Zadanie 4.1.2
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 4. Ciągi
  3. 4.1 Definicja i własności ciągów
  4. Zadanie 4.1.2

 Polecenie

Uzasadnij, że ciąg \((a_{n})\) jest monotoniczny i ograniczony.

 Wskazówki

Definicja ciągu monotonicznego

Ciąg \((a_{n})\) nazywamy monotonicznym, jeżeli jest rosnący, nierosnący, malejący lub niemalejący.
Znane jest również pojęcie ciągów monotonicznych od pewnego miejsca tj, dla \(n_{0} \in \mathbb{N}.\)
Ciąg rosnący (niemalejący)
Ciąg \((a_{n})\) jest rosnący, jeżeli każdy kolejny wyraz tego ciągu jest większy od wyrazu poprzedniego, tzn.
\[ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \forall } a_{n}< a_{n+1}.\]
Jeżeli spełnione jest założenie
\[ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \forall } a_{n}\leq  a_{n+1},\]
wówczas mówimy, że ciąg jest niemalejący.


Przykład ciągu rosnącego i niemalejącego.
Rysunek 4.1.2.5
Ciąg malejący (nierosnący)
Ciąg \((a_{n})\) jest malejący, jeżeli każdy kolejny wyraz tego ciągu jest mniejszy od wyrazu poprzedniego, tzn.
\[ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \forall } a_{n} \gt a_{n+1}.\]
Jeżeli spełnione jest założenie
\[ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \forall } a_{n} \geq   a_{n+1},\]
wówczas mówimy, że ciąg jest nierosnący.
Badanie monotoniczności
Monotoniczność ciągu \((a_{n})\) ustalamy, badając znak różnicy \(a_{n+1}-a_{n}\) lub ilorazu \(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.\)
Wnioski z takiego badania przedstawia tabela
\(a_{n+1}-a_{n}\) \(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\) Wniosek
\( \gt 0\) \( \gt 1\) ciąg rosnący
\(\lt 0\) \( \lt 1\) ciąg malejący
\(\geq 0\) \(\geq 1\) ciąg niemalejący
\(\leq 0\) \(\leq 1\) ciąg nierosnący

Definicja ciągu ograniczonego

Ciąg \((a_{n})\) jest ograniczony, jeżeli zbiór \(\left \{ a_{n} \right \}\) jest ograniczony, czyli
\[\underset{m, M \in \mathbb{R}}{\huge \forall }\ \ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \exists }\ \ m\leq a_{n}\leq M.\]
Dla ciągu liczbowego, ciąg jest ograniczony, jeśli wszystkie jego wyrazy mieszczą się między dwiema liczbami \(m,M.\)
Jeśli ciąg nie jest ograniczony, wówczas nazywamy go nieograniczonym.
Rysunek 4.1.2.4
Przykład ciągu ograniczonego
Ciąg ograniczony z góry
Ciąg \((a_{n})\) jest ograniczony z góry, jeżeli zbiór \(\left \{ a_{n} \right \}\) jest ograniczony z góry, czyli
\[\underset{ M \in \mathbb{R}}{\huge \forall }\ \  \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \exists }\ \ a_{n}\leq M.\]
Obrazowo: wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od danej liczby \(M.\)
Ciąg ograniczony z dołu
Ciąg \((a_{n})\) jest ograniczony z dołu, jeżeli zbiór \(\left \{ a_{n} \right \}\) jest ograniczony z dołu, czyli
\[\underset{m \in \mathbb{R}}{\huge \forall }\ \  \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \exists }\ \ m\leq a_{n}.\]
Obrazowo: ciąg jest ograniczony z dołu, jeśli wszystkie jego wyrazy są większe lub równe danej liczbie \(m.\)

Twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym

Jeżeli ciag \((a_{n})\) jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny.

Dodatkowo

  •     ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny do granicy, która jest kresem górnym zbioru jego wartości,

  •     ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest zbieżny do granicy, która jest kresem dolnym zbioru jego wartości.


Definicja ciągu zbieżnego w zadaniu 4.2.1 oraz 4.3.1.

