziałami monotoniczna}\\ & \ \ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( -\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi ; \displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi \right ), \ k\in \mathbb{C}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Różnowartościowość} } & \ \ \textrm{funkcja nie jest różnowartościowa}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Parzystość/Nieparzystość} } & \ \ \textrm{funkcja nieparzysta - wykres symetryczny względem punktu } O(0,0)\\ \color{#388E3C}{\textrm{Okresowość }} & \ \ \textrm{funkcja okresowa, okres podstawowy } T=\pi. \end{array} \end{matrix}$

Wykres funkcji $f(x)=\operatorname{ctg}{x}$

Własności funkcji $f(x)=\operatorname{ctg}{x}$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \color{#388E3C}{\textrm{Dziedzina} } & \ D=\mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi : k\in \mathbb{C} \right \}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Zbiór wartości} } & \ \ ZW=\mathbb{R}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Miejsca zerowe} } & \ \ \textrm{nieskończenie wiele miejsc zerowych } x_{0}=\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi, \ k\in \mathbb{C}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Monotoniczność} } & \ \ \textrm{funkcja przedziałami monotoniczna}\\ & \ \ f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left (k\pi ; \pi+k\pi \right ), \ k\in \mathbb{C}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Różnowartościowość} } & \ \ \textrm{funkcja nie jest różnowartościowa}\\ \color{#388E3C}{\textrm{Parzystość/Nieparzystość} } & \ \ \textrm{funkcja nieparzysta - wykres symetryczny względem punktu } O(0,0)\\ \color{#388E3C}{\textrm{Okresowość }} & \ \ \textrm{funkcja okresowa, okres podstawowy } T=\pi. \end{array} \end{matrix}$

Funkcja 1

$f(x)=2|\cos x|+1$

Rozwiązanie

Wykres funkcji

$f(x)=2|\cos x|+1$ szkicujemy w czterech krokach:

wykres funkcji $f(x)=\cos x,$
wykres funkcji $f(x)=|\cos x|$ - symetria tej części wykresu, dla której $f(x)<0,$ względem osi $Ox,$
wykres funkcji $f(x)=2|\cos x|$ - wartości funkcji $f(x)=|\cos x|$ dla danych argumentów podwajają się,
wykres funkcji $f(x)=2|\cos x|+1$ - translacja o wektor $\vec {v}=[0,1]$ (przesunięcie o $1$ jednostkę w górę).

Funkcja 2

$f(x)=\sqrt{3}\sin x - \cos x$

Rozwiązanie

Nie jesteśmy w stanie przez przekształcenia wykresów naszkicować wykres funkcji

$f(x)=\sqrt{3}\sin x - \cos x.$ Aby doprowadzić funkcję

$f$ do takiej postaci, która nam ułatwi rozwiązanie zadania, należy skorzystać z wcześniej poznanych wzorów (Zadanie 3.5.2).
W tym przypadku pomocny będzie wzór na

$\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$ .
Przekształcamy wzór funkcji

$f,$ w taki sposób, aby otrzymać lewą stronę wzoru.

Uwaga

Należy zapamiętać podaną metodę, gdyż jest wykorzystywana często do przekształceń wzorów funkcji przy szkicowaniu wykresów.

Przekształcamy prawą stronę funkcji

$f(x)=\sqrt{3}\sin x - \cos x.$

$\begin{matrix} \begin{array}{l} \color{#F57C00}{\textrm{mnożymy podaną różnicę przez jedynkę w postaci } 2\cdot \displaystyle\frac{1}{2}} & \ \ 2\cdot \displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt{3}\sin x - \cos x) = \\ \color{#F57C00}{\displaystyle\frac{1}{2} \textrm{ włączamy pod nawias} } & \ \ = 2\cdot (\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{3}\sin x - \displaystyle\frac{1}{2}\cos x)=\\ & \ \ =2\cdot (\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \displaystyle\frac{1}{2}\cos x)=\\ \color{#F57C00}{\textrm{zauważmy, że odpowiednie wartości dają nam cosinus i sinus tego samego kąta } \displaystyle\frac{\pi}{6} } & \ \ =2\cdot (\cos \displaystyle\frac{\pi}{6} \sin x - \sin \displaystyle\frac{\pi}{6} \cos x)=\\ \color{#F57C00}{\textrm{zmieniamy kolejność czynników w iloczynach} } & \ \ =2\cdot ( \sin x \cos \displaystyle\frac{\pi}{6} - \cos x \sin \displaystyle\frac{\pi}{6}) =\\ \color{#F57C00}{\textrm{korzystamy ze wzoru na sinus różnicy kątów} } & \ \ =2\sin (x-\displaystyle\frac{\pi}{6}). \end{array} \end{matrix}$
Nasza funkcja ma już postać

