Zadanie 4.1.1
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 4. Ciągi
  3. 4.1 Definicja i własności ciągów
  4. Zadanie 4.1.1

 Polecenie

Wyznacz wzór ogólny ciągu oraz sumę 20 - początkowych wyrazów ciągu.

 Wskazówki

Definicja i własności ciągu arytmetycznego

Ciągiem arytmetycznym nazywamy taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby \(r\) (zwanej różnicą ciągu arytmetycznego).
\[\color{#F57C00}{a_{n+1}=a_{n}+r}\]
Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
\[\color{#F57C00}{a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r}\]
Suma n-poczatkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
\[\color{#F57C00}{ S_{n}=\displaystyle\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n}\]
Średnia arytmetyczna
\[\color{#F57C00}{a_{n}=\displaystyle\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}\]

Definicja i własności ciągu geometrycznego

Ciągiem geometrycznym nazywamy taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę \(q\) (zwaną ilorazem ciągu geometrycznego).
\[\color{#F57C00}{a_{n+1}=a_{n}\cdot q}\]
Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
\[\color{#F57C00}{a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}\]
Suma n-poczatkowych wyrazów ciągu geometrycznego
\[\color{#F57C00}{S_{n}=a_{1}\displaystyle\frac{1-q^{n}}{1-q}}\]
Dla \(q=1\) \[\color{#F57C00}{S_{n}=n\cdot a_{1}}\]
Średnia geometryczna
\[\color{#F57C00}{a^{2}_{n}=a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\]

 Ciąg 1

\(1, 2  ,4, 8  \cdots \)

 Rozwiązanie

Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(1,\) kolejny jest równy \(2,\) trzeci wyraz wynosi \(4\) itd.
Formalnie możemy zapisać kolejne wyrazy ciągu przez
\[a_{1}=1\\
a_{2}=2\\
a_{3}=4\\
a_{4}=8.\]
Domyślamy się, że kolejnym wyrazem będzie
\[a_{5}=16.\]
Widać już regułę tworzenia kolejnych wyrazów tego ciągu. Każdy wyraz powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę, którą jest \(2.\) Zatem ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(q=2.\) Wzór na  \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\)  pozwala wyznaczyć wzór ogólny ciągu.
\[a_{n}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}, \ n\geq 1.\]
Sumę 20- początkowych wyrazów ciągu liczymy, korzystając ze wzoru na  \(S_{n}=a_{1}\displaystyle\frac{1-q^{n}}{1-q}\) .
\[S_{20}=1\cdot \displaystyle\frac{1-2^{20}}{1-2}=2^{20}-1.\]

 Odpowiedź

Wzór ogólny ciągu to \(a_{n}=2^{n-1},\) suma 20 - początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(S_{20}=2^{20}-1.\)

 Ciąg 2

\(1, -1, 1, -1, \cdots\)

 Rozwiązanie

Jest to ciąg naprzemienny, w którym wyrazy z numerem parzystym mają wartość \(-1,\) a wyrazy z numerem nieparzystym wynoszą \(1.\) Nie jest to zatem ciąg arytmetyczny. Jest to ciąg geometryczny o ilorazie \( q=-1 \lt 0.\) Łatwo znaleźć wyraz ogólny tego ciągu \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} =1 \cdot (-1)^{n-1}=(-1)^{n-1},\ n\geq 2.\)
Suma 20 - początkowych wyrazów ciągu wynosi \[S_{20}=\underbrace{1-1+1-1+\cdots+1-1}_{\textrm{parzysta ilość wyrazów}}=0.\]

 Odpowiedź

Wzór ogólny ciągu \(a_{n}=(-1)^{n-1},\ n\geq 2,\) suma 20 - początkowych wyrazów ciągu wynosi \(S_{20}=0.\)

 Ciąg 3

\(1, \displaystyle\frac{1}{2}, \displaystyle\frac{1}{3}, \displaystyle\frac{1}{4}, \displaystyle\frac{1}{5},\cdots \)

 Rozwiązanie

Aby odkryć regułę tworzenia kolejnych wyrazów ciągu warto zapisać je w postaci
\[\begin{array}{l}
a_{1}=\displaystyle\frac{1}{1}=1\\
a_{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\\
a_{3}=\displaystyle\frac{1}{3}\\
a_{4}=\displaystyle\frac{1}{4}\\
a_{5}=\displaystyle\frac{1}{5},\cdots
\end{array}\]
Widać, że \(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{n}.\) Ciąg ten jest szczególny, nazywa się go ciągiem harmonicznym.
Nie jest to ciąg arytmetyczny, ani geometryczny.
Suma 20 - początkowych wyrazów tego ciągu wynosi
\[S_{20}=1+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{4}+\cdots +\displaystyle\frac{1}{20} .\]

 Odpowiedź

Wyraz ogólny ciągu wynosi \(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{n}.\) Suma 20 - początkowych wyrazów tego ciągu wynosi \(S_{20}=1+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{4}+\cdots +\displaystyle\frac{1}{20} .\)

 Ciąg 4

\(2, 1, 0, -1, -2, -3, \cdots\)

 Krok 1

Wypisz kolejne wyrazy ciągu \(2, 1, 0, -1, -2, -3, \cdots\).

