Polecenie
Naszkicuj wykresy podanych funkcji.
Wskazówki
Własności funkcji f(x)=sinx
Dziedzina D=RZbiór wartości ZW=⟨−1;1⟩Miejsca zerowe nieskończenie wiele miejsc zerowych x0=kπ, k∈CMonotoniczność funkcja przedziałami monotoniczna f↗ ⇔ x∈⟨−π2+2kπ;π2+2kπ⟩, k∈C f↘ ⇔ x∈⟨π2+2kπ;3π2+2kπ⟩, k∈CRóżnowartościowość funkcja nie jest różnowartościowaParzystość/Nieparzystość funkcja nieparzysta - wykres symetryczny względem punktu O(0,0)Okresowość funkcja okresowa, okres podstawowy T=2π.
Własności funkcji f(x)=cosx
Dziedzina D=RZbiór wartości ZW=⟨−1;1⟩Miejsca zerowe nieskończenie wiele miejsc zerowych x0=π2+kπ, k∈CMonotoniczność funkcja przedziałami monotoniczna f↗ ⇔ x∈⟨π+2kπ;2π+2kπ⟩, k∈C f↘ ⇔ x∈⟨2kπ;π+2kπ⟩, k∈CRóżnowartościowość funkcja nie jest różnowartościowaParzystość/Nieparzystość funkcja parzysta - wykres symetryczny względem osi OYOkresowość funkcja okresowa, okres podstawowy T=2π.
Własności funkcji f(x)=tgx
Dziedzina D=R∖{π2+kπ:k∈C}Zbiór wartości ZW=RMiejsca zerowe nieskończenie wiele miejsc zerowych x0=kπ, k∈CMonotoniczność funkcja przedziałami monotoniczna f↗ ⇔ x∈(−π2+kπ;π2+kπ), k∈CRóżnowartościowość funkcja nie jest różnowartościowaParzystość/Nieparzystość funkcja nieparzysta - wykres symetryczny względem punktu O(0,0)Okresowość funkcja okresowa, okres podstawowy T=π.
Własności funkcji f(x)=ctgx
Dziedzina D=R∖{kπ:k∈C}Zbiór wartości ZW=RMiejsca zerowe nieskończenie wiele miejsc zerowych x0=π2+kπ, k∈CMonotoniczność funkcja przedziałami monotoniczna f↘ ⇔ x∈(kπ;π+kπ), k∈CRóżnowartościowość funkcja nie jest różnowartościowaParzystość/Nieparzystość funkcja nieparzysta - wykres symetryczny względem punktu O(0,0)Okresowość funkcja okresowa, okres podstawowy T=π.
Funkcja 1
f(x)=2|cosx|+1
Rozwiązanie
Wykres funkcji f(x)=2|cosx|+1 szkicujemy w czterech krokach:
- wykres funkcji f(x)=cosx,
- wykres funkcji f(x)=|cosx| - symetria tej części wykresu, dla której f(x)<0, względem osi Ox,
- wykres funkcji f(x)=2|cosx| - wartości funkcji f(x)=|cosx| dla danych argumentów podwajają się,
- wykres funkcji f(x)=2|cosx|+1 - translacja o wektor →v=[0,1] (przesunięcie o 1 jednostkę w górę).

Funkcja 2
f(x)=√3sinx−cosx
Rozwiązanie
Nie jesteśmy w stanie przez przekształcenia wykresów naszkicować wykres funkcji f(x)=√3sinx−cosx. Aby doprowadzić funkcję f do takiej postaci, która nam ułatwi rozwiązanie zadania, należy skorzystać z wcześniej poznanych wzorów (Zadanie 3.5.2).
W tym przypadku pomocny będzie wzór na sin(x−y)=sinxcosy−cosxsiny .
Przekształcamy wzór funkcji f, w taki sposób, aby otrzymać lewą stronę wzoru.
W tym przypadku pomocny będzie wzór na sin(x−y)=sinxcosy−cosxsiny .
Przekształcamy wzór funkcji f, w taki sposób, aby otrzymać lewą stronę wzoru.
Uwaga
Należy zapamiętać podaną metodę, gdyż jest wykorzystywana często do przekształceń wzorów funkcji przy szkicowaniu wykresów.
Przekształcamy prawą stronę funkcji f(x)=√3sinx−cosx.
mnożymy podaną różnicę przez jedynkę w postaci 2⋅12 2⋅12(√3sinx−cosx)=12 włączamy pod nawias =2⋅(12√3sinx−12cosx)= =2⋅(√32sinx−12cosx)=zauważmy, że odpowiednie wartości dają nam cosinus i sinus tego samego kąta π6 =2⋅(cosπ6sinx−sinπ6cosx)=zmieniamy kolejność czynników w iloczynach =2⋅(sinxcosπ6−cosxsinπ6)=korzystamy ze wzoru na sinus różnicy kątów =2sin(x−π6).
Nasza funkcja ma już postać f(x)=2sin(x−π6).
Naszkicujemy wykres tej funkcji w kilku etapach.
mnożymy podaną różnicę przez jedynkę w postaci 2⋅12 2⋅12(√3sinx−cosx)=12 włączamy pod nawias =2⋅(12√3sinx−12cosx)= =2⋅(√32sinx−12cosx)=zauważmy, że odpowiednie wartości dają nam cosinus i sinus tego samego kąta π6 =2⋅(cosπ6sinx−sinπ6cosx)=zmieniamy kolejność czynników w iloczynach =2⋅(sinxcosπ6−cosxsinπ6)=korzystamy ze wzoru na sinus różnicy kątów =2sin(x−π6).
Nasza funkcja ma już postać f(x)=2sin(x−π6).
Naszkicujemy wykres tej funkcji w kilku etapach.
Wskazówka
Użyj przycisków nawigacji umieszczonych pod rysunkiem, aby przejść do kolejnego etapu.

