Zadanie 4.2.4

Zadanie 4.2.4
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znajdź granice ciągów.

Wskazówki

Twierdzenie o trzech ciągach

Jeżeli ciągi

$a_{n},\ \ b_{n},\ \ c_{n}$ spełniają warunki:

$a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n},$ dla każdego $n\geq n_{0},$
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}=b,$

wówczas

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=b.$

Rysunek 4.2.4.2 — Ilustracja twierdzenia o trzech ciągach

Ciąg 1

$b_{n}=\sqrt[n+2]{7^{n}+5^{n}}$

Rozwiązanie

Aby skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach, należy tak oszacować ciąg

$(b_{n}),$ aby z obu stron dostać ciągi mające te same granice.
Czasem widać "na oko" jakie to ciągi, czasem trzeba poszukać metodą "prób i błędów." Jest kilka metod używanych najczęściej, dlatego warto je zapamiętać.
Szukamy ciągów

$(a_{n})$ oraz

$(c_{n}).$

$\underbrace{\sqrt[n+2]{7^{n}}}_{\Large=a_{n}}=\sqrt[n+2]{7^{n}}=\sqrt[n+2]{7^{n}+0} \leq \underbrace{\sqrt[n+2]{7^{n}+5^{n}}}_{\Large =b_{n}} \leq \sqrt[n+2]{7^{n}+7^{n}}=\underbrace{\sqrt[n+2]{2\cdot 7^{n}}}_{\Large =c_{n}}$

Z lewej strony, jeśli pozbywamy się mniejszego składnika sumy pod pierwiastkiem, zmniejszając jednocześnie wyrazy ciągu.
Z prawej strony zastępujemy mniejszy składnik sumy większym, przez co zwiększamy wyrazy ciągu.

Liczymy granice:
Z jednej strony

$\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n+2]{7^{n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }7\ ^{{\Large\frac{n}{n+2}}}=7\ ^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}{\Large\frac{1}{1+\frac{2}{n}}}}=7^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}{\Large\frac{1}{1+\cancelto{0}{\frac{2}{n}}}}} =7^{1}=7 \end{array}$
Z drugiej strony

$\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n+2]{2\cdot 7^{n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }2^{\frac{1}{n+2}}\cdot 7^{\frac{n}{n+2}}=2^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\frac{1}{n+2}}\cdot 7^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\frac{n}{n+2}}=\\ 2\ ^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}}\cdot 7\ ^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\frac{1}{1+\frac{2}{n}}}= 2^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\frac{\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{1+\cancelto{0}{\frac{2}{n}}}}\cdot 7^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}\frac{1}{1+\cancelto{0}{\frac{2}{n}}}}=2^{0}\cdot 7^{1}=7 \end{array}$
Ponieważ

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}=b=7,$
zatem

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n+2]{7^{n}+5^{n}}=7.$

Odpowiedź

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n+2]{7^{n}+5^{n}}=7$

Ciąg 2

$b_{n}={\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+1}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+2}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+3}}+\cdots+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+n}}}$

Rozwiązanie

Krok 1

Aby wyznaczyć granicę ciągu

$b_{n}={\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+1}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+2}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+3}}+\cdots+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+n}}}$ skorzystamy z twierdzenia o trzech ciągach.

Podpowiedź

Użyj oszacowania używając największego i najmniejszego składnika sumy stanowiącej

$n$ -ty wyraz

$b_{n}.$
W sumie

$\underbrace{{\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+1}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+2}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+3}}+\cdots+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+n}}}}_{n - \textrm{ składników }}$

najmniejszym składnikiem jest $\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+n}},$
największym składnikiem jest $\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+1}}.$

Ponieważ ciąg

$b_{n}$ składa się z

$n$ - składników, więc będzie zawsze większy od sumy

$n$ - najmniejszych składników oraz mniejszy od sumy

$n$ - największych składników.

Musimy tak oszacować z obu stron ciąg

$(b_{n}),$ aby szacowane ciągi miały tę samą granicę. Spróbuj najpierw oszacować "z dołu", czyli znaleźć taki ciąg

$(c_{n}),$ który spełnia warunek

$c_{n} \leq b_{n}.$ Zatem ciąg

$(c_{n})$ jest równy:

$\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+1}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\frac{2\cdot 5}{\sqrt{2n^{2}+n}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+n}}$

Odpowiedź prawidłowa

$\frac{2\cdot 5}{\sqrt{2n^{2}+1}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 2

Mając oszacowanie z dołu, szukamy oszacowania z góry, przez ciąg

$a_{n}:$

$\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+n}}\leq b_{n}\leq a_{n}.$ Wybierz właściwą odpowiedź.

