Aby znaleźć funkcję odwrotną do funkcji sinus, należy tak "uciąć" wykres funkcji sinus, aby powstała funkcja była różnowartościowa.
My mamy podany przedział \(\left \langle -\displaystyle\frac{\pi }{2}; \displaystyle\frac{\pi }{2} \right \rangle.\) Wystarczy sprawdzić, czy na podanym przedziale funkcja sinus jest różnowartościowa. Z wykresu funkcji sinus wynika, że tak. Zatem posiada ona funkcję odwrotną na tym przedziale.

Liczymy wartość wyrażenia \(\sin f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big).\)
\[\begin{array}{l}
f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big)=\arcsin \Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big)\\
\arcsin \Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big)= \alpha \\
\sin \alpha =\displaystyle\frac{1}{2}\\
\alpha =\displaystyle\frac{\pi}{6}.
\end{array}\]
Zatem \[\sin f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big)=\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}= \displaystyle\frac{1}{2}.\]

Mamy również rozwiązać równanie \(f^{-1}(x)= \displaystyle\frac{\pi}{3}.\)
\[ \begin{array}{l}
f^{-1}(x)= \displaystyle\frac{\pi}{3}\\
\arcsin x=\displaystyle\frac{\pi}{3}\\
x=\sin \displaystyle\frac{\pi}{3}\\
x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}.
\end{array}\]

Funkcja \(y=\cos x\) na przedziale \(\left \langle 0; \pi \right \rangle\) jest funkcją różnowartościową, zatem posiada funkcję odwrotną.

Obliczamy wartość wyrażenia \(\sin (f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big)).\)
\[ \begin{array}{l}
\sin (f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big))=\sin (\color{#388E3C}{\arccos \Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big)})\\
\color{#388E3C}{\arccos \Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big)=\alpha} \\
\color{#388E3C}{\cos \alpha =\displaystyle\frac{1}{2}}\\
\color{#388E3C}{\alpha =\displaystyle\frac{\pi}{3}}\\
\sin (\arccos \Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big))=\sin (\displaystyle\frac{\pi}{3})=\\
=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}.
\end{array}\]
Rozwiązujemy równanie \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{3}.\)
\[ \begin{array}{l}
f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{3}\\
\arccos x=\displaystyle\frac{\pi}{3}\\
x=\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}= \displaystyle\frac{1}{2}.
\end{array}\]

W przedziale \(\left ( 2\pi;3\pi \right )\) funkcja \(y=\operatorname{ctg}{x}\) jest różnowartościowa. Zatem posiada funkcję odwrotną. Zaczynamy rysunek od funkcji \(y=\operatorname{ctg}{x}\) w przedziale \(\left ( 0;\pi \right ).\) Funkcją odwrotną do niej jest funkcja \(y=\operatorname{arcctg}{x}.\)

Zauważmy, że funkcją odwrotną do funkcji \(f(x)=\operatorname{ctg}{x}, \ \ x\in \left ( 2\pi;3\pi \right )\) jest funkcja odwrotna do funkcji \(f(x)=\operatorname{ctg}{x}, \ \ x\in \left ( 0;\pi \right ),\) przesunięta o \(2\pi\) jednostek w górę wzdłuż osi \(OY.\) Zatem jest to funkcja \(f^{-1}(x)=\operatorname{arcctg}{x}+2\pi.\)

Wyznaczamy wartość wyrażenia \(\sin (f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big)).\)
\[ \begin{array}{l}
\sin (f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big))=\sin (\operatorname{arcctg}{\Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big)})\\
\operatorname{arcctg}{ \Big(\displaystyle\frac{1}{2}} \Big)=\alpha\\
\operatorname{ctg}\alpha =\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array}\]
Korzystamy z  tabeli wartości funkcji tryg. aby odczytać wartość przybliżoną kąta \(\alpha.\)
\[\alpha \approx 63^{\circ}\]

Zatem \[\sin (\operatorname{arcctg}{\Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big)})\approx \sin 63^{\circ}\approx 0,9.\]
Rozwiązujemy równanie \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{3}.\)
\[ \begin{array}{l}
f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{3}\\
\operatorname{arcctg}{x}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\\
x=\operatorname{ctg}{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\\
x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}.
\end{array}\]