Zadanie 4.2.1
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 4. Ciągi
  3. 4.2 Granica właściwa ciągu
  4. Zadanie 4.2.1

 Polecenie

Uzasadnij podane równości, korzystając z definicji granicy ciągu.

 Wskazówki

Definicja granicy właściwej ciągu

Ciąg \((a_{n})\) jest zbieżny  do granicy właściwej \(a\in \mathbb{R},\) co zapisujemy \[\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=a,\] wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
\[\underset{\epsilon >0}{\huge \forall }\ \ \underset{n_{0}\in \mathbb{N}}{\huge \exists } \ \ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \forall } \ \ \left [ (n>n_{0})\Rightarrow (\left | a_{n}-a \right |< \epsilon ) \right ].\]
Ciąg jest zbieżny do granicy \(a,\) gdy wszystkie jego wyrazy, zaczynając od wyrazu \(n_{0},\) leżą w otoczeniu o dowolnym promieniu \(\epsilon\) punktu \(a.\)
Symbolicznie możemy zapisać \[\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}=a \ \ \textrm{ lub }\ \  a_{n}\underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}a.\]
Rysunek 4.2.2.7
Ilustracja definicji granicy właściwej ciągu. Widać, że \(a_{n}\in \left ( a-\epsilon ;a+\epsilon \right ),\) dla \(n \geq n_{0}=8.\)

 Równość 1

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n-1}{3+n}=2\)

 Rozwiązanie

Równanie będzie prawdziwe, jeżeli \(2\) jest granicą właściwą ciągu \(\left (\displaystyle\frac{2n-1}{3+n}  \right ).\) Będzie tak, jeśli zostanie spełniony warunek
\[\underset{\epsilon \gt 0}{\huge\forall}\ \ \underset{n_{0}\in \mathbb{N}}{\huge \exists } \ \ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \forall } \ \ \left [ n\gt n_{0} \Rightarrow  \left | \displaystyle\frac{2n-1}{3+n}-2 \right |\lt \epsilon \right ].\]
Rozwiązujemy otrzymaną nierówność:
\[\begin{matrix}
\begin{array}{l}
\left | \displaystyle\frac{2n-1}{3+n}-2 \right |\lt \epsilon\\
\left | \displaystyle\frac{2n-1-2(3+n)}{3+n} \right |\lt \epsilon \\
\left | \displaystyle\frac{-7}{3+n} \right | \lt \epsilon \ \ \ \textrm{ opuszczamy wartość bezwzględną zmieniając znak, gdyż } \displaystyle\frac{-7}{3+n}\lt 0\\
\displaystyle\frac{7}{3+n}\lt \epsilon\\
7 \lt \epsilon \cdot (3+n)\\
\displaystyle\frac{7}{\epsilon}\lt 3+n\\
n\gt \displaystyle\frac{7}{\epsilon}-3\\
n_{0}=\left [ \displaystyle\frac{7}{\epsilon}-3 \right ]+1
\end{array}
\end{matrix}\]
Zatem dla \(n\gt \displaystyle\frac{7}{\epsilon}-3\) taki warunek jest spełniony. Możemy zatem wnioskować, że \(n_{0}=\left [ \displaystyle\frac{7}{\epsilon}-3 \right ]+1.\) Aby \(n_{0}\) było liczbą naturalną, bierzemy całość z otrzymanego wyrażenia \(\displaystyle\frac{7}{\epsilon}-3,\) a żeby to wyrażenie nie było mniejsze od \(\displaystyle\frac{7}{\epsilon}-3\) dodajemy jeszcze jedynkę.
Zatem istnieje takie \(n_{0}\) będące liczbą naturalną, że wszystkie wyrazy ciągu, począwszy od \(a_{n_{0}}\) leżą w otoczeniu liczby \(2.\)

 Równość 2

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{3^{n}+2}=0\)

 Rozwiązanie

Aby równanie było prawdziwe, musi być spełniony warunek
\[{\Large\underset{\epsilon > 0}{\huge \forall } \underset{n_{0}\in \mathbb{N}}{\huge \exists }\underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \forall }}
\Big ( n \gt n_{0} \ \ \Rightarrow \ \ \left |\frac{1}{3^{n}+2}-0  \right |< \epsilon \Big ).\]
Aby odpowiedzieć na pytanie, kiedy spełniony będzie podany wyżej warunek, użyj nawigacji animacji.

 Polecenie

Uzasadnij podane równości, korzystając z definicji granicy ciągu.

 Równość 1

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{1-n}{n+2}=-1\)

 Odpowiedź

Aby uzasadnić podane równanie, musimy udowodnić, że spełniony jest warunek
\[\underset{\epsilon \gt 0}{\huge\forall}\ \ \underset{n_{0}\in \mathbb{N}}{\huge \exists } \ \ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \forall } \ \ \left [ n\gt n_{0} \Rightarrow  \left | \displaystyle\frac{1-n}{n+2}+1 \right |\lt \epsilon \right ].\]
Rozwiązujemy nierówność:
\[ \begin{array}{l}
\left | \displaystyle\frac{1-n}{n+2}+1 \right |\lt \epsilon\\
\left | \displaystyle\frac{1-n+n+2}{n+2} \right |\lt \epsilon\\
\left | \displaystyle\frac{3}{n+2} \right |\lt \epsilon\\
\displaystyle\frac{3}{n+2}\lt \epsilon\\
3\lt \epsilon \cdot \left ( n+2 \right )\\
\displaystyle\frac{3}{\epsilon }\lt n+2 \\
n+2\gt \displaystyle\frac{3}{\epsilon }\\
n\gt \displaystyle\frac{3}{\epsilon }-2.
\end{array}\]
Zatem
\[n_{0}=\left [ \displaystyle\frac{3}{\epsilon }-2 \right ]+1.\]

 Równość 2

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4}{n^{2}}=0\)

 Odpowiedź

Aby równość \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4}{n^{2}}=0\) była prawdziwa, musi być spełniony warunek:
\[\underset{\epsilon \gt 0}{\huge\forall}\ \ \underset{n_{0}\in \mathbb{N}}{\huge \exists } \ \ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \forall } \ \ \left [ n\gt n_{0} \Rightarrow  \left | \displaystyle\frac{4}{n^{2}}-0 \right |\lt \epsilon \right ]\]
Zatem wyznaczamy z nierówności zmienną \(n.\)
\[ \begin{eqnarray}
&& \left | \displaystyle\frac{4}{n^{2}}-0 \right | < \epsilon \ \ \Leftrightarrow \\
&& \left | \displaystyle\frac{4}{n^{2}}\right | < \epsilon \ \ \Leftrightarrow \\
&& \displaystyle\frac{4}{n^{2}} < \epsilon \ \ \Leftrightarrow \\
&& 4< \epsilon \cdot n^{2} \ \ \Leftrightarrow \\
&& \displaystyle\frac{4}{\epsilon } < n^{2}\ \ \Leftrightarrow \\
&& n > \sqrt{\displaystyle\frac{4}{\epsilon }}
\end{eqnarray}\]
Zatem możemy przyjąć za \[ n_{0}=\left [ \sqrt{\displaystyle\frac{4}{\epsilon }} \ \right ]+1.\]