Korzystamy z wzoru jedynkowego, aby otrzymać nierówność zawierającą tylko funkcję sinus.
\[ \begin{array}{l}
-\cos ^{2}x+3\sin x\leq -3\\
-\left ( 1-\sin^{2}x \right )+3\sin x+3\leq 0\\
-1+\sin^{2}x +3\sin x+3\leq 0\\
\sin^{2}x +3\sin x+2\leq 0
\end{array}\]
Ponieważ otrzymaliśmy z lewej strony nierówności funkcję złożoną (z funkcji kwadratowej i funkcji sinus), zatem dokonujemy podstawienia, do którego później wrócimy.
\[ \begin{array}{l}
\sin x=t, \ \ t\in \left \langle -1;1 \right \rangle\\
t^{2}+3t+2\leq 0
\end{array}\]
Rozwiązujemy nierówność kwadratową.
\[ \begin{array}{l}
\Delta =9-8=1, \ \ \sqrt{\Delta }=1\\
t_{1}=\displaystyle\frac{-3-1}{2}=-2\\
t_{2}=\displaystyle\frac{-3+1}{2}=-1
\end{array}\]
Szkicujemy wykres pomocniczy i odczytujemy argumenty \(t,\) dla których funkcja kwadratowa przyjmuje wartości niedodatnie.

Zatem \(t\in \left \langle -2;-1 \right \rangle.\)
Ponieważ z założenia \(t\) jest wartością funkcji sinus, zatem zakładaliśmy, że \(t\in \left \langle -1;1 \right \rangle.\) Częścią wspólną tych dwóch zbiorów jest tylko jedna liczba \(-1.\) Wracamy do podstawienia:
\[ \begin{array}{l}
t=-1\\
\sin x=-1
\end{array}\]
Odczytujemy z wykresu, dla jakich argumentów funkcja sinus przyjmuje wartości \(-1.\)
Tych argumentów jest nieskończenie wiele, ale występują okresowo. Zatem wystarczy podać jedno rozwiązanie i dodać wielokrotność okresu. (Zwykle wybieramy ten argument, który znajduje się w przedziale \(\left \langle -\pi ;\pi  \right \rangle.\))

Odczytujemy rozwiązanie \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+2k\pi, \ k\in \mathbb{C}.\) (Można było również zapisać odpowiedź np. w postaci \(x=\displaystyle\frac{3\pi}{2}+2k\pi, \ k\in \mathbb{C}\).)

\[\lvert \cos (x-\displaystyle\frac{\pi }{6}) \rvert \leq \displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\\
-\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\leq\cos (x-\displaystyle\frac{\pi }{6})\leq \displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\]
Szkicujemy wykres funkcji \(y=\cos x\) i odczytujemy, dla jakich argumentów wartości cosinusa mieszczą się w przedziale \(\left \langle -\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}; \displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2} \right \rangle.\) Chwilowo pomijamy w argumencie \(-\displaystyle\frac{\pi }{6}.\)
Zobrazujmy sytuację na rysunku.

Z rysunku można odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe od \(\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\) lub mniejsze od \(-\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\) dla części wykresu zaznaczonego na niebiesko. Tych części nie bierzemy pod uwagę. Interesują nas fragmenty zaznaczone na różowo i zielono. Dlaczego dwa kolory? Bo są to dwie różne części wykresu spełniające podaną nierówność, jednocześnie powtarzające się cyklicznie.
A zatem:
\[-\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\leq\cos x\leq \displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\ \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \ x\in \color{#009900}{\left \langle \displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi; \pi -\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi \right \rangle} \ \cup \ \color{#CC0066}{\left \langle \pi+\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi ;2\pi-\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi \right \rangle},\ k\in \mathbb{C}.\]

Weźmy zatem pod uwagę, że argumentem funkcji cosinus jest u nas \((x-\displaystyle\frac{\pi }{6}).\)
Zatem
\[-\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\leq\cos (x-\displaystyle\frac{\pi }{6})\leq \displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2} \ \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \ \ x-\displaystyle\frac{\pi }{6}\in \left \langle \displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi; \pi -\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi \right \rangle \ \cup \ \left \langle \pi+\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi ;2\pi-\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi \right \rangle,\ k\in \mathbb{C}.\]

Wyznaczamy \(x:\)
\[-\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\leq\cos (x-\displaystyle\frac{\pi }{6})\leq \displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\\
\Leftrightarrow \ \ x-\displaystyle\frac{\pi }{6}\in \left \langle \displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi; \pi -\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi \right \rangle \ \cup \ \left \langle \pi+\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi ;2\pi-\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi \right \rangle,\ k\in \mathbb{C}\ \Leftrightarrow \]
Chwilowo pomijamy podczas obliczeń \(2k\pi.\)
\[\Leftrightarrow \ \  \displaystyle\frac{\pi }{6} \leq x -\displaystyle\frac{\pi }{6}\leq \pi-\displaystyle\frac{\pi }{6} \ \ \vee \ \ \pi +\displaystyle\frac{\pi }{6} \leq x -\displaystyle\frac{\pi }{6}\leq 2\pi-\displaystyle\frac{\pi }{6} \ \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \ \displaystyle\frac{\pi }{6}+\displaystyle\frac{\pi }{6} \leq x \leq \pi -\displaystyle\frac{\pi }{6}+\displaystyle\frac{\pi }{6} \ \ \vee \ \ \pi+\displaystyle\frac{\pi }{6}+\displaystyle\frac{\pi }{6} \leq x \leq 2\pi-\displaystyle\frac{\pi }{6}+\displaystyle\frac{\pi }{6} \ \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \ \displaystyle\frac{\pi }{3}\leq x\leq \pi \ \ \vee \ \ \displaystyle\frac{4\pi }{3}\leq x\leq 2\pi \]

A co za tym idzie, włączając okresowość przedziałów (okres się nie zmienia, bo tylko przesunęliśmy wykres funkcji cosinus):
\[x\in \left \langle \displaystyle\frac{\pi }{3}+2k\pi; \pi+2k\pi\right \rangle \ \cup \ \left \langle \displaystyle\frac{4\pi }{3}+2k\pi ;2\pi+2k\pi \right \rangle,\ k\in \mathbb{C}.\]