Zadanie 3.5.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 3. Funkcje
  3. 3.5 Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne
  4. Zadanie 3.5.3

 Polecenie

Naszkicuj wykresy podanych funkcji.

 Wskazówki

Wykres funkcji \(f(x)=\sin x\)

Rysunek 3.5.1.1

Własności funkcji \(f(x)=\sin x\)

\[\begin{matrix}
\begin{array}{l}
\color{#388E3C}{\textrm{Dziedzina} } & \ \ D=\mathbb{R}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Zbiór wartości} } & \ \ ZW=\left \langle -1;1 \right \rangle\\
\color{#388E3C}{\textrm{Miejsca zerowe} } & \ \ \textrm{nieskończenie wiele miejsc zerowych } x_{0}=k\pi, \ k\in \mathbb{C}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Monotoniczność} } & \ \ \textrm{funkcja przedziałami monotoniczna}\\
& \ \ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left \langle -\displaystyle\frac{\pi }{2}+2k\pi ; \displaystyle\frac{\pi }{2}+2k\pi \right \rangle, \ k\in \mathbb{C}\\
& \ \ f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left \langle \displaystyle\frac{\pi }{2}+2k\pi ; \displaystyle\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right \rangle, \ k\in \mathbb{C}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Różnowartościowość} } & \ \ \textrm{funkcja nie jest różnowartościowa}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Parzystość/Nieparzystość} } & \ \ \textrm{funkcja nieparzysta - wykres symetryczny względem punktu } O(0,0)\\
\color{#388E3C}{\textrm{Okresowość }} & \ \ \textrm{funkcja okresowa, okres podstawowy } T=2\pi.
\end{array}
\end{matrix}\]

Wykres funkcji \(f(x)=\cos x\)

Rysunek 3.5.1.2

Własności funkcji \(f(x)=\cos x\)

\[\begin{matrix}
\begin{array}{l}
\color{#388E3C}{\textrm{Dziedzina} } & \ \ D=\mathbb{R}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Zbiór wartości} } & \ \ ZW=\left \langle -1;1 \right \rangle\\
\color{#388E3C}{\textrm{Miejsca zerowe} } & \ \ \textrm{nieskończenie wiele miejsc zerowych } x_{0}=\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi, \ k\in \mathbb{C}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Monotoniczność} } & \ \ \textrm{funkcja przedziałami monotoniczna}\\
& \ \ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left \langle \pi+2k\pi ; 2\pi+2k\pi \right \rangle, \ k\in \mathbb{C}\\
& \ \ f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left \langle 2k\pi ; \pi+2k\pi \right \rangle, \ k\in \mathbb{C}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Różnowartościowość} } & \ \ \textrm{funkcja nie jest różnowartościowa}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Parzystość/Nieparzystość} } & \ \ \textrm{funkcja parzysta - wykres symetryczny względem osi } OY\\
\color{#388E3C}{\textrm{Okresowość }} & \ \ \textrm{funkcja okresowa, okres podstawowy } T=2\pi.
\end{array}
\end{matrix}\]

Wykres funkcji \(f(x)=\operatorname{tg}{x}\)

Rysunek 3.5.1.3

Własności funkcji \(f(x)=\operatorname{tg}{x}\)

\[\begin{matrix}
\begin{array}{l}
\color{#388E3C}{\textrm{Dziedzina} } & \ D=\mathbb{R}\setminus \left \{ \displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi : k\in \mathbb{C} \right \}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Zbiór wartości} } & \ \ ZW=\mathbb{R}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Miejsca zerowe} } & \ \ \textrm{nieskończenie wiele miejsc zerowych } x_{0}=k\pi, \ k\in \mathbb{C}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Monotoniczność} } & \ \ \textrm{funkcja przedziałami monotoniczna}\\
& \ \ f \nearrow \ \Leftrightarrow \  x\in \left ( -\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi ; \displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi \right ), \ k\in \mathbb{C}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Różnowartościowość} } & \ \ \textrm{funkcja nie jest różnowartościowa}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Parzystość/Nieparzystość} } & \ \ \textrm{funkcja nieparzysta - wykres symetryczny względem punktu } O(0,0)\\
\color{#388E3C}{\textrm{Okresowość }} & \ \ \textrm{funkcja okresowa, okres podstawowy } T=\pi.
\end{array}
\end{matrix}\]

Wykres funkcji \(f(x)=\operatorname{ctg}{x}\)

