Zadanie 3.5.5

 Polecenie

Zapisz funkcję odwrotną do \(f\) przy użyciu funkcji cyklometrycznych. Naszkicuj wykres otrzymanej funkcji.
Oblicz \(\sin f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big)\) oraz rozwiąż równanie \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{3}.\)

 Funkcja 1

\(f(x)=\sin x, \ \ x \in \left \langle -\displaystyle\frac{\pi }{2}; \displaystyle\frac{\pi }{2} \right \rangle\)

 Rozwiązanie

Aby znaleźć funkcję odwrotną do funkcji sinus, należy tak "uciąć" wykres funkcji sinus, aby powstała funkcja była różnowartościowa.
My mamy podany przedział \(\left \langle -\displaystyle\frac{\pi }{2}; \displaystyle\frac{\pi }{2} \right \rangle.\) Wystarczy sprawdzić, czy na podanym przedziale funkcja sinus jest różnowartościowa. Z wykresu funkcji sinus wynika, że tak. Zatem posiada ona funkcję odwrotną na tym przedziale.
DEFINICJA
Funkcję odwrotną do funkcji sinus \(f(x)=\sin x\) określonej na przedziale \(\left \langle -\displaystyle\frac{\pi }{2}; \displaystyle\frac{\pi }{2} \right \rangle\)  nazywamy funkcję arcus sinus i zapisujemy \(f^{-1}(x)=\arcsin x\) dla \(x\in \left \langle -1;1\right \rangle.\)
Wykres funkcji \(y=\arcsin x\)
Wykres funkcji \(y=\arcsin x\)
Liczymy wartość wyrażenia \(\sin f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big).\)
\[\begin{array}{l}
f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big)=\arcsin \Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big)\\
\arcsin \Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big)= \alpha \\
\sin \alpha =\displaystyle\frac{1}{2}\\
\alpha =\displaystyle\frac{\pi}{6}.
\end{array}\]
Zatem \[\sin f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big)=\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}= \displaystyle\frac{1}{2}.\]

Mamy również rozwiązać równanie \(f^{-1}(x)= \displaystyle\frac{\pi}{3}.\)
\[ \begin{array}{l}
f^{-1}(x)= \displaystyle\frac{\pi}{3}\\
\arcsin x=\displaystyle\frac{\pi}{3}\\
x=\sin \displaystyle\frac{\pi}{3}\\
x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}.
\end{array}\]

 Odpowiedź

Wartością wyrażenia \(\sin f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big)\) jest \(\displaystyle\frac{1}{2}.\)
Rozwiązaniem równania \(f^{-1}(x)= \displaystyle\frac{\pi}{3}\) jest liczba \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}.\)

 Funkcja 2

\(f(x)=\cos x, \ \ x\in  \left \langle 0;\pi \right \rangle\)

 Rozwiązanie

Funkcja \(y=\cos x\) na przedziale \(\left \langle 0; \pi \right \rangle\) jest funkcją różnowartościową, zatem posiada funkcję odwrotną.
DEFINICJA
Funkcję odwrotną do funkcji cosinus \(f(x)=\cos x\) określonej na przedziale \(\left \langle 0; \pi \right \rangle\)  nazywamy funkcję arcus cosinus i zapisujemy \(f^{-1}(x)=\arccos x\) dla \(x\in \left \langle -1;1\right \rangle.\)
Wykres funkcji \(y=\arccos x\)
Wykres funkcji \(y=\arccos x\)
Obliczamy wartość wyrażenia \(\sin (f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big)).\)
\[ \begin{array}{l}
\sin (f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big))=\sin (\color{#388E3C}{\arccos \Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big)})\\
\color{#388E3C}{\arccos \Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big)=\alpha} \\
\color{#388E3C}{\cos \alpha =\displaystyle\frac{1}{2}}\\
\color{#388E3C}{\alpha =\displaystyle\frac{\pi}{3}}\\
\sin (\arccos \Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big))=\sin (\displaystyle\frac{\pi}{3})=\\
=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}.
\end{array}\]
Rozwiązujemy równanie \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{3}.\)
\[ \begin{array}{l}
f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{3}\\
\arccos x=\displaystyle\frac{\pi}{3}\\
x=\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}= \displaystyle\frac{1}{2}.
\end{array}\]

 Odpowiedź

Wartość wyrażenia \(\sin (f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big))\) wynosi \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}.\) Rozwiązaniem równania \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{3}\) jest liczba \(\displaystyle\frac{1}{2}.\)

 Funkcja 3

\(f(x)=\operatorname{ctg}{x}, \ \ x\in \left ( 2\pi;3\pi \right )\)