 Ciąg 1

\(a_{n}=\displaystyle\frac{2n-1}{3n+2}\)

 Rozwiązanie

Aby uzasadnić, że ciąg \((a_{n})\) jest ograniczony, należy znaleźć takie liczby, które go ograniczają z obu stron. Nie ma jednej metody na takie oszacowania. Zwykle przyglądamy się wyrażeniu i metodą prób i błędów, powiększamy/pomniejszamy wyrażenie. Czasem dobrze jest przekształcić wyrażenie do postaci ułamka np. sumę/różnicę pierwiastków.
W tym przypadku łatwo zauważyć, że wyrażenie każdy wyraz ciągu \(a_{n}=\displaystyle\frac{2n-1}{3n+2}\) jest liczbą dodatnią (\(n\geq 1.\)), zatem \(\displaystyle\frac{2n-1}{3n+2}>0.\)
Z drugiej strony
\[a_{n}=\displaystyle\frac{2n-1}{3n+2}\leq \displaystyle\frac{2n}{3n+2}\leq \displaystyle\frac{2n}{3n}= \displaystyle\frac{2}{3}\]
Zatem
\[0<\displaystyle\frac{2n-1}{3n+2}\leq \displaystyle\frac{2}{3}.\]
Ciąg \((a_{n})\) jest więc ograniczony.

Aby zbadać monotoniczność ciągu \(a_{n}=\displaystyle\frac{2n-1}{3n+2}\) badamy znak różnicy \(a_{n+1}-a_{n}.\)
\[ \begin{array}{l}
a_{n+1}-a_{n} &=\displaystyle\frac{2(n+1)-1}{3(n+1)+2}-\displaystyle\frac{2n-1}{3n+2}=\\
&=\displaystyle\frac{2n+1}{3n+5}-\displaystyle\frac{2n-1}{3n+2}=\\
&=\displaystyle\frac{(2n+1)(3n+2)-(2n-1)(3n+5)}{(3n+5)(3n+2)}=\\
&=\displaystyle\frac{6n^{2}+4n+3n+2-6n^{2}-10n+3n+5}{(3n+5)(3n+2)}=\\
&=\displaystyle\frac{7}{(3n+5)(3n+2)}\gt 0,\ \  \textrm{ponieważ }\ \underset{n\in \mathbb{N}_{+}}{\huge \forall }\ 3n+5\gt 0, \ 3n+2 \gt 0.
\end{array}\]
Zatem ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem rosnącym.
Rysunek 4.1.2.1
Uwaga
Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wynika, że ciąg \((a_{n})\) jest również ciągiem zbieżnym.

 Odpowiedź

Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem ograniczonym \(0<a_{n}\leq \displaystyle\frac{2}{3}\) i monotonicznym (rosnącym).

 Ciąg 2

\(a_{n}=\sqrt{n+15}-\sqrt{n+3}\)

 Rozwiązanie

Próbujemy znaleźć takie liczby, dla których n-ty wyraz ciągu \(a_{n}=\sqrt{n+15}-\sqrt{n+3}\) będzie zawsze leżał między tymi liczbami.
ALGORYTM
Mnożenie przez jedynkę (w celu przekształcenia wyrażenia) postaci \(\displaystyle\frac{a+b}{a+b}\) lub \(\displaystyle\frac{a-b}{a-b},\) szczególnie przy sumie lub różnicy dwóch pierwiastków drugiego stopnia, jest bardzo często używaną metodą.
\[0<\sqrt{n+15}-\sqrt{n+3}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{n+15}+\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+15}+\sqrt{n+3}}=\\
=\displaystyle \frac{(\sqrt{n+15}-\sqrt{n+3})(\sqrt{n+15}+\sqrt{n+3})}{\sqrt{n+15}+\sqrt{n+3}}=\\
=\displaystyle \frac{\sqrt{n+15}^{2}-\sqrt{n+3}^{2}}{\sqrt{n+15}+\sqrt{n+3}}=\\
=\displaystyle \frac{n+5-n-3}{\sqrt{n+15}+\sqrt{n+3}}=\displaystyle \frac{12}{\sqrt{n+15}+\sqrt{n+3}}\]
Podstawiamy za \(n=1\), gdyż dla takiego \(n\) wartość tego wyrażenia będzie największa (najmniejszy mianownik oznacza największą wartość wyrażenia).
\[\displaystyle \frac{12}{\sqrt{n+15}+\sqrt{n+3}}\leq \displaystyle \frac{12}{4+2}=2.\]
Mamy zatem \[0<\sqrt{n+15}-\sqrt{n+3}\leq 2.\]
Zatem ciąg \((a_{n})\) jest ograniczony.
Aby uzasadnić monotoniczność badamy znak różnicy \(a_{n+1}-a_{n}.\)
Wyznaczamy \(n\)-ty oraz \(n+1\)- szy wyraz ciągu. \[a_{n}=\sqrt{n+15}-\sqrt{n+3}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{n+15}+\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+15}+\sqrt{n+3}}=\displaystyle\frac{12}{\sqrt{n+15}+\sqrt{n+3}}\\
a_{n+1}=\displaystyle\frac{12}{\sqrt{n+1+15}+\sqrt{n+1+3}}=\displaystyle\frac{12}{\sqrt{n+16}+\sqrt{n+4}}.\]
Widać, że \[\displaystyle\frac{12}{\sqrt{n+16}+\sqrt{n+4}} \lt \displaystyle\frac{12}{\sqrt{n+15}+\sqrt{n+3}}, \ \ \underset{n\in \mathbb{N}_{+}}{\huge \forall }.\] Jeśli zwiększymy mianownik (dodając pod każdym pierwiastkiem 1), to zmniejszy się wartość całego ułamka.
Zatem \(a_{n+1}-a_{n} \lt 0,\) więc ciąg jest malejący.
Rysunek 4.1.2.2
Uwaga
Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wynika, że ciąg \((a_{n})\) jest również ciągiem zbieżnym.