$\frac{2\cdot 5}{\sqrt{2n^{2}+1}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+1}}$

Odpowiedź prawidłowa

$\frac{2\cdot 5}{\sqrt{2n^{2}+n}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+n}}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 3

Mając już obustronne oszacowanie, musimy obliczyć granice ciągów

$(c_{n})$ i

$(a_{n}).$

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{\sqrt{2+\frac{1}{n}}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{\sqrt{2+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+1}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{\sqrt{2+\frac{1}{n^{2}}}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{\sqrt{2+\cancelto{0}{\frac{1}{n^{2}}}}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Krok 4

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach mamy:

$c_{n}=\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+n}}\leq b_{n}\leq \frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+1}}=a_{n}$
oraz

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+n}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n}{\sqrt{2n^{2}+1}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$
Możemy zatem wnioskować, że

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\Big (\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+1}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+2}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+3}}+\cdots+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+n}}\Big )}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

Odpowiedź

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }{\Big (\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+1}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+2}}+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+3}}+\cdots+\frac{5}{\sqrt{2n^{2}+n}}\Big )}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Zadanie 4.2.3

Polecenie

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znajdź granice ciągów.

Ciąg 1

$b_{n}=\displaystyle\frac{5n-\sin^{2}n}{10n+1}$

Odpowiedź

${\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n-\sin^{2}n}{10n+1}=\frac{1}{2}}.$

Rozwiązanie

Szacujemy ciąg korzystając z własności funkcji sinus

$-1\leq \sin n \leq 1,$ zatem

$0 \leq \sin^{2}n \leq 1:$

${c_{n}=\displaystyle\frac{5n-0}{10n+1}\leq \frac{5n-\sin^{2}n}{10n+1} \leq \frac{5n-1}{10n+1}=a_{n}}$
Liczymy granice ciągów

$(c_{n})$ oraz

$(a_{n}).$

$\begin{array}{l} {\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }c_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{5n-0}{10n+1}}=\lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{5n}{10n+1}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{10+\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{10+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}=\frac{5}{10+0}=\frac{1}{2}}\\ \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{5n-1}{10n+1}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5-\frac{1}{n}}{10+\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5-\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{10+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}=\frac{5-0}{10+0}=\frac{1}{2} \end{array}$
Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że

${\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}b_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5n-\sin^{2}n}{10n+1}=\frac{1}{2}}.$

Ciąg 2

$b_{n}=\displaystyle\frac{\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+1 \right )}{n}$

Odpowiedź

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+1 \right )}{n}=2$

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć granicę ciągu

$b_{n}=\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+1 \right ),$ należy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.
Szacujemy ciąg, korzystając z własności funkcji

$f(x)=\log_{3}x.$ Logarytm ma podstawę

$3,$ jest to funkcja rosnąca, zatem

$n_{1}\gt n_{2}\ \ \Rightarrow \ \ \log_{3}n_{1}\gt \log_{3}n_{2},$ dla każdego

$n\in \mathbb{N}.$
Szacując ciąg z dołu zmniejszamy argument logarytmu

$\left ( 3^{2n+3}+1 \right )\gt 3^{2n+3}$ , zatem zmniejszamy wartość logarytmu

$\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+1 \right )\gt \log_{3}\left ( 3^{2n+3} \right ).$
Aby oszacować ciąg z góry, zwiększymy argument dopisując zamiast jedynki

$2\cdot 3^{2n+3}.$ (Argument się zwiększy, gdyż

$n$ jest liczbą naturalną.)
Zatem

$\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+1 \right )\lt \log_{3}\left ( 3^{2n+3}+2\cdot 3^{2n+3} \right ).$
Mamy więc oszacowanie obustronne

${\displaystyle\frac{\log_{3} 3^{2n+3}}{n}\lt \frac{\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+1\right )}{n} \lt \frac{\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+2\cdot 3^{2n+3} \right )}{n}}.$
Liczymy granice ciągów powstałych przez oszacowanie ciągu

$(b_{n}).$

$\begin{eqnarray} && \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\log_{3} 3^{2n+3}}{n}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left ( 2n+3 \right )\log_{3} 3}{n}=\\ && \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left ( 2n+3 \right )\cdot 1}{n}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n+3}{n}=\\ && \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2+\frac{3}{n}}{1}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2+\cancelto{0}{\frac{3}{n}}}{1}=2. \end{eqnarray}$
Z drugiej strony

$\begin{eqnarray} && \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+2\cdot 3^{2n+3} \right )}{n}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\log_{3}\left ( 3\cdot 3^{2n+3} \right )}{n}=\\ && \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\log_{3}3^{2n+4}}{n}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left ( 2n+4 \right )\log_{3}3}{n}=\\ && \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n+4}{n}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2+\frac{4}{n}}{1}=\\ && \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2+\cancelto{0}{\frac{4}{n}}}{1}=2. \end{eqnarray}$
Zatem

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\log_{3}\left ( 3^{2n+3}+1 \right )}{n}=2.$

Zadanie 4.2.5

1. Logika

2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

3. Funkcje

4. Ciągi

5. Granice. Ciągłość funkcji

6. Pochodne

7. Badanie przebiegu zmienności funkcji

8. Całka nieoznaczona

9. Całka oznaczona

10. Zastosowanie całek

Ankieta

Polecenie

Wskazówki

Twierdzenie o trzech ciągach

Ciąg 1

Rozwiązanie

Odpowiedź

Ciąg 2

Rozwiązanie

Krok 1

Krok 2

Krok 3

Krok 4

Odpowiedź

Polecenie

Ciąg 1

Odpowiedź

Rozwiązanie

Ciąg 2

Odpowiedź

Rozwiązanie