Pierwszy wyraz tego ciągu ma wartość:

\(a_{1}=\)

Trzecim wyrazem ciągu jest:

\(a_{3}=\)

Szósty wyraz danego ciągu ma wartość:

\(a_{6}=\)

Siódmy wyraz tego ciągu będzie równy:

\(a_{7}=\)

 Krok 2

W kolejnym kroku oceniamy, czy ciąg \(2, 1, 0, -1, -2, -3, \cdots\) jest arytmetyczny lub geometryczny.

Ciąg \((a_{n})\) nie jest ciągiem arytmetycznym, ani ciągiem geometrycznym.

Odpowiedź nieprawidłowa

Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem geometrycznym.

Odpowiedź nieprawidłowa

Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym.

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 3

Wyraz ogólny ciągu \(2, 1, 0, -1, -2, -3, \cdots\) ma postać:

\(a_{n}=\) \(a_{1}+(n-1)\cdot r=2+(n-1)\cdot (-1)=\) \(3-n\)

Odpowiedź prawidłowa

\(a_{n}=\) \(a_{1}+(n-1)\cdot r=2+(n-1)\cdot 1=\) \(n+1\)

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 4

Suma 20 - początkowych wyrazów ciągu \(2, 1, 0, -1, -2, -3, \cdots\) wynosi:

\(S_{20}=\) \(\displaystyle\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n=\displaystyle\frac{2+3-20}{2}\cdot 20=\) \(-150\)

Odpowiedź prawidłowa

\(S_{20}=\) \(\displaystyle\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n=\displaystyle\frac{-2-3+20}{2}\cdot 20=\) \(150\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Podsumowanie

Wszystkie kroki z zadania 4.1.1.4 zostały wykonane prawidłowo.

 Polecenie

Wyznacz wzór ogólny ciągu oraz sumę 20 - początkowych wyrazów ciągu.

 Ciąg 1

\(2,4,6,\cdots\)

 Odpowiedź

Wzór ogólny ciągu \(a_{n}=2n, \ n\geq 1.\) Suma 20 - początkowych wyrazów ciągu jest równa \(S_{20}=420.\)

 Rozwiązanie

Jest to ciąg liczb parzystych (arytmetyczny), o wyrazie pierwszym równym \(2\) oraz różnicy \(r=2.\)
\[\begin{array}{l} 
a_{n}=2+(n-1)\cdot 2=2n,\ \  n\geq 1,\\
S_{20}=\displaystyle\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot 20=\displaystyle\frac{2+40}{2}\cdot 20=420.
\end{array}\]

 Ciąg 2

\(\displaystyle\frac{2}{3},\ \  \displaystyle\frac{3}{4},\ \  \displaystyle\frac{4}{5},\ \  \displaystyle\frac{5}{6},\ \cdots \)

 Odpowiedź

Wzór na wyraz ogólny ciągu to \(a_{n}=\displaystyle\frac{n+1}{n+2}.\) Suma 20 - początkowych wyrazów wynosi \(S_{20}=\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{3}{4}+\displaystyle\frac{4}{5}+\displaystyle\frac{5}{6} +\cdots +\displaystyle\frac{21}{22}.\)

 Rozwiązanie

Ponieważ ciężko zauważyć, jaki jest wyraz ogólny, spróbujmy zapisać wyrazy ciągu tak, aby było to łatwiejsze.
\[ \begin{array}{l}
a_{1}=\displaystyle\frac{2}{3}, & \color{#388E3C}{a_{1}=\displaystyle\frac{1+1}{1+2}},\\
a_{2}=\displaystyle\frac{3}{4}, & \color{#388E3C}{a_{2}=\displaystyle\frac{2+1}{2+2}},\\
a_{3}=\displaystyle\frac{4}{5}, & \color{#388E3C}{a_{3}=\displaystyle\frac{3+1}{3+2}},\\
a_{4}=\displaystyle\frac{5}{6} \cdots & \color{#388E3C}{a_{4}=\displaystyle\frac{4+1}{4+2} \cdots }
\end{array}\]
Zatem \[a_{n}=\displaystyle\frac{n+1}{n+2}.\]
Suma 20 - początkowych wyrazów, to
\[S_{20}=\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{3}{4}+\displaystyle\frac{4}{5}+\displaystyle\frac{5}{6} +\cdots +\displaystyle\frac{21}{22}.\]
Nie dodajemy ułamków, bo byłyby to bardzo długie, niepotrzebne działania.

 Ciąg 3

\(5, -5, 5, -5, \cdots\)

 Odpowiedź

Wzór ogólny ciągu ma postać \(a_{n}=5\cdot (-1)^{n+1}.\) Suma 20 - początkowych wyrazów tego ciągu wynosi \(S_{20}=0.\)

 Rozwiązanie

Ciąg \(5, -5, 5, -5, \cdots\) jest ciągiem naprzemiennym. Wyrazy tego ciągu można zapisać w postaci:
\[ \begin{array}{l}
a_{1}=5, &a_{1}=5\cdot (-1)^{1+1}\\
a_{2}=-5, &a_{2}=5\cdot (-1)^{2+1}\\
a_{3}=5, &a_{3}=5\cdot (-1)^{3+1}\\
a_{4}=-5, &a_{4}=5\cdot (-1)^{4+1}, \cdots\\
\end{array}\]
Zatem
\[a_{n}=5\cdot (-1)^{n+1}.\]
Suma 20 - początkowych wyrazów tego ciągu wynosi
\[S_{20}=\underbrace{5-5+5-5+\cdots+5-5}_{\textrm{parzysta ilość wyrazów}}=0.\]