Zadanie 4.2.2

Zadanie 4.2.2
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów, wyznacz granice ciągów.

Wskazówki

Symbole nieoznaczone

Symbole
\[\left[\frac00,\quad \frac{\infty}{\infty},\quad 0\cdot\infty,\quad \infty-\infty,\quad 0^0,\quad 1^\infty,\quad \infty^0\right]\]
nazywamy symbolami nieoznaczonymi. Ich wartości zależą od postaci ciągów, które je tworzą.
Najczęściej przekształcamy w taki sposób wzory ogólne ciągów, które dają symbole nieoznaczone, aby je "ominąć".

Granice niektórych ciągów

Prawdziwe są następujące własności, przy odpowiednich założeniach:

\(1.\ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a^n=
\begin{cases}
0,& \lvert a\rvert \lt 1\\ \\
1,& a= 1 \\ \\
+\infty,& a\gt 1 \\ \\
\textrm{nie istnieje },& a\leq -1 \\ \\
\end{cases}\)

\(2. \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} =1 \)

\(3. \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1, \textrm{ dla } a\gt 0 \)

\(4. \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{a^n}{n!} = 0,\textrm{ dla } a\gt 0\)

Twierdzenia o arytmetyce granic ciągów

Jeżeli ciągi \((a_{n})\) i \((b_{n})\) są zbieżne do granic właściwych, to dla \(n\in \mathbb{N}_{+},\ m\in \mathbb{C}\setminus \left \{ 0 \right \}\) oraz \(k\in \mathbb{N}\setminus \left \{ 1 \right \}\) zachodzą następujące równości:

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( a_{n}+b_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n},\)
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( a_{n}-b_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n},\)
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( c\cdot c_{n}\right )=c\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }c_{n},\)
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( a_{n}\cdot b_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n},\)
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}}{\displaystyle\lim_{n
\rightarrow\infty}b_{n}},\) jeśli \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}\neq 0,\)
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( a_{n}\right )^{m}=\left ( \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n} \right )^{m},\)
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty } \sqrt[k]{a_{n}}= \sqrt[k]{\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}} .\)

Uwaga

We wzorach 1. i 4. możemy wziąć dowolną ilość składników (czynników) i wzór pozostanie prawdziwy. We wzorach 6. i 7. najpierw zakładamy, że wyrażenia po obu stronach znaku równości mają sens.

Granica 1

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{n^{7}+2n^{2}-4}{1-3n^{3}-2n^{7}}\)

Rozwiązanie

Algorytm

Pisząc \(\lim a_{n}\) będziemy zakładać, że ciąg \(a_{n}\) posiada granicę.
Aby wyznaczyć granicę ciągu, którego wzór ogólny jest ilorazem dwóch wielomianów, wystarczy podzielić zarówno licznik jak i mianownik ułamka przez najwyższą potęgę \(n\) z mianownika. W kolejnym kroku stosujemy poznane twierdzenia o arytmetyce granic ciągu.