 Odpowiedź

Ciąg \(a_{n}=\sqrt{n+15}-\sqrt{n+3}\) jest ciągiem ograniczonym ( \(0<a_{n}\leq 2\) ) oraz monotonicznym (malejącym).

 Ciąg 3

\(a_{n}=\displaystyle \frac{5^{n}}{5^{n}+3}\)

 Rozwiazanie

 Krok 1

Aby uzasadnić, że ciąg \((a_{n})\) jest ograniczony, należy znaleźć liczby, które ograniczają go z dołu i z góry.
Czy prawdą jest, że

\[\frac{5^{n}}{5^{n}+3}\lt 0 \ ?\]

Odpowiedź nieprawidłowa Dla każdej liczby naturalnej \(n\gt 0\) podane wyrażenie przyjmuje tylko wartości dodatnie.

\[\frac{5^{n}}{5^{n}+3}\gt 0 \ ?\]

Odpowiedź prawidłowa.

 Krok 2

Szukamy liczby, która ogranicza ciąg \((a_{n})\) z góry. Wybierz nierówność, która najdokładniej opisuje ograniczenie tego ciągu z góry.

\[\displaystyle \frac{5^{n}}{5^{n}+3}\lt 1\]

Odpowiedź prawidłowa.

\[\displaystyle \frac{5^{n}}{5^{n}+3}\lt 2\]

Odpowiedź nieprawidłowa. Aby zobrazować lepiej sytuację, możemy wypisać kilka pierwszych wyrazów ciągu i podać ich przybliżenia.
\( a_{1}=\displaystyle\frac{5}{8}=0,625, \ a_{2}=\displaystyle\frac{25}{28}\approx 0,892, \\ a_{3}=\displaystyle\frac{125}{128}\approx 0,976, \ a_{4}=\displaystyle\frac{625}{628}\approx 0,9952, \\ a_{5}\approx 0,9990\cdots \)
Wyrazy ciągu nigdy nie osiągną wartości \(1,\) gdyż \(\displaystyle \frac{5^{n}}{5^{n}+3}\lt \displaystyle \frac{5^{n}}{5^{n}}=1.\)

 Krok 3

Aby zbadać monotoniczność ciągu \((a_{n})\) badamy:

Znak różnicy \(a_{n+1}-a_{n}.\)

Odpowiedź nieprawidłowa. Łatwiej przekształcać iloraz wyrażeń zawierających potęgi, aniżeli różnicę takich wyrażeń.

Iloraz \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}.\)

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 4

Przekształcając iloraz \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\) otrzymamy:
\[\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\displaystyle\frac{5^{n+1}}{5^{n+1}+3}\cdot \displaystyle\frac{5^{n}+3}{5^{n}}=
\displaystyle\frac{\cancel{5^{n}}\cdot 5\cdot (5^{n}+3)}{(5\cdot 5^{n}+3)\cdot \cancel{5^{n}}}=\displaystyle\frac{5\cdot (5^{n}+3)}{(5\cdot 5^{n}+3)}=\\
\displaystyle\frac{5\cdot 5^{n}+15}{5\cdot 5^{n}+3}=\displaystyle\frac{5\cdot 5^{n}+3+12}{5\cdot 5^{n}+3}=1+\displaystyle\frac{12}{5\cdot 5^{n}+3}\gt 1,\ \ \ \textrm{gdyż }\displaystyle\frac{12}{5\cdot 5^{n}+3}\gt 0\]

\[\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\gt 1 ?\]

Odpowiedź prawidłowa

\[\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\lt 1\]

Odpowiedź nieprawidłowa. Sprawdź obliczenia.