Rysunek 3.5.1.4

Własności funkcji \(f(x)=\operatorname{ctg}{x}\)

\[\begin{matrix}
\begin{array}{l}
\color{#388E3C}{\textrm{Dziedzina} } & \ D=\mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi : k\in \mathbb{C} \right \}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Zbiór wartości} } & \ \ ZW=\mathbb{R}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Miejsca zerowe} } & \ \ \textrm{nieskończenie wiele miejsc zerowych } x_{0}=\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi, \ k\in \mathbb{C}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Monotoniczność} } & \ \ \textrm{funkcja przedziałami monotoniczna}\\
& \ \ f \searrow \ \Leftrightarrow \  x\in \left (k\pi ; \pi+k\pi \right ), \ k\in \mathbb{C}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Różnowartościowość} } & \ \ \textrm{funkcja nie jest różnowartościowa}\\
\color{#388E3C}{\textrm{Parzystość/Nieparzystość} } & \ \ \textrm{funkcja nieparzysta - wykres symetryczny względem punktu } O(0,0)\\
\color{#388E3C}{\textrm{Okresowość }} & \ \ \textrm{funkcja okresowa, okres podstawowy } T=\pi.
\end{array}
\end{matrix}\]

 Funkcja 1

\(f(x)=2|\cos x|+1\)

 Rozwiązanie

Wykres funkcji \(f(x)=2|\cos x|+1\) szkicujemy w czterech krokach:
  1. wykres funkcji \(f(x)=\cos x,\)
  2. wykres funkcji \(f(x)=|\cos x|\) - symetria tej części wykresu, dla której \(f(x)<0,\) względem osi \(Ox,\)
  3. wykres funkcji \(f(x)=2|\cos x|\) - wartości funkcji \(f(x)=|\cos x|\) dla danych argumentów podwajają się,
  4. wykres funkcji \(f(x)=2|\cos x|+1\) - translacja o wektor \(\vec {v}=[0,1]\) (przesunięcie o \(1\) jednostkę w górę).
Rysunek 3.5.1.5

 Funkcja 2

\(f(x)=\sqrt{3}\sin x - \cos x\)

 Rozwiązanie

Nie jesteśmy w stanie przez przekształcenia wykresów naszkicować wykres funkcji \(f(x)=\sqrt{3}\sin x - \cos x.\) Aby doprowadzić funkcję \(f\) do takiej postaci, która nam ułatwi rozwiązanie zadania, należy skorzystać z wcześniej poznanych wzorów (Zadanie 3.5.2).
W tym przypadku pomocny będzie wzór na  \(\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y\) .
Przekształcamy wzór funkcji \(f,\) w taki sposób, aby otrzymać lewą stronę wzoru.
Uwaga
Należy zapamiętać podaną metodę, gdyż jest wykorzystywana często do przekształceń wzorów funkcji przy szkicowaniu wykresów.
Przekształcamy prawą stronę funkcji \(f(x)=\sqrt{3}\sin x - \cos x.\)
\[\begin{matrix}
\begin{array}{l}
\color{#F57C00}{\textrm{mnożymy podaną różnicę przez jedynkę w postaci } 2\cdot \displaystyle\frac{1}{2}} & \ \ 2\cdot \displaystyle\frac{1}{2}(\sqrt{3}\sin x - \cos x) = \\
\color{#F57C00}{\displaystyle\frac{1}{2} \textrm{ włączamy pod nawias} } & \ \ = 2\cdot (\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{3}\sin x - \displaystyle\frac{1}{2}\cos x)=\\
& \ \ =2\cdot (\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \displaystyle\frac{1}{2}\cos x)=\\
\color{#F57C00}{\textrm{zauważmy, że odpowiednie wartości dają nam cosinus i sinus tego samego kąta } \displaystyle\frac{\pi}{6} } & \ \ =2\cdot (\cos \displaystyle\frac{\pi}{6} \sin x - \sin \displaystyle\frac{\pi}{6} \cos x)=\\
\color{#F57C00}{\textrm{zmieniamy kolejność czynników w iloczynach} } & \ \ =2\cdot ( \sin x \cos \displaystyle\frac{\pi}{6} - \cos x \sin \displaystyle\frac{\pi}{6}) =\\
\color{#F57C00}{\textrm{korzystamy ze wzoru na sinus różnicy kątów} } & \ \ =2\sin (x-\displaystyle\frac{\pi}{6}).
\end{array}
\end{matrix}\]
Nasza funkcja ma już postać \(f(x)=2\sin (x-\displaystyle\frac{\pi}{6}).\)

Naszkicujemy wykres tej funkcji w kilku etapach.
Wskazówka
Użyj przycisków nawigacji umieszczonych pod rysunkiem, aby przejść do kolejnego etapu.