 Rozwiązanie

W przedziale \(\left ( 2\pi;3\pi \right )\) funkcja \(y=\operatorname{ctg}{x}\) jest różnowartościowa. Zatem posiada funkcję odwrotną. Zaczynamy rysunek od funkcji \(y=\operatorname{ctg}{x}\) w przedziale \(\left ( 0;\pi \right ).\) Funkcją odwrotną do niej jest funkcja \(y=\operatorname{arcctg}{x}.\)
DEFINICJA
Funkcję odwrotną do funkcji cotangens \(f(x)=\operatorname{ctg}{x}\) określonej na przedziale \(\left ( 0; \pi \right )\)  nazywamy funkcję arcus cotangens i zapisujemy \(f^{-1}(x)=\operatorname{arcctg}{x}\) dla \(x\in\mathbb{R}.\)
Zauważmy, że funkcją odwrotną do funkcji \(f(x)=\operatorname{ctg}{x}, \ \ x\in \left ( 2\pi;3\pi \right )\) jest funkcja odwrotna do funkcji \(f(x)=\operatorname{ctg}{x}, \ \ x\in \left ( 0;\pi \right ),\) przesunięta o \(2\pi\) jednostek w górę wzdłuż osi \(OY.\) Zatem jest to funkcja \(f^{-1}(x)=\operatorname{arcctg}{x}+2\pi.\)
Wykres funkcji \(y=\operatorname{arcctg}{x}\)
Wykres funkcji \(y=\operatorname{arcctg}{x}\)
Wyznaczamy wartość wyrażenia \(\sin (f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big)).\)
\[ \begin{array}{l}
\sin (f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big))=\sin (\operatorname{arcctg}{\Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big)})\\
\operatorname{arcctg}{ \Big(\displaystyle\frac{1}{2}} \Big)=\alpha\\
\operatorname{ctg}\alpha =\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array}\]
Korzystamy z  aby odczytać wartość przybliżoną kąta \(\alpha.\)
\[\alpha \approx 63^{\circ}\]
α sinα cosα tgα ctgα
0 1 0 -
0.0175 0.9998 0.0175 57.29
0.0349 0.9994 0.0349 28.6363
0.0523 0.9986 0.0524 19.0811
0.0698 0.9976 0.0699 14.3007
0.0872 0.9962 0.0875 11.4301
0.1045 0.9945 0.1051 9.5144
0.1219 0.9925 0.1228 8.1443
0.1392 0.9903 0.1405 7.1154
0.1564 0.9877 0.1584 6.3138
10° 0.1736 0.9848 0.1763 5.6713
11° 0.1908 0.9816 0.1944 5.1446
12° 0.2079 0.9781 0.2126 4.7046
13° 0.225 0.9744 0.2309 4.3315
14° 0.2419 0.9703 0.2493 4.0108
15° 0.2588 0.9659 0.2679 3.7321
16° 0.2756 0.9613 0.2867 3.4874
17° 0.2924 0.9563 0.3057 3.2709
18° 0.309 0.9511 0.3249 3.0777
19° 0.3256 0.9455 0.3443 2.9042
20° 0.342 0.9397 0.364 2.7475
21° 0.3584 0.9336 0.3839 2.6051
22° 0.3746 0.9272 0.404 2.4751
23° 0.3907 0.9205 0.4245 2.3559
24° 0.4067 0.9135 0.4452 2.246
25° 0.4226 0.9063 0.4663 2.1445
26° 0.4384 0.8988 0.4877 2.0503
27° 0.454 0.891 0.5095 1.9626
28° 0.4695 0.8829 0.5317 1.8807
29° 0.4848 0.8746 0.5543 1.804
30° 0.5 0.866 0.5774 1.7321
31° 0.515 0.8572 0.6009 1.6643
32° 0.5299 0.848 0.6249 1.6003
33° 0.5446 0.8387 0.6494 1.5399
34° 0.5592 0.829 0.6745 1.4826
35° 0.5736 0.8192 0.7002 1.4281
36° 0.5878 0.809 0.7265 1.3764
37° 0.6018 0.7986 0.7536 1.327
38° 0.6157 0.788 0.7813 1.2799
39° 0.6293 0.7771 0.8098 1.2349
40° 0.6428 0.766 0.8391 1.1918
41° 0.6561 0.7547 0.8693 1.1504
42° 0.6691 0.7431 0.9004 1.1106
43° 0.682 0.7314 0.9325 1.0724
44° 0.6947 0.7193 0.9657 1.0355
45° 0.7071 0.7071 1 1
α sinα cosα tgα ctgα
45° 0.7071 0.7071 1 1
46° 0.7193 0.6947 1.0355 0.9657
47° 0.7314 0.682 1.0724 0.9325
48° 0.7431 0.6691 1.1106 0.9004
49° 0.7547 0.6561 1.1504 0.8693
50° 0.766 0.6428 1.1918 0.8391
51° 0.7771 0.6293 1.2349 0.8098
52° 0.788 0.6157 1.2799 0.7813
53° 0.7986 0.6018 1.327 0.7536
54° 0.809 0.5878 1.3764 0.7265
55° 0.8192 0.5736 1.4281 0.7002
56° 0.829 0.5592 1.4826 0.6745
57° 0.8387 0.5446 1.5399 0.6494
58° 0.848 0.5299 1.6003 0.6249
59° 0.8572 0.515 1.6643 0.6009
60° 0.866 0.5 1.7321 0.5774
61° 0.8746 0.4848 1.804 0.5543
62° 0.8829 0.4695 1.8807 0.5317
63° 0.891 0.454 1.9626 0.5095
64° 0.8988 0.4384 2.0503 0.4877
65° 0.9063 0.4226 2.1445 0.4663
66° 0.9135 0.4067 2.246 0.4452
67° 0.9205 0.3907 2.3559 0.4245
68° 0.9272 0.3746 2.4751 0.404
69° 0.9336 0.3584 2.6051 0.3839
70° 0.9397 0.342 2.7475 0.364
71° 0.9455 0.3256 2.9042 0.3443
72° 0.9511 0.309 3.0777 0.3249
73° 0.9563 0.2924 3.2709 0.3057
74° 0.9613 0.2756 3.4874 0.2867
75° 0.9659 0.2588 3.7321 0.2679
76° 0.9703 0.2419 4.0108 0.2493
77° 0.9744 0.225 4.3315 0.2309
78° 0.9781 0.2079 4.7046 0.2126
79° 0.9816 0.1908 5.1446 0.1944
80° 0.9848 0.1736 5.6713 0.1763
81° 0.9877 0.1564 6.3138 0.1584
82° 0.9903 0.1392 7.1154 0.1405
83° 0.9925 0.1219 8.1443 0.1228
84° 0.9945 0.1045 9.5144 0.1051
85° 0.9962 0.0872 11.4301 0.0875
86° 0.9976 0.0698 14.3007 0.0699
87° 0.9986 0.0523 19.0811 0.0524
88° 0.9994 0.0349 28.6363 0.0349
89° 0.9998 0.0175 57.29 0.0175
90° 1 0 - 0
Tabela przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych
Zatem \[\sin (\operatorname{arcctg}{\Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big)})\approx \sin 63^{\circ}\approx 0,9.\]
Rozwiązujemy równanie \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{3}.\)
\[ \begin{array}{l}
f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{3}\\
\operatorname{arcctg}{x}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\\
x=\operatorname{ctg}{\displaystyle\frac{\pi}{3}}\\
x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}.
\end{array}\]