Podstawiając za \(n\) nieskończoność dostaniemy symbol nieoznaczony \(\Big [\displaystyle\frac{\infty }{\infty }\Big ].\) Przekształcamy więc tak wyraz ogólny ciągu, aby można było jego granicę obliczyć.
Dzielimy wszystkie składniki z licznika i mianownika ułamka w naszym wyrażeniu przez najwyższą potęgę \(n\) z mianownika, czyli \(\color{#388E3C}{n^{7}}.\)
\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{n^{7}+2n^{2}-4}{1-3n^{3}-2\color{#388E3C}{n^{7}}} \stackrel{[\frac{\infty }{\infty }]}=\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{n^{7}}{n^{7}}+\displaystyle\frac{2n^{2}}{n^{7}}-\displaystyle\frac{4}{n^{7}}}{\displaystyle\frac{1}{n^{7}}-\displaystyle\frac{3n^{3}}{n^{7}}-\displaystyle\frac{2n^{7}}{n^{7}}}=\cdots\]
Korzystamy z twierdzenia \(\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}}{\displaystyle\lim_{n \rightarrow\infty}b_{n}},\) jeśli \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}\neq 0\) , \(\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( a_{n}+b_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}\) i \(\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( a_{n}-b_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}\) o arytmetyce granic ciągów, otrzymując:
\[\cdots=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{\cancel{n^{7}}}{\cancel{n^{7}}}+\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{2n^{2}}{n^{7}}-\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{4}{n^{7}}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{1}{n^{7}}-\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{3n^{3}}{n^{7}}-\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{2\cancel{n^{7}}}{\cancel{n^{7}}}}=\cdots\]
Skracamy
\[\cdots=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }1+\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{2}{n^{5}}-\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{4}{n^{7}}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{1}{n^{7}}-\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{3}{n^{4}}-\lim_{n\rightarrow \infty }2}=\cdots\]
Ponieważ można zauważyć, że \(\displaystyle\frac{a}{n}\) przy \(n\rightarrow \infty\) dąży do \(0,\) zatem: (w skrócie będziemy pisać używając strzałki)
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }1=1,\\
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{2}{n^{5}}=0, & \Big (\cancelto{0}{\displaystyle\frac{2}{n^{5}}}\Big ),\\
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{4}{n^{7}}=0, & \Big (\cancelto{0}{\displaystyle\frac{4}{n^{7}}}\Big ),\\
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{1}{n^{7}}=0, & \Big (\cancelto{0}{\displaystyle\frac{1}{n^{7}}}\Big ),\\
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{3}{n^{4}}=0, & \Big (\cancelto{0}{\displaystyle\frac{3}{n^{4}}}\Big ),\\
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }2=2.
\end{array}\]
zatem podstawiając do naszego wyrażenia
\[\cdots=\displaystyle\frac{1+0-0}{0-0-2}=-\displaystyle\frac{1}{2}.\]

Opis działania animacji

Pod animacją znajdują się przyciski służące do nawigacji.

Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{n^{7}+2n^{2}-4}{1-3n^{3}-2n^{7}}=-\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Granica 2

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{2n^{2}-4}-\sqrt{2n^{2}+4} \right )\)

Rozwiązanie

Algorytm

Korzystamy z poznanej wcześniej metody mnożenia przez jedynkę, posiadającą w liczniku i mianowniku sumę (w przypadku sumy - różnicę) podanych pierwiastków. W kolejnym kroku ponownie stosujemy poznane twierdzenia o arytmetyce granic ciągu.

Mnożymy nasze wyrażenie przez jedynkę postaci \(\displaystyle\frac{\sqrt{2n^{2}-4}+\sqrt{2n^{2}+4}}{\sqrt{2n^{2}-4}+\sqrt{2n^{2}+4}}\) i wykonujemy działania, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) .
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{2n^{2}-4}-\sqrt{2n^{2}+4} \right ) \stackrel{[\infty - \infty ]}=\\
=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{2n^{2}-4}-\sqrt{2n^{2}+4} \right )\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2n^{2}-4}+\sqrt{2n^{2}+4}}{\sqrt{2n^{2}-4}+\sqrt{2n^{2}+4}} =\\
=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{2n^{2}-4-2n^{2}-4}{\sqrt{2n^{2}-4}+\sqrt{2n^{2}+4}} =
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{-8}{\sqrt{2n^{2}-4}+\sqrt{2n^{2}+4}} =\cdots
\end{array}\]
Dzielimy kolejne wyrazy w liczniku i mianowniku przez najwyższą potęgę \(n\) z mianownika, czyli \(n\) (pod pierwiastkiem \(n^{2}\)). Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów ( \(\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( a_{n}+b_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}+\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}\) , \(\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( a_{n}-b_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}\) , \(\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}}{\displaystyle\lim_{n \rightarrow\infty}b_{n}},\) jeśli \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}\neq 0\) i \(\lim_{n\rightarrow \infty } \sqrt[k]{a_{n}}= \sqrt[k]{\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}}\) ) obliczamy granice ciągu.
\[ \begin{array}{l}
\cdots=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{\cancelto{0}{-\frac{8}{n}}}{\sqrt{2-\cancelto{0}{\frac{4}{n^{2}}}}+\sqrt{2+\cancelto{0}{\frac{4}{n^{2}}}}} =\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{0}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=0.
\end{array}\]

Opis działania animacji

Pod animacją znajdują się przyciski służące do nawigacji.