$f(x)=2\sin (x-\displaystyle\frac{\pi}{6}).$

Naszkicujemy wykres tej funkcji w kilku etapach.

Wskazówka

Użyj przycisków nawigacji umieszczonych pod rysunkiem, aby przejść do kolejnego etapu.

Funkcja 3

$f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert$

Rozwiązanie

Krok 1

W pierwszym kroku należy zastanowić się nad tym, w jaki sposób przekształcić wzór funkcji

$f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert,$ aby możliwe było naszkicowanie wykresu tej funkcji. Rozpatrzmy, kiedy cotangens przyjmuje wartości dodatnie, a kiedy ujemne.

Uwaga

Wybierz właściwą odpowiedź i sprawdź. Aby przejść do kolejnego kroku, musisz wybrać poprawną odpowiedź.

Wyrażenie

$\lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert$ można zastąpić wyrażeniem:

$\lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert = \begin{cases} \operatorname{ctg}{x},& \textrm{ dla } x\in \left ( k\pi ;\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi \right \rangle\\ -\operatorname{ctg}{x},& \textrm{ dla } x\in \left ( \displaystyle\frac{\pi }{2} + k\pi ; \pi+k\pi \right ) \end{cases}$

Odpowiedź prawidłowa

$\lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert = \begin{cases} \operatorname{ctg}{x},& \textrm{ dla } x\in \left ( \displaystyle\frac{\pi }{2} + k\pi ; \pi+k\pi \right )\\ -\operatorname{ctg}{x},& \textrm{ dla } x\in \left ( k\pi ;\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi \right \rangle \end{cases}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 2

Funkcja

$f$ będzie miała postać:

$f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert = \begin{cases} \operatorname{tg}{x} \cdot \operatorname{ctg}{x},& \textrm{ dla } x\in \left ( k\pi ;\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi \right \rangle\\ -\operatorname{tg}{x} \cdot\operatorname{ctg}{x},& \textrm{ dla } x\in \left ( \displaystyle\frac{\pi }{2} + k\pi ; \pi+k\pi \right ) \end{cases}$

Odpowiedź prawidłowa

$f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert = \begin{cases} \operatorname{tg}{x} \cdot \operatorname{tg}{x},&\textrm{ dla } x\in \left ( \displaystyle\frac{\pi }{2} + k\pi ; \pi+k\pi \right )\\ -\operatorname{tg}{x} \cdot \operatorname{tg}{x},&\textrm{ dla } x\in \left ( k\pi ;\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi \right \rangle \end{cases}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 3

Korzystając ze wzoru

$\operatorname{tg}{x}\cdot \operatorname{ctg}{x}=1,$ funkcja

$f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert$ przyjmie postać:

$f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert = \begin{cases} 1,& \textrm{ dla } x\in \left ( \displaystyle\frac{\pi }{2} + k\pi ; \pi+k\pi \right )\\ -1,& \textrm{ dla } x\in \left ( k\pi ;\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi \right \rangle \end{cases}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert = \begin{cases} 1,& \textrm{ dla } x\in \left ( k\pi ;\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi \right \rangle\\ -1,& \textrm{ dla } x\in \left ( \displaystyle\frac{\pi }{2} + k\pi ; \pi+k\pi \right ) \end{cases}$

Odpowiedź prawidłowa

Krok 4

Uwzględniając podział dziedziny na odpowiednie przedziały, szkicujemy wykres funkcji

$f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert.$

Odpowiedź nieprawidłowa

Odpowiedź prawidłowa

Podsumowanie

Wszystkie kroki zadania 3.5.3.3 zostały wykonane prawidłowo.

Zadanie 3.5.2

Polecenie

Naszkicuj wykresy podanych funkcji.

