Zadanie 4.2.4
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 4. Ciągi
  3. 4.2 Granica właściwa ciągu
  4. Zadanie 4.2.4

 Polecenie

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znajdź granice ciągów.

 Wskazówki

Twierdzenie o trzech ciągach

Jeżeli ciągi \(a_{n},\ \  b_{n},\ \  c_{n}\) spełniają warunki:

  1. \(a_{n}\leq  b_{n}\leq  c_{n},\) dla każdego  \(n\geq n_{0},\)

  2. \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}=b,\)
wówczas \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=b.\)
Rysunek 4.2.4.2
Ilustracja twierdzenia o trzech ciągach

 Ciąg 1

\(b_{n}=\sqrt[n+2]{7^{n}+5^{n}}\)

 Rozwiązanie

Aby skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach, należy tak oszacować ciąg \((b_{n}),\) aby z obu stron dostać ciągi mające te same granice.
Czasem widać "na oko" jakie to ciągi, czasem trzeba poszukać metodą "prób i błędów." Jest kilka metod używanych najczęściej, dlatego warto je zapamiętać.
Szukamy ciągów \((a_{n})\) oraz \((c_{n}).\)
\[\underbrace{\sqrt[n+2]{7^{n}}}_{\Large=a_{n}}=\sqrt[n+2]{7^{n}}=\sqrt[n+2]{7^{n}+0} \leq \underbrace{\sqrt[n+2]{7^{n}+5^{n}}}_{\Large =b_{n}}  \leq \sqrt[n+2]{7^{n}+7^{n}}=\underbrace{\sqrt[n+2]{2\cdot 7^{n}}}_{\Large =c_{n}}\]
  • Z lewej strony, jeśli pozbywamy się mniejszego składnika sumy pod pierwiastkiem, zmniejszając jednocześnie wyrazy ciągu.
  • Z prawej strony zastępujemy mniejszy składnik sumy większym, przez co zwiększamy wyrazy ciągu.
Liczymy granice:
Z jednej strony
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n+2]{7^{n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }7\ ^{{\Large\frac{n}{n+2}}}=7\ ^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}{\Large\frac{1}{1+\frac{2}{n}}}}=7^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}{\Large\frac{1}{1+\cancelto{0}{\frac{2}{n}}}}}
=7^{1}=7
\end{array}\]
Z drugiej strony
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n+2]{2\cdot 7^{n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }2^{\frac{1}{n+2}}\cdot 7^{\frac{n}{n+2}}=2^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\frac{1}{n+2}}\cdot 7^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\frac{n}{n+2}}=\\
2\ ^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}}\cdot 7\ ^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\frac{1}{1+\frac{2}{n}}}=
2^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\frac{\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{1+\cancelto{0}{\frac{2}{n}}}}\cdot 7^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\frac{1}{1+\cancelto{0}{\frac{2}{n}}}}=2^{0}\cdot 7^{1}=7
\end{array}\]
Ponieważ
\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}=b=7,\]
zatem
\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n+2]{7^{n}+5^{n}}=7.\]

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n+2]{7^{n}+5^{n}}=7\)

 Ciąg 2

\(b_{n}={\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+1}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+2}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+3}}+\cdots+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+n}}}\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Aby wyznaczyć granicę ciągu \(b_{n}={\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+1}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+2}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+3}}+\cdots+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+n}}}\) skorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach.
Podpowiedź
Użyj oszacowania używając największego i najmniejszego składnika sumy stanowiącej \(n\)-ty wyraz \(b_{n}.\)
W sumie
\[\underbrace{{\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+1}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+2}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+3}}+\cdots+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+n}}}}_{n - \textrm{ składników }}\]
  • najmniejszym składnikiem jest \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+n}},\)

  • największym składnikiem jest \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+1}}.\)

Ponieważ ciąg \(b_{n}\) składa się z \(n\) - składników, więc będzie zawsze większy od sumy \(n\) - najmniejszych składników oraz mniejszy od sumy \(n\) - największych składników.
Musimy tak oszacować z obu stron ciąg \((b_{n}),\) aby szacowane ciągi miały tę samą granicę. Spróbuj najpierw oszacować "z dołu", czyli znaleźć taki ciąg \((c_{n}),\) który spełnia warunek \[c_{n} \leq b_{n}.\] Zatem ciąg \((c_{n})\) jest równy:

\[\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+1}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\frac{2\cdot 5}{\sqrt{2n^{2}+n}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+n}}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[\frac{2\cdot 5}{\sqrt{2n^{2}+1}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 2

Mając oszacowanie z dołu, szukamy oszacowania z góry, przez ciąg \(a_{n}:\)
\[\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+n}}\leq  b_{n}\leq a_{n}.\] Wybierz właściwą odpowiedź.

