Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Zadanie 3.5.3

 Polecenie

Naszkicuj wykresy podanych funkcji.

 Wskazówki

Wykres funkcji f(x)=sinx

Rysunek 3.5.1.1

Własności funkcji f(x)=sinx

Dziedzina  D=RZbiór wartości  ZW=1;1Miejsca zerowe  nieskończenie wiele miejsc zerowych x0=kπ, kCMonotoniczność  funkcja przedziałami monotoniczna  f  xπ2+2kπ;π2+2kπ, kC  f  xπ2+2kπ;3π2+2kπ, kCRóżnowartościowość  funkcja nie jest różnowartościowaParzystość/Nieparzystość  funkcja nieparzysta - wykres symetryczny względem punktu O(0,0)Okresowość   funkcja okresowa, okres podstawowy T=2π.

Wykres funkcji f(x)=cosx

Rysunek 3.5.1.2

Własności funkcji f(x)=cosx

Dziedzina  D=RZbiór wartości  ZW=1;1Miejsca zerowe  nieskończenie wiele miejsc zerowych x0=π2+kπ, kCMonotoniczność  funkcja przedziałami monotoniczna  f  xπ+2kπ;2π+2kπ, kC  f  x2kπ;π+2kπ, kCRóżnowartościowość  funkcja nie jest różnowartościowaParzystość/Nieparzystość  funkcja parzysta - wykres symetryczny względem osi OYOkresowość   funkcja okresowa, okres podstawowy T=2π.

Wykres funkcji f(x)=tgx

Rysunek 3.5.1.3

Własności funkcji f(x)=tgx

Dziedzina D=R{π2+kπ:kC}Zbiór wartości  ZW=RMiejsca zerowe  nieskończenie wiele miejsc zerowych x0=kπ, kCMonotoniczność  funkcja przedziałami monotoniczna  f  x(π2+kπ;π2+kπ), kCRóżnowartościowość  funkcja nie jest różnowartościowaParzystość/Nieparzystość  funkcja nieparzysta - wykres symetryczny względem punktu O(0,0)Okresowość   funkcja okresowa, okres podstawowy T=π.

Wykres funkcji f(x)=ctgx

Rysunek 3.5.1.4

Własności funkcji f(x)=ctgx

Dziedzina D=R{kπ:kC}Zbiór wartości  ZW=RMiejsca zerowe  nieskończenie wiele miejsc zerowych x0=π2+kπ, kCMonotoniczność  funkcja przedziałami monotoniczna  f  x(kπ;π+kπ), kCRóżnowartościowość  funkcja nie jest różnowartościowaParzystość/Nieparzystość  funkcja nieparzysta - wykres symetryczny względem punktu O(0,0)Okresowość   funkcja okresowa, okres podstawowy T=π.

 Funkcja 1

f(x)=2|cosx|+1

 Rozwiązanie

Wykres funkcji f(x)=2|cosx|+1 szkicujemy w czterech krokach:
  1. wykres funkcji f(x)=cosx,
  2. wykres funkcji f(x)=|cosx| - symetria tej części wykresu, dla której f(x)<0, względem osi Ox,
  3. wykres funkcji f(x)=2|cosx| - wartości funkcji f(x)=|cosx| dla danych argumentów podwajają się,
  4. wykres funkcji f(x)=2|cosx|+1 - translacja o wektor v=[0,1] (przesunięcie o 1 jednostkę w górę).
Rysunek 3.5.1.5

 Funkcja 2

f(x)=3sinxcosx

 Rozwiązanie

Nie jesteśmy w stanie przez przekształcenia wykresów naszkicować wykres funkcji f(x)=3sinxcosx. Aby doprowadzić funkcję f do takiej postaci, która nam ułatwi rozwiązanie zadania, należy skorzystać z wcześniej poznanych wzorów (Zadanie 3.5.2).
W tym przypadku pomocny będzie wzór na sin(xy)=sinxcosycosxsiny.
Przekształcamy wzór funkcji f, w taki sposób, aby otrzymać lewą stronę wzoru.
Uwaga
Należy zapamiętać podaną metodę, gdyż jest wykorzystywana często do przekształceń wzorów funkcji przy szkicowaniu wykresów.
Przekształcamy prawą stronę funkcji f(x)=3sinxcosx.
mnożymy podaną różnicę przez jedynkę w postaci 212  212(3sinxcosx)=12 włączamy pod nawias  =2(123sinx12cosx)=  =2(32sinx12cosx)=zauważmy, że odpowiednie wartości dają nam cosinus i sinus tego samego kąta π6  =2(cosπ6sinxsinπ6cosx)=zmieniamy kolejność czynników w iloczynach  =2(sinxcosπ6cosxsinπ6)=korzystamy ze wzoru na sinus różnicy kątów  =2sin(xπ6).
Nasza funkcja ma już postać f(x)=2sin(xπ6).