Odpowiedź

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{2n^{2}-4}-\sqrt{2n^{2}+4} \right )=0\)

Granica 3

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{\left ( 2^{n}-10 \right )\cdot \left ( 3^{n+1}+6 \right )}{6^{n}+1}\)

Rozwiązanie

Algorytm

Aby wyznaczyć granicę ciągu \((a_{n})\) należy zastosować metodę z przykładu 1. Zatem wykonujemy działania na potęgach, aby uprościć wyrażenia w liczniku. W drugiej kolejności dzielimy przez najwyższą potęgę z mianownika (tutaj \(6^{n}\)).

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{\left ( 2^{n}-10 \right )\cdot \left ( 3^{n+1}+6 \right )}{6^{n}+1} \stackrel{[\frac{\infty }{\infty }]}=\\
=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{\left ( 2^{n}-10 \right )\cdot \left (3\cdot 3^{n}+6 \right )}{6^{n}+1}=\\
=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{3\cdot 6^{n}+6\cdot 2^{n}-30\cdot 3^{n}-60}{6^{n}+1}=\cdots
\end{array}\]
Korzystamy z odpowiednich twierdzeń, tutaj z \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a^n=0, \textrm{ dla } a \in (0; 1)\) .
\[ \begin{array}{l}
\cdots=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\displaystyle\frac{3+\displaystyle \frac{6\cdot 2^{n}}{6^{n}}-\displaystyle \frac{30\cdot 3^{n}}{6^{n}}-\displaystyle \frac{60}{6^{n}}}{1+\displaystyle \frac{1}{6^{n}}}}=\cdots
\end{array}\]
Działamy na potęgach
\[ \begin{array}{l}
\cdots=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\displaystyle\frac{3+6\Big (\Large{\frac{1}{3}\Big)^{n}}-\Large{\Big(\frac{1}{2}\Big)^{n}}-\Large{\Big(\frac{1}{6}\Big)^{n}}}{1+\Large{\Big(\frac{1}{6}\Big)^{n}}}}=\cdots
\end{array}\]
oraz wyznaczamy poszczególne granice, korzystając z twierdzenia o granicy ciągu w postaci potęgi.
\[ \begin{array}{l}
\cdots=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\displaystyle\frac{3+6\cancelto{0}{\Big (\Large{\frac{1}{3}\Big)^{n}}}-30\cancelto{0}{\Large{\Big(\frac{1}{2}\Big)^{n}}}-60\cancelto{0}{\Large{\Big(\frac{1}{6}\Big)^{n}}}}{1+\cancelto{0}{\Large{\Big(\frac{1}{6}\Big)^{n}}}}}=\displaystyle\frac{3}{1}=3.
\end{array}\]

Opis działania animacji

Pod animacją znajdują się przyciski służące do nawigacji.

Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\displaystyle\frac{\left ( 2^{n}-10 \right )\cdot \left ( 3^{n+1}+6 \right )}{6^{n}+1}=3\)

Granica 4

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\displaystyle\frac{\left ( n+2 \right )!}{\left ( n!+4 \right )\left ( n^{2}+4 \right )}}\)

Rozwiązanie

Algorytm

Korzystamy z definicji silni i dzielimy licznik i mianownik przez \(n!.\) (Pamiętaj, że przy dzieleniu iloczynu dwóch wyrażeń przez dowolne wyrażenie, dzielisz tylko jeden z czynników tego iloczynu \(\displaystyle\frac{a\cdot b}{c}=a\cdot \displaystyle\frac{b}{c}=\displaystyle\frac{a}{c}\cdot b.\))