\[\frac{2\cdot 5}{\sqrt{2n^{2}+1}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+1}}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[\frac{2\cdot 5}{\sqrt{2n^{2}+n}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+n}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 3

Mając już obustronne oszacowanie, musimy obliczyć granice ciągów \((c_{n})\) i \((a_{n}).\)

\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{\sqrt{2+\frac{1}{n}}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{\sqrt{2+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+1}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{\sqrt{2+\frac{1}{n^{2}}}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{\sqrt{2+\cancelto{0}{\frac{1}{n^{2}}}}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

 Krok 4

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach mamy:
\[c_{n}=\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+n}}\leq  b_{n}\leq \frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+1}}=a_{n}\]
oraz
\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+n}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+1}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.\]
Możemy zatem wnioskować, że
\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\Big (\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+1}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+2}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+3}}+\cdots+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+n}}\Big )}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.\]

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\Big (\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+1}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+2}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+3}}+\cdots+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+n}}\Big )}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)

 Polecenie

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znajdź granice ciągów.

 Ciąg 1

\(b_{n}=\displaystyle\frac{5n-\sin^{2}n}{10n+1}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n-\sin^{2}n}{10n+1}=\frac{1}{2}}.\)

 Rozwiązanie

Szacujemy ciąg korzystając z własności funkcji sinus \(-1\leq \sin n \leq 1,\) zatem   \(0 \leq \sin^{2}n \leq 1:\)
\[{c_{n}=\displaystyle\frac{5n-0}{10n+1}\leq \frac{5n-\sin^{2}n}{10n+1} \leq \frac{5n-1}{10n+1}=a_{n}}\]
Liczymy granice ciągów \((c_{n})\) oraz \((a_{n}).\)
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{5n-0}{10n+1}}=\lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{5n}{10n+1}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{10+\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{10+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}=\frac{5}{10+0}=\frac{1}{2}}\\
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{5n-1}{10n+1}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5-\frac{1}{n}}{10+\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5-\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{10+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}=\frac{5-0}{10+0}=\frac{1}{2}
\end{array}\]
Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że
\[{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}b_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n-\sin^{2}n}{10n+1}=\frac{1}{2}}.\]

 Ciąg 2

\(b_{n}=\displaystyle\frac{\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+1 \right )}{n}\)

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+1 \right )}{n}=2\)

 Rozwiązanie

Aby wyznaczyć granicę ciągu \(b_{n}=\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+1 \right ),\) należy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.
Szacujemy ciąg, korzystając z własności funkcji \(f(x)=\log_{3}x.\) Logarytm ma podstawę \(3,\) jest to funkcja rosnąca, zatem \( n_{1}\gt n_{2}\ \ \Rightarrow \ \ \log_{3}n_{1}\gt \log_{3}n_{2},\) dla każdego \(n\in \mathbb{N}.\)
Szacując ciąg z dołu zmniejszamy argument logarytmu \(\left ( 3^{2n+3}+1 \right )\gt  3^{2n+3} \), zatem zmniejszamy wartość logarytmu \(\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+1 \right )\gt \log_{3}\left ( 3^{2n+3} \right ).\)
Aby oszacować ciąg z góry, zwiększymy argument dopisując zamiast jedynki \(2\cdot 3^{2n+3}.\) (Argument się zwiększy, gdyż \(n\) jest liczbą naturalną.)
Zatem \(\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+1 \right )\lt \log_{3}\left ( 3^{2n+3}+2\cdot 3^{2n+3} \right ).\)
Mamy więc oszacowanie obustronne
\[{\displaystyle\frac{\log_{3} 3^{2n+3}}{n}\lt \frac{\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+1\right )}{n} \lt \frac{\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+2\cdot 3^{2n+3} \right )}{n}}.\]
Liczymy granice ciągów powstałych przez oszacowanie ciągu \((b_{n}).\)
\[ \begin{eqnarray}
&& \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\log_{3} 3^{2n+3}}{n}=
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left ( 2n+3 \right )\log_{3} 3}{n}=\\
&& \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left ( 2n+3 \right )\cdot 1}{n}=
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n+3}{n}=\\
&& \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2+\frac{3}{n}}{1}=
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2+\cancelto{0}{\frac{3}{n}}}{1}=2.
\end{eqnarray}\]
Z drugiej strony
\[ \begin{eqnarray}
&& \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+2\cdot 3^{2n+3} \right )}{n}=
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\log_{3}\left ( 3\cdot 3^{2n+3} \right )}{n}=\\
&& \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\log_{3}3^{2n+4}}{n}=
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left ( 2n+4 \right )\log_{3}3}{n}=\\
&& \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n+4}{n}=
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2+\frac{4}{n}}{1}=\\
&&  \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2+\cancelto{0}{\frac{4}{n}}}{1}=2.
\end{eqnarray}\]
Zatem
\[
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+1 \right )}{n}=2.\]