Naszkicujemy wykres tej funkcji w kilku etapach.
Wskazówka
Użyj przycisków nawigacji umieszczonych pod rysunkiem, aby przejść do kolejnego etapu.

 Funkcja 3

f(x)=tgx|ctgx|

 Rozwiązanie

 Krok 1

W pierwszym kroku należy zastanowić się nad tym, w jaki sposób przekształcić wzór funkcji f(x)=tgx|ctgx|, aby możliwe było naszkicowanie wykresu tej funkcji. Rozpatrzmy, kiedy cotangens przyjmuje wartości dodatnie, a kiedy ujemne.
Uwaga
Wybierz właściwą odpowiedź i sprawdź. Aby przejść do kolejnego kroku, musisz wybrać poprawną odpowiedź.
Wyrażenie |ctgx| można zastąpić wyrażeniem:

|ctgx|={ctgx, dla x(kπ;π2+kπctgx, dla x(π2+kπ;π+kπ)

Odpowiedź prawidłowa

|ctgx|={ctgx, dla x(π2+kπ;π+kπ)ctgx, dla x(kπ;π2+kπ

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 2

Funkcja f będzie miała postać:

f(x)=tgx|ctgx|={tgxctgx, dla x(kπ;π2+kπtgxctgx, dla x(π2+kπ;π+kπ)

Odpowiedź prawidłowa

f(x)=tgx|ctgx|={tgxtgx, dla x(π2+kπ;π+kπ)tgxtgx, dla x(kπ;π2+kπ

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 3

Korzystając ze wzoru tgxctgx=1, funkcja f(x)=tgx|ctgx| przyjmie postać:

f(x)=tgx|ctgx|={1, dla x(π2+kπ;π+kπ)1, dla x(kπ;π2+kπ

Odpowiedź nieprawidłowa

f(x)=tgx|ctgx|={1, dla x(kπ;π2+kπ1, dla x(π2+kπ;π+kπ)

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 4

Uwzględniając podział dziedziny na odpowiednie przedziały, szkicujemy wykres funkcji f(x)=tgx|ctgx|.

Rysunek 3.5.1.10

Odpowiedź nieprawidłowa

Rysunek 3.5.1.9

Odpowiedź prawidłowa

Podsumowanie

Wszystkie kroki zadania 3.5.3.3 zostały wykonane prawidłowo.

 Polecenie

Naszkicuj wykresy podanych funkcji.

 Funkcja 1

f(x)=tg(x+π2)+2

 Odpowiedź

Rysunek 3.5.1.15

 Rozwiązanie - Animacja 2

Uwaga
Użyj przycisków nawigacji umieszczonych pod rysunkiem, aby przejść do kolejnego etapu.

 Funkcja 2

f(x)=sin|12xπ4|3

 Odpowiedź

Wykres funkcji f(x)=sin|12xπ4|3.
Rysunek 3.5.1.17

 Rozwiązanie

Aby naszkicować wykres funkcji f(x)=sin|12xπ4|3 należy wykonać następujące etapy:

  • Naszkicować wykres funkcji y=sinx.
  • Naszkicować wykres funkcji y=sin(12x). Należy policzyć kilka wartości dla argumentów z przedziału większego od 0,2π.
  • Naszkicować wykres funkcji y=sin|12x|. Aby to zrobić przeanalizuj wprowadzenie do zadania 3.1.2 - Animacja 3.
  • Naszkicować wykres funkcji f(x)=sin|12xπ4|3, przez przesunięcie o wektor w=[π2,3].f(x)=sin|12xπ4|3=sin|12(xπ2)|3, stąd przesuwamy o wektor w=[π2,3]. )
Rysunek 3.5.1.16