 Podsumowanie - Odpowiedź

Zatem ciąg \((a_{n})\) jest monotoniczny (rosnący) oraz ograniczony \(0\lt a_{n}\lt 1.\)
Rysunek 4.1.2.3
Uwaga
Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wynika, że ciąg \((a_{n})\) jest również ciągiem zbieżnym.
Wszystkie kroki z zadania 4.1.2.3 zostały wykonane prawidłowo.

 Polecenie

Uzasadnij, że ciąg \((a_{n})\) jest monotoniczny i ograniczony.

 Ciąg 1

\(a_{n}=\displaystyle \frac{n!}{3n}\)

 Odpowiedź

Ciąg \(a_{n}=\displaystyle \frac{n!}{3n}\) jest ograniczony z dołu przez \(\displaystyle \frac{1}{3}\) oraz rosnący dla \(n\gt 1,\) czyli od drugiego wyrazu.

 Rozwiązanie

Przekształcamy wzór ogólny ciągu i szukamy liczby takiej, że wszystkie wyrazy będą od niej większe lub równe.  
\[a_{n}=\displaystyle \frac{n!}{3n}=\displaystyle \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot (n-1)\cdot \cancel{n}}{3\cancel{n}}=\displaystyle \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot (n-1)}{3}=\displaystyle \frac{(n-1)!}{3}\]
Podstawiamy za \(n=1,\) bowiem dla takiego \(n\) wartość wyrażenia \(\displaystyle \frac{(n-1)!}{3}\) będzie najmniejsza.
\[\displaystyle \frac{(n-1)!}{3}\geq \displaystyle \frac{(1-1)!}{3}=\displaystyle \frac{1}{3}.\]
Ciąg \((a_{n})\) jest ograniczony z dołu przez \(\displaystyle \frac{1}{3}.\) Nie jest ograniczony z góry.
Zawsze warto wyznaczyć , aby zobaczyć jak się dany ciąg zachowuje.
\[\begin{array}{l} 
a_{1}=\displaystyle \frac{1}{3}\\
a_{2}=\displaystyle \frac{1}{3}\\
a_{3}=\displaystyle \frac{2}{3}\\
a_{4}=2\\
a_{5}=8\\
a_{6}=40\\
a_{7}=240 \cdots
\end{array}\]
Aby uzasadnić monotoniczność budujemy \(n+1\) - szy wyraz ciągu \((a_{n}).\)
\[\begin{array}{l}
a_{n}=\displaystyle \frac{n!}{3n}\\
a_{n+1}=\displaystyle \frac{(n+1)!}{3(n+1)}=\displaystyle \frac{n!(n+1)}{3(n+1)}=\displaystyle \frac{n!}{3}\\
\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\displaystyle \frac{\cancel{n!}}{\cancel{3}}\cdot \displaystyle \frac{\cancel{3}n}{\cancel{n!}}=n \gt 1, \textrm{ dla } n\gt 1
\end{array}\]
To oznacza, że ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem rosnącym od pewnego miejsca, dokładniej dla \(n\gt 1\) czyli od drugiego wyrazu.
Od pierwszego wyrazu ciąg jest niemalejący, gdyż  \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=n \geq 1, \textrm{ dla } n \geq 1.\)

 Ciąg 2

\(a_{n}=\cos \displaystyle \frac{\pi}{4n}\)

 Odpowiedź

Ciąg \(a_{n}=\cos \displaystyle \frac{\pi}{4n}\) jest ograniczony \(0 \leq \cos \displaystyle \frac{\pi}{4n}\leq  \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) oraz monotoniczny (rosnący) dla \(n\gt 0.\)