 Odpowiedź

Wartością wyrażenia \(\sin (f^{-1}\Big( \displaystyle\frac{1}{2}\Big))\) jest \(\sin (\operatorname{arcctg}{\Big(\displaystyle\frac{1}{2} \Big)}),\) w przybliżeniu równe \(0,9.\) Rozwiązaniem równania \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{3}\) jest  liczba \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}.\)

 Polecenie

Zapisz funkcję odwrotną do \(f(x)=\operatorname{tg}{x},\) gdzie \(x\in \left ( -\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2} \right ),\) przy użyciu funkcji cyklometrycznych. Naszkicuj wykres otrzymanej funkcji. Oblicz \(\sin  f^{-1}\Big( \sqrt{3}\Big)\) oraz rozwiąż równanie \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{6}.\)

 Odpowiedź

Wartością wyrażenia \(\sin (\operatorname{arctg}{\sqrt{3}})\) jest liczba \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}.\)
Rozwiązaniem równania \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{6}\) jest liczba \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}.\)
Wykres funkcji odwrotnej.
Wykres funkcji \(y=\operatorname{arctg}{x}\)
Wykres funkcji \(y=\operatorname{arctg}{x}\)

 Rozwiązanie

Funkcja \(y=\operatorname{tg}{x}\) jest różnowartościowa na przedziale \(\left (-\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2} \right),\) zatem istnieje funkcja odwrotna do niej.
Obliczamy wartość wyrażenia \(\sin (\operatorname{arctg}{\sqrt{3}}).\)
\[ \begin{array}{l}
\operatorname{arctg}{\sqrt{3}}=\alpha \\
\operatorname{tg}\alpha =\sqrt{3}\\
\alpha =\displaystyle\frac{\pi}{3}\\
\sin (\operatorname{arctg}{\sqrt{3}})=\sin \displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}.
\end{array}\]
Rozwiązujemy równanie \(f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{6}.\)
\[ \begin{array}{l}
f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{\pi}{6}\\
\operatorname{arctg}{x}=\displaystyle\frac{\pi}{6}\\
x=\operatorname{tg}{\displaystyle\frac{\pi}{6}}\\
x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}.
\end{array}\]

Wybierz jedną z czterech podanych odpowiedzi. Aby sprawdzić poprawność odpowiedzi kliknij przycisk "Sprawdź" lub na końcu "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Wyrażenie \(\sin \left [ 3\arccos \left ( -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \right ) \right ]\) ma wartość

Zadanie 2

Rozwiązaniem równania \(\arcsin x=\arccos x\) jest liczba

Zadanie 3

Wybierz równanie nieprawdziwe

Zadanie 4

Wybierz równanie, które nie jest prawdziwe

Podsumowanie