1/3
Szkicujemy wykres funkcji y=sinx.

2/3
Przekształcamy wykres funkcji y=sinx w translacji o wektor →v=[π6,0], (czyli przesuwamy o π6 jednostek w prawo).

3/3
Wartości funkcji y=sin(x−π6) podwajamy dla każdego argumentu otrzymując wykres funkcji f(x)=2sin(x−π6).
Funkcja 3
f(x)=tgx⋅|ctgx|
Rozwiązanie
Krok 1
W pierwszym kroku należy zastanowić się nad tym, w jaki sposób przekształcić wzór funkcji f(x)=tgx⋅|ctgx|, aby możliwe było naszkicowanie wykresu tej funkcji. Rozpatrzmy, kiedy cotangens przyjmuje wartości dodatnie, a kiedy ujemne.
Uwaga
Wybierz właściwą odpowiedź i sprawdź. Aby przejść do kolejnego kroku, musisz wybrać poprawną odpowiedź.
Wyrażenie |ctgx| można zastąpić wyrażeniem:
|ctgx|={ctgx, dla x∈(kπ;π2+kπ⟩−ctgx, dla x∈(π2+kπ;π+kπ)
Odpowiedź prawidłowa
|ctgx|={ctgx, dla x∈(π2+kπ;π+kπ)−ctgx, dla x∈(kπ;π2+kπ⟩
Odpowiedź nieprawidłowa
Krok 2
Funkcja f będzie miała postać:
f(x)=tgx⋅|ctgx|={tgx⋅ctgx, dla x∈(kπ;π2+kπ⟩−tgx⋅ctgx, dla x∈(π2+kπ;π+kπ)
Odpowiedź prawidłowa
f(x)=tgx⋅|ctgx|={tgx⋅tgx, dla x∈(π2+kπ;π+kπ)−tgx⋅tgx, dla x∈(kπ;π2+kπ⟩
Odpowiedź nieprawidłowa
Krok 3
Korzystając ze wzoru tgx⋅ctgx=1, funkcja f(x)=tgx⋅|ctgx| przyjmie postać:
f(x)=tgx⋅|ctgx|={1, dla x∈(π2+kπ;π+kπ)−1, dla x∈(kπ;π2+kπ⟩
Odpowiedź nieprawidłowa
f(x)=tgx⋅|ctgx|={1, dla x∈(kπ;π2+kπ⟩−1, dla x∈(π2+kπ;π+kπ)
Odpowiedź prawidłowa
Krok 4
Uwzględniając podział dziedziny na odpowiednie przedziały, szkicujemy wykres funkcji f(x)=tgx⋅|ctgx|.
Podsumowanie
Wszystkie kroki zadania 3.5.3.3 zostały wykonane prawidłowo.
Polecenie
Naszkicuj wykresy podanych funkcji.
Funkcja 1
f(x)=−tg(x+π2)+2
Rozwiązanie - Animacja 2
Uwaga
Użyj przycisków nawigacji umieszczonych pod rysunkiem, aby przejść do kolejnego etapu.

1/5
Szkicujemy wykres funkcji y=tgx.

2/5
Przekształcamy wykres y=tgx w translacji o wektor →v=[−π2,2] (czyli przesunięcie o π2 jednostek w lewo wzdłuż osi OX oraz o 2 jednostki w dół, wzdłuż osi OY).

3/5
Przekształcamy wykres y=tgx w translacji o wektor →v=[−π2,2] (czyli przesunięcie o π2 jednostek w lewo wzdłuż osi OX oraz o 2 jednostki w dół, wzdłuż osi OY).

4/5
Aby otrzymać wykres funkcji f(x)=−tg(x+π2)+2 przekształcamy wykres powyższej funkcji f(x)=tg(x+π2)−2 w symetrii względem osi OX, otrzymując wykres funkcji f(x)=−(tg(x+π2)−2).

5/5
Ostatecznie otrzymujemy wykres funkcji f(x)=−(tg(x+π2)−2), czyli funkcji f(x)=−tg(x+π2)+2.
Funkcja 2
f(x)=sin|12x−π4|−3
Rozwiązanie
Aby naszkicować wykres funkcji f(x)=sin|12x−π4|−3 należy wykonać następujące etapy:
- Naszkicować wykres funkcji y=sinx.
- Naszkicować wykres funkcji y=sin(12x). Należy policzyć kilka wartości dla argumentów z przedziału większego od ⟨0,2π⟩.
- Naszkicować wykres funkcji y=sin|12x|. Aby to zrobić przeanalizuj wprowadzenie do zadania 3.1.2 - Animacja 3.
- Naszkicować wykres funkcji f(x)=sin|12x−π4|−3, przez przesunięcie o wektor →w=[π2,−3]. ( f(x)=sin|12x−π4|−3=sin|12(x−π2)|−3, stąd przesuwamy o wektor →w=[π2,−3]. )