Funkcja 1

$f(x)=-\operatorname{tg}{(x+\displaystyle\frac{\pi}{2})}+2$

Odpowiedź

Rozwiązanie - Animacja 2

Uwaga

Użyj przycisków nawigacji umieszczonych pod rysunkiem, aby przejść do kolejnego etapu.

Funkcja 2

$f(x)=\sin \lvert \displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\rvert -3$

Odpowiedź

Wykres funkcji

$f(x)=\sin \lvert \displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\rvert -3.$

Rozwiązanie

Aby naszkicować wykres funkcji

$f(x)=\sin \lvert \displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\rvert -3$ należy wykonać następujące etapy:

Naszkicować wykres funkcji $y=\sin x.$
Naszkicować wykres funkcji $y=\sin (\displaystyle\frac{1}{2}x).$ Należy policzyć kilka wartości dla argumentów z przedziału większego od $\left \langle 0, 2\pi \right \rangle.$
Naszkicować wykres funkcji $y=\sin \lvert \displaystyle\frac{1}{2}x\rvert.$ Aby to zrobić przeanalizuj wprowadzenie do zadania 3.1.2 - Animacja 3.
Naszkicować wykres funkcji $f(x)=\sin \lvert \displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\rvert -3,$ przez przesunięcie o wektor $\vec w=[\displaystyle\frac{\pi}{2},-3].$ ( $f(x)=\sin \lvert\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\rvert -3=\sin \lvert \displaystyle\frac{1}{2}(x-\displaystyle\frac{\pi}{2})\rvert -3,$ stąd przesuwamy o wektor $\vec w=[\displaystyle\frac{\pi}{2},-3].$ )

Zadanie 3.5.4

1. Logika

2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

3. Funkcje

4. Ciągi

5. Granice. Ciągłość funkcji

6. Pochodne

7. Badanie przebiegu zmienności funkcji

8. Całka nieoznaczona

9. Całka oznaczona

10. Zastosowanie całek

Ankieta

Polecenie

Wskazówki

Wykres funkcji $f(x)=\sin x$

Własności funkcji $f(x)=\sin x$

Wykres funkcji $f(x)=\cos x$

Własności funkcji $f(x)=\cos x$

Wykres funkcji $f(x)=\operatorname{tg}{x}$

Własności funkcji $f(x)=\operatorname{tg}{x}$

Wykres funkcji $f(x)=\operatorname{ctg}{x}$

Własności funkcji $f(x)=\operatorname{ctg}{x}$

Funkcja 1

Rozwiązanie

Funkcja 2

Rozwiązanie

Funkcja 3

Rozwiązanie

Krok 1

Krok 2

Krok 3

Krok 4

Podsumowanie

Polecenie

Funkcja 1

Odpowiedź

Rozwiązanie - Animacja 2

Funkcja 2

Odpowiedź

Rozwiązanie

Polecenie

Wskazówki

Wykres funkcji f(x)=sinxf(x)=\sin x

Własności funkcji f(x)=sinxf(x)=\sin x

Wykres funkcji f(x)=cosxf(x)=\cos x

Własności funkcji f(x)=cosxf(x)=\cos x

Wykres funkcji f(x)=tgxf(x)=\operatorname{tg}{x}

Własności funkcji f(x)=tgxf(x)=\operatorname{tg}{x}

Wykres funkcji f(x)=ctgxf(x)=\operatorname{ctg}{x}

Własności funkcji f(x)=ctgxf(x)=\operatorname{ctg}{x}

Funkcja 1

Rozwiązanie

Funkcja 2

Rozwiązanie

Funkcja 3

Rozwiązanie

Krok 1

Krok 2

Krok 3

Krok 4

Podsumowanie

Polecenie

Funkcja 1

Odpowiedź

Rozwiązanie - Animacja 2

Funkcja 2

Odpowiedź

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f(x)=\sin x$

Własności funkcji $f(x)=\sin x$

Wykres funkcji $f(x)=\cos x$

Własności funkcji $f(x)=\cos x$

Wykres funkcji $f(x)=\operatorname{tg}{x}$

Własności funkcji $f(x)=\operatorname{tg}{x}$

Wykres funkcji $f(x)=\operatorname{ctg}{x}$

Własności funkcji $f(x)=\operatorname{ctg}{x}$