Rozpisujemy silnię, korzystając z definicji.
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\displaystyle\frac{\left ( n+2 \right )!}{\left ( n!+4 \right )\left ( n^{2}+4 \right )}} \stackrel{[\frac{\infty }{\infty }]}=\\
=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\displaystyle\frac{ n!\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )}{\left ( n!+4 \right )\left ( n^{2}+4 \right )}}=\cdots
\end{array}\]
Dzielimy wyrażenia w liczniku i mianowniku przez \(n!.\)
\[\cdots=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\cancel{n!}}{\cancel{n!}}\left ( n^{2}+2n+n+2 \right )}{\left ( 1+\displaystyle\frac{4}{n!} \right )\left ( n^{2}+4 \right )}}=\cdots\]
Korzystamy z odpowiedniego \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{a}{n!} = 0, \textrm{ dla }a\in \mathbb{R}\) .
\[\cdots=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\displaystyle\frac{ n^{2}+3n+2}{\left ( 1+\cancelto{0}{\displaystyle\frac{4}{n!}} \right )\left ( n^{2}+4 \right )}}=\cdots\]
Otrzymujemy:
\[ \cdots=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\displaystyle\frac{ n^{2}+3n+2}{ \color{#388E3C}{n^{2}}+4 }}=\cdots\]
Kolejnym krokiem będzie podzielenie wyrażeń z licznika i mianownika przez najwyższą potęgę \(n\) z mianownika ułamka, czyli \(\color{#388E3C}{n^{2}}.\)
\[\cdots=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\displaystyle\frac{ 1+\displaystyle\frac{3n}{n^{2}}+\displaystyle\frac{2}{n^{2}}}{1+\displaystyle\frac{4}{n^{2}} }}=\cdots\]
Korzystamy również równolegle z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów.
\[\cdots=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\displaystyle\frac{ 1+\cancelto{0}{\displaystyle\frac{3}{n}}+\cancelto{0}{\displaystyle\frac{2}{n^{2}}}}{1+\cancelto{0}{\displaystyle\frac{4}{n^{2}}} }}=\displaystyle\frac{ 1+0+0}{1+0}=1.\]

Opis działania animacji

Pod animacją znajdują się przyciski służące do nawigacji.

Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\displaystyle\frac{\left ( n+2 \right )!}{\left ( n!+4 \right )\left ( n^{2}+4 \right )}}=1\)

Granica 5

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2}{5^{n}\left ( 5^{n}-\sqrt{2+5^{n}} \right )}\)

Rozwiazanie

Podstawiając \(\infty\) za \(n\) dostaniemy w mianowniku symbol nieoznaczony.
\[\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2}{5^{n}\left ( 5^{n}-\sqrt{2+5^{n}} \right )}=
\Big [\displaystyle\frac{2}{\infty \left ( \infty -\infty \right )}\Big ].\]
Musimy zatem tak przekształcić wyraz ogólny ciągu, aby można było, korzystając z odpowiednich twierdzeń, obliczyć granicę ciągu.

Krok 1

Aby przekształcić wzór ogólny ciągu, należy pomnożyć go przez \(1\) w postaci:

\[1=\displaystyle\frac{\left ( 5^{n}+\sqrt{2-5^{n}} \right )}{\left ( 5^{n}+\sqrt{2-5^{n}} \right )}\]

Odpowiedź nieprawidłowa.
Należy tak dobrać jedynkę, aby móc skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\[1=\displaystyle\frac{\left ( \sqrt{5^{n}}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}{\left (\sqrt{5^{n}}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}\]

Odpowiedź nieprawidłowa.
Należy tak dobrać jedynkę, aby móc skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\[1=\displaystyle\frac{\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}{\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}\]

Odpowiedź prawidłowa

Krok 2

Po wymnożeniu wyrazu ogólnego ciągu przez \(1=\displaystyle\frac{\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}{\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}\) otrzymamy:

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}{5^{3n}-2\cdot 5^{n}-5^{2n}}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}{5^{3n}-2\cdot 5^{n}+5^{2n}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa. Możesz sprawdzić metodę obliczania podanej granicy rozwijając poniższą treść.

