Korzystamy z wzoru jedynkowego, aby otrzymać nierówność zawierającą tylko funkcję sinus.
$$\begin{array}{l} -\cos ^{2}x+3\sin x\leq -3\\ -\left ( 1-\sin^{2}x \right )+3\sin x+3\leq 0\\ -1+\sin^{2}x +3\sin x+3\leq 0\\ \sin^{2}x +3\sin x+2\leq 0 \end{array}$$
Ponieważ otrzymaliśmy z lewej strony nierówności funkcję złożoną (z funkcji kwadratowej i funkcji sinus), zatem dokonujemy podstawienia, do którego później wrócimy.
$$\begin{array}{l} \sin x=t, \ \ t\in \left \langle -1;1 \right \rangle\\ t^{2}+3t+2\leq 0 \end{array}$$
Rozwiązujemy nierówność kwadratową.
$$\begin{array}{l} \Delta =9-8=1, \ \ \sqrt{\Delta }=1\\ t_{1}=\displaystyle\frac{-3-1}{2}=-2\\ t_{2}=\displaystyle\frac{-3+1}{2}=-1 \end{array}$$
Szkicujemy wykres pomocniczy i odczytujemy argumenty $t,$ dla których funkcja kwadratowa przyjmuje wartości niedodatnie.

Zatem $t\in \left \langle -2;-1 \right \rangle.$
Ponieważ z założenia $t$ jest wartością funkcji sinus, zatem zakładaliśmy, że $t\in \left \langle -1;1 \right \rangle.$ Częścią wspólną tych dwóch zbiorów jest tylko jedna liczba $-1.$ Wracamy do podstawienia:
$$\begin{array}{l} t=-1\\ \sin x=-1 \end{array}$$
Odczytujemy z wykresu, dla jakich argumentów funkcja sinus przyjmuje wartości $-1.$
Tych argumentów jest nieskończenie wiele, ale występują okresowo. Zatem wystarczy podać jedno rozwiązanie i dodać wielokrotność okresu. (Zwykle wybieramy ten argument, który znajduje się w przedziale $\left \langle -\pi ;\pi  \right \rangle.$)

Odczytujemy rozwiązanie $x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+2k\pi, \ k\in \mathbb{C}.$ (Można było również zapisać odpowiedź np. w postaci $x=\displaystyle\frac{3\pi}{2}+2k\pi, \ k\in \mathbb{C}$.)

$$\lvert \cos (x-\displaystyle\frac{\pi }{6}) \rvert \leq \displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\\ -\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\leq\cos (x-\displaystyle\frac{\pi }{6})\leq \displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}$$
Szkicujemy wykres funkcji $y=\cos x$ i odczytujemy, dla jakich argumentów wartości cosinusa mieszczą się w przedziale $\left \langle -\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}; \displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2} \right \rangle.$ Chwilowo pomijamy w argumencie $-\displaystyle\frac{\pi }{6}.$
Zobrazujmy sytuację na rysunku.

Z rysunku można odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe od $\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}$ lub mniejsze od $-\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}$ dla części wykresu zaznaczonego na niebiesko. Tych części nie bierzemy pod uwagę. Interesują nas fragmenty zaznaczone na różowo i zielono. Dlaczego dwa kolory? Bo są to dwie różne części wykresu spełniające podaną nierówność, jednocześnie powtarzające się cyklicznie.
A zatem:
$$-\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\leq\cos x\leq \displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \ x\in \color{#009900}{\left \langle \displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi; \pi -\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi \right \rangle} \ \cup \ \color{#CC0066}{\left \langle \pi+\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi ;2\pi-\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi \right \rangle},\ k\in \mathbb{C}.$$

Weźmy zatem pod uwagę, że argumentem funkcji cosinus jest u nas $(x-\displaystyle\frac{\pi }{6}).$
Zatem
$$-\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\leq\cos (x-\displaystyle\frac{\pi }{6})\leq \displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2} \ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \ \ x-\displaystyle\frac{\pi }{6}\in \left \langle \displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi; \pi -\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi \right \rangle \ \cup \ \left \langle \pi+\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi ;2\pi-\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi \right \rangle,\ k\in \mathbb{C}.$$

Wyznaczamy $x:$
$$-\displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\leq\cos (x-\displaystyle\frac{\pi }{6})\leq \displaystyle\frac{\sqrt{3} }{2}\\ \Leftrightarrow \ \ x-\displaystyle\frac{\pi }{6}\in \left \langle \displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi; \pi -\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi \right \rangle \ \cup \ \left \langle \pi+\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi ;2\pi-\displaystyle\frac{\pi }{6}+2k\pi \right \rangle,\ k\in \mathbb{C}\ \Leftrightarrow$$
Chwilowo pomijamy podczas obliczeń $2k\pi.$
$$\Leftrightarrow \ \  \displaystyle\frac{\pi }{6} \leq x -\displaystyle\frac{\pi }{6}\leq \pi-\displaystyle\frac{\pi }{6} \ \ \vee \ \ \pi +\displaystyle\frac{\pi }{6} \leq x -\displaystyle\frac{\pi }{6}\leq 2\pi-\displaystyle\frac{\pi }{6} \ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \ \displaystyle\frac{\pi }{6}+\displaystyle\frac{\pi }{6} \leq x \leq \pi -\displaystyle\frac{\pi }{6}+\displaystyle\frac{\pi }{6} \ \ \vee \ \ \pi+\displaystyle\frac{\pi }{6}+\displaystyle\frac{\pi }{6} \leq x \leq 2\pi-\displaystyle\frac{\pi }{6}+\displaystyle\frac{\pi }{6} \ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \ \displaystyle\frac{\pi }{3}\leq x\leq \pi \ \ \vee \ \ \displaystyle\frac{4\pi }{3}\leq x\leq 2\pi$$

A co za tym idzie, włączając okresowość przedziałów (okres się nie zmienia, bo tylko przesunęliśmy wykres funkcji cosinus):
$$x\in \left \langle \displaystyle\frac{\pi }{3}+2k\pi; \pi+2k\pi\right \rangle \ \cup \ \left \langle \displaystyle\frac{4\pi }{3}+2k\pi ;2\pi+2k\pi \right \rangle,\ k\in \mathbb{C}.$$