 Funkcja 3

\(f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

W pierwszym kroku należy zastanowić się nad tym, w jaki sposób przekształcić wzór funkcji \(f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert,\) aby możliwe było naszkicowanie wykresu tej funkcji. Rozpatrzmy, kiedy cotangens przyjmuje wartości dodatnie, a kiedy ujemne.
Uwaga
Wybierz właściwą odpowiedź i sprawdź. Aby przejść do kolejnego kroku, musisz wybrać poprawną odpowiedź.
Wyrażenie \(\lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert\) można zastąpić wyrażeniem:

\[\lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert =
\begin{cases}
\operatorname{ctg}{x},& \textrm{ dla } x\in \left (  k\pi ;\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi   \right \rangle\\
-\operatorname{ctg}{x},& \textrm{ dla } x\in \left (  \displaystyle\frac{\pi }{2} + k\pi ; \pi+k\pi  \right )
\end{cases}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[\lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert =
\begin{cases}
\operatorname{ctg}{x},& \textrm{ dla } x\in \left (  \displaystyle\frac{\pi }{2} + k\pi ; \pi+k\pi  \right )\\
-\operatorname{ctg}{x},& \textrm{ dla } x\in \left (  k\pi ;\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi   \right \rangle
\end{cases}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 2

Funkcja \(f\) będzie miała postać:

\[f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert =
\begin{cases}
\operatorname{tg}{x} \cdot \operatorname{ctg}{x},& \textrm{ dla } x\in \left (  k\pi ;\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi   \right \rangle\\
-\operatorname{tg}{x} \cdot\operatorname{ctg}{x},& \textrm{ dla } x\in \left (  \displaystyle\frac{\pi }{2} + k\pi ; \pi+k\pi  \right )
\end{cases}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert =
\begin{cases}
\operatorname{tg}{x} \cdot \operatorname{tg}{x},&\textrm{ dla } x\in \left (  \displaystyle\frac{\pi }{2} + k\pi ; \pi+k\pi  \right )\\
-\operatorname{tg}{x} \cdot \operatorname{tg}{x},&\textrm{ dla } x\in \left (  k\pi ;\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi   \right \rangle
\end{cases}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 3

Korzystając ze wzoru \(\operatorname{tg}{x}\cdot \operatorname{ctg}{x}=1,\) funkcja \(f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert \) przyjmie postać:

\[f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert =
\begin{cases}
1,& \textrm{ dla } x\in \left (  \displaystyle\frac{\pi }{2} + k\pi ; \pi+k\pi  \right )\\
-1,& \textrm{ dla } x\in \left (  k\pi ;\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi   \right \rangle
\end{cases}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert =
\begin{cases}
1,& \textrm{ dla } x\in \left (  k\pi ;\displaystyle\frac{\pi }{2}+k\pi   \right \rangle\\
-1,& \textrm{ dla } x\in \left (  \displaystyle\frac{\pi }{2} + k\pi ; \pi+k\pi  \right )
\end{cases}\]

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 4

Uwzględniając podział dziedziny na odpowiednie przedziały, szkicujemy wykres funkcji \(f(x)=\operatorname{tg}{x}\cdot \lvert\operatorname{ctg}{x}\rvert.\)

Rysunek 3.5.1.10

Odpowiedź nieprawidłowa

Rysunek 3.5.1.9

Odpowiedź prawidłowa

Podsumowanie

Wszystkie kroki zadania 3.5.3.3 zostały wykonane prawidłowo.

 Polecenie

Naszkicuj wykresy podanych funkcji.

 Funkcja 1

\(f(x)=-\operatorname{tg}{(x+\displaystyle\frac{\pi}{2})}+2\)

 Odpowiedź

Rysunek 3.5.1.15

 Rozwiązanie - Animacja 2

Uwaga
Użyj przycisków nawigacji umieszczonych pod rysunkiem, aby przejść do kolejnego etapu.

 Funkcja 2

\(f(x)=\sin \lvert \displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\rvert -3\)

 Odpowiedź

Wykres funkcji \(f(x)=\sin \lvert \displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\rvert -3.\)
Rysunek 3.5.1.17

 Rozwiązanie

Aby naszkicować wykres funkcji \(f(x)=\sin \lvert \displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\rvert -3\) należy wykonać następujące etapy:

  • Naszkicować wykres funkcji \(y=\sin x.\)
  • Naszkicować wykres funkcji \(y=\sin (\displaystyle\frac{1}{2}x).\) Należy policzyć kilka wartości dla argumentów z przedziału większego od \(
    \left \langle 0, 2\pi \right \rangle.\)
  • Naszkicować wykres funkcji \(y=\sin \lvert \displaystyle\frac{1}{2}x\rvert.\) Aby to zrobić przeanalizuj wprowadzenie do zadania 3.1.2 - Animacja 3.
  • Naszkicować wykres funkcji \(f(x)=\sin \lvert \displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\rvert -3,\) przez przesunięcie o wektor \(\vec w=[\displaystyle\frac{\pi}{2},-3].\) ( \(f(x)=\sin \lvert\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\rvert -3=\sin \lvert \displaystyle\frac{1}{2}(x-\displaystyle\frac{\pi}{2})\rvert -3,\) stąd przesuwamy o wektor \(\vec w=[\displaystyle\frac{\pi}{2},-3].\) )
Rysunek 3.5.1.16