 Rozwiązanie

Z własności funkcji cosinus wiemy, że \(-1 \leq \cos \displaystyle \frac{\pi}{4n}\leq 1.\) Ciąg \((a_{n})\) jest więc ograniczony. Dla pewności warto wyznaczyć tego ciągu.
\[\begin{array}{l}
a_{1}=\cos \displaystyle \frac{\pi}{4}\approx 0,7071 \\
a_{2}=\cos \displaystyle \frac{\pi}{8}\approx 0,9239\\
a_{3}=\cos \displaystyle \frac{\pi}{12}\approx 0,9659\\
a_{4}=\cos \displaystyle \frac{\pi}{16}\approx 0,9808\\
a_{5}=\cos \displaystyle \frac{\pi}{20}\approx 0,9877 \cdots
\end{array}\]
Ponieważ \(\displaystyle \frac{\pi}{4n}\in \left ( 0;\displaystyle \frac{\pi}{4} \right ),\) zatem wyrażenie \(\cos \displaystyle \frac{\pi}{4n}\) można ograniczyć dokładniej przez liczby \[0 \leq \cos \displaystyle \frac{\pi}{4n}\leq  \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}.\]
Aby zbadać monotoniczność ciągu , należy skorzystać z własności funkcji \(f(x)=\cos x.\) Mianowicie funkcja ta jest malejąca na przedziale \(\left ( 0;\displaystyle \frac{\pi}{2} \right ).\)
Dla \(n\in \mathbb{N}\) liczby postaci \(\displaystyle \frac{\pi}{4n}\) należą do przedziału \(\left ( 0;\displaystyle \frac{\pi}{4} \right ).\) Ponieważ \(\displaystyle \frac{\pi}{4n}\gt \displaystyle \frac{\pi}{4(n+1)},\) zatem z monotoniczności funkcji cosinus na tym przedziale wynika, że
\[a_{n}=\cos \displaystyle \frac{\pi}{4n}\lt \cos \displaystyle \frac{\pi}{4(n+1)}=a_{n+1}.\]
Stąd \(a_{n+1}-a_{n}\gt 0,\) zatem ciąg \((a_{n})\) jest rosnący dla \(n\gt 0.\)

 Ciąg 3

\(a_{n}=\sqrt{n^{2}+3}-n\)

 Odpowiedź

Ciąg \(a_{n}=\sqrt{n^{2}+3}-n\) jest ograniczony \(0 \lt \displaystyle \frac{3}{\sqrt{n^{2}+3}+n}\leq 1\) oraz monotoniczny (malejący) dla \(n\in \mathbb{N}.\)

 Rozwiązanie

Przekształcamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \(a_{n}=\sqrt{n^{2}+3}-n.\) Możemy oczywiście również wypisać .
\[\begin{array}{l}
a_{1}=\sqrt{1^{2}+3}-1=1\\
a_{2}=\sqrt{2^{2}+3}-2=\sqrt{7}-2\approx 0,65\\
a_{3}=\sqrt{3^{2}+3}-3=\sqrt{12}-3\approx 0,46\\
a_{4}=\sqrt{4^{2}+3}-4=\sqrt{19}-4\approx 0,36\\
a_{5}=\sqrt{5^{2}+3}-5=\sqrt{28}-5\approx 0,29\cdots \\
a_{100}=\sqrt{100^{2}+3}-100=\sqrt{10003}-100\approx 0,015
\end{array}\]
\[ \begin{array}{l}
a_{n}=\sqrt{n^{2}+3}-n=(\sqrt{n^{2}+3}-n) \cdot \displaystyle \frac{\sqrt{n^{2}+3}+n}{\sqrt{n^{2}+3}+n}=\displaystyle \frac{n^{2}+3-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+3}+n}=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{n^{2}+3}+n}
\end{array}.\]
Podstawiamy \(n=1,\) wiemy bowiem, że dla takiego \(n\) wartość ułamka będzie największa.
\[\displaystyle \frac{3}{\sqrt{n^{2}+3}+n}\leq \displaystyle \frac{3}{\sqrt{1^{2}+3}+1}=1.\]
Ponieważ \(n \in \mathbb{N},\) zatem \(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{n^{2}+3}+n}\gt 0.\)
Mamy więc \[0 \lt \displaystyle \frac{3}{\sqrt{n^{2}+3}+n}\leq 1.\]
Aby uzasadnić monotoniczność ciągu, tworzymy \(n+1\) - szy wyraz.
\[a_{n}=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{n^{2}+3}+n}\\
a_{n+1}=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{(n+1)^{2}+3}+n+1}\]
Zatem (zwiększamy wartość mianownika, więc wartość ułamka będzie mniejsza)
\[\displaystyle \frac{3}{\sqrt{(n+1)^{2}+3}+n+1}\lt \displaystyle \frac{3}{\sqrt{n^{2}+3}+n},\]
czyli \[a_{n+1}-a_{n} \lt 0.\]
Ciąg \(a_{n}=\sqrt{n^{2}+3}-n\) jest więc malejący dla \(n\in \mathbb{N}.\)