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}{-2\cdot 5^{n}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa. Możesz sprawdzić metodę obliczania podanej granicy rozwijając poniższą treść.

Jak obliczyć podaną granicę?

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2}{5^{n}\left ( 5^{n}-\sqrt{2+5^{n}} \right )} \cdot \displaystyle\frac{\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}{\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}=\\
\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}{5^{n}\left ( 5^{2n}-(2+5^{n}) \right )}=
\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}{5^{n}\left ( 5^{2n}-2-5^{n} \right )}=
\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}{5^{3n}-2\cdot 5^{n}-5^{2n}}\]

Krok 3

Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez najwyższą potęgę mianownika oraz korzystamy z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów. Wybierz prawidłową odpowiedź.

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}{5^{3n}-2\cdot 5^{n}-5^{2n}}=2\]

Odpowiedź nieprawidłowa. Możesz sprawdzić metodę obliczania podanej granicy rozwijając poniższą treść.

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}{5^{3n}-2\cdot 5^{n}-5^{2n}}=0\]

Odpowiedź prawidłowa

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}{5^{3n}-2\cdot 5^{n}-5^{2n}}=-2\]

Odpowiedź nieprawidłowa. Możesz sprawdzić metodę obliczania podanej granicy rozwijając poniższą treść.

Jak obliczyć podaną granicę?

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2\left ( 5^{n}+\sqrt{2+5^{n}} \right )}{5^{3n}-2\cdot 5^{n}-5^{2n}}=
\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2\left ( {\Large\frac{5^{n}}{5^{3n}}+\sqrt{\frac{2}{5^{6n}}+\frac{5^{n}}{5^{6n}}}} \right )}
{1-{\Large\frac{2\cdot 5^{n}}{5^{3n}}-\frac{5^{2n}}{5^{3n}}}}=
\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2\left ( {\Large\cancelto{0}{\frac{5^{n}}{5^{3n}}}+\sqrt{\cancelto{0}{\frac{2}{5^{6n}}}+\cancelto{0}{\frac{5^{n}}{5^{6n}}}} }\right )}
{1-{\Large\cancelto{0}{\frac{2\cdot 5^{n}}{5^{3n}}}-\cancelto{0}{\frac{5^{2n}}{5^{3n}}}}}=\frac{0}{1}=0\]

Krok 4 - Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2}{5^{n}\left ( 5^{n}-\sqrt{2+5^{n}} \right )}=0\)

Dla zainteresowanych .

Wszystkie kroki z zadania 4.2.2.5 zostały wykonane prawidłowo.

Zadanie 4.2.1

Polecenie

Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów, wyznacz granice ciągów.

Granica 1

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{3n^{2}+6}-3n}{\sqrt{3n^{2}+1}-3n}\)

Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{3n^{2}+6}-3n}{\sqrt{3n^{2}+1}-3n}=1\)

Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{3n^{2}+6}-3n}{\sqrt{3n^{2}+1}-3n}=\\
\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{3n^{2}+6}-3n}{\sqrt{3n^{2}+1}-3n}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3n^{2}+1}+3n}{\sqrt{3n^{2}+1}+3n} =\\
\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{\left (\sqrt{3n^{2}+6}-3n \right )\left ( \sqrt{3n^{2}+1}+3n \right )}{3n^{2}+1-9n^{2}}=\\
\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{9n^{4}+18n^{2}+3n^{2}+6}+3n\sqrt{3n^{2}+6}-3n\sqrt{3n^{2}+1}-9n^{2}}{-6n^{2}+1}=\\
\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{9n^{4}+21n^{2}+6}+\sqrt{9n^{2}\left (3n^{2}+6 \right )}-\sqrt{9n^{2}\left (3n^{2}+1 \right )}-9n^{2}}{-6n^{2}+1}=\\
\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{9n^{4}+21n^{2}+6}+\sqrt{27n^{4}+54n^{2}}-\sqrt{27n^{4}+9n^{2}}-9n^{2}}{-6n^{2}+1}=\\
\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{9+\displaystyle\frac{21}{n^{2}}+\displaystyle\frac{6}{n^{4}}}+\sqrt{27+\displaystyle\frac{54}{n^{2}}}-\sqrt{27+\displaystyle\frac{9}{n^{2}}}-9}{-6+\displaystyle\frac{1}{n^{2}}}=\\
\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{9+\cancelto{0}{\displaystyle\frac{21}{n^{2}}}+\cancelto{0}{\displaystyle\frac{6}{n^{4}}}}+\sqrt{27+\cancelto{0}{\displaystyle\frac{54}{n^{2}}}}-\sqrt{27+\cancelto{0}{\displaystyle\frac{9}{n^{2}}}}-9}{-6+\cancelto{0}{\displaystyle\frac{1}{n^{2}}}}=\\
\displaystyle\frac{\sqrt{9}+\cancel{\sqrt{27}}-\cancel{\sqrt{27}}-9}{-6}=
\displaystyle\frac{3-9}{-6}=1
\end{array}\]

Granica 2

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}2n\left (\sqrt{25n^{2}+3}-5n \right )\)

Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}2n\left (\sqrt{25n^{2}+3}-5n \right )=\displaystyle\frac{3}{5}\)

Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n\to\infty}2n\left (\sqrt{25n^{2}+3}-5n \right )=\\
=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{2n\left (\sqrt{25n^{2}+3}-5n \right )\left (\sqrt{25n^{2}+3}+5n \right )}{\sqrt{25n^{2}+3}+5n}=\\
=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{2n\left (25n^{2}+3-25n^{2} \right )}{\sqrt{25n^{2}+3}+5n}=\\
=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{2n\left (\cancel{25n^{2}}+3\cancel{-25n^{2}} \right )}{\sqrt{25n^{2}+3}+5n}=\\
=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{6n}{\sqrt{25n^{2}+3}+5n}=\\
=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{6}{\sqrt{25+\displaystyle\frac{3}{n^{2}}}+5}=\\
=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{6}{\sqrt{25+\cancelto{0}{\displaystyle\frac{3}{n^{2}}}}+5}=\\
=\displaystyle\frac{6}{\sqrt{25}+5}=\displaystyle\frac{6}{10}=\displaystyle\frac{3}{5}
\end{array}\]

Granica 3

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{8}+\cdots }{n^{2}-7}\)

Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{8}+\cdots }{n^{2}-7}=0\)

Rozwiązanie

\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{8}+\cdots }{n^{2}-7}=\cdots\]
Korzystamy ze wzoru na sumę .

Ciąg sum częściowych \((S_{n})\) ciągu geometrycznego jest zbieżny i ma granicę \(S,\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(|q| \lt 1\) lub \(a_{1} = 0\) i wówczas
\[S= \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{n}=
\begin{cases}
0,& a_{1}=0\\ \\
\displaystyle\frac{a_{1}}{1-q},& \textrm{ gdy } |q|\lt 1\\ \\
\end{cases}.\]

Suma zbieżnego, nieskończonego ciągu geometrycznego \(1+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{8}+\cdots .\)
Ponieważ \(a_{1}=1, \ \ a_{2}=\displaystyle\frac{1}{2}, \ \ a_{3}=\displaystyle\frac{1}{4}, \ \ a_{4}=\displaystyle\frac{1}{8}\cdots,\) zatem w ciągu geometrycznym mamy \(a_{1}=1, \ \ q=\displaystyle\frac{1}{2}.\)
Suma będzie wynosić \(S=\displaystyle\frac{a_{1}}{1-q}=\displaystyle\frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{2}}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{2}}=2.\)
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{8}+\cdots }{n^{2}-7}=\\
=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{2}{n^{2}-7}=
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{n^{2}}}{1-\displaystyle\frac{7}{n^{2}}}=\\
=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\cancelto{0}{\displaystyle\frac{2}{n^{2}}}}{1-\cancelto{0}{\displaystyle\frac{7}{n^{2}}}}= \displaystyle\frac{0}{1}=0.
\end{array}\]

Zadanie 4.2.3