Zadanie 4.2.5
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 4. Ciągi
  3. 4.2 Granica właściwa ciągu
  4. Zadanie 4.2.5

 Polecenie

Liczba przekątnych w wielokącie wypukłym o \(n\) - bokach (\(n\geq 3\),) jest opisana wzorem \[T_{n}=\frac{n\left ( n-3 \right )}{2}.\]

Przykład

W sześciokącie ilość przekątnych wynosi \(T_{6}=\displaystyle\frac{6(6-3)}{2}=9.\)

1. Oblicz liczbę przekątnych w 16 - kącie wypukłym.

 Rozwiązanie

Aby obliczyć liczbę przekątnych w 16 - kącie wypukłym, należy podstawić do wzoru na ilość przekątnych w wielokącie wypukłym podstawić za \(n=16.\)
Jest to równoznaczne z obliczeniem 16 - tego wyrazu ciągu  \(T_{n}=\displaystyle\frac{n\left ( n-3 \right )}{2}.\)
Zatem
\[T_{16}=\frac{16\left ( 16-3 \right )}{2}=8\cdot 13=104.\]

 Odpowiedź

W 16 - kącie wypukłym są 104 przekątne.
2. Oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest 10 - krotnie większa od liczby jego boków.

 Rozwiązanie

Aby obliczyć ile boków ma wielokąt wypukły, który posiada 10 - krotnie większą liczbę przekątnych aniżeli boków, wystarczy ułożyć równanie:
  • z jednej strony liczba przekątnych w n- kącie wypukłym to \(\displaystyle\frac{n\left ( n-3 \right )}{2},\)
  • z drugiej strony ilość boków w n- kącie wypukłym to \(n.\)

Zatem aby ułożyć równanie, należy przez 10 pomnożyć liczbę boków, wówczas liczby te będą równe \[\frac{n\left ( n-3 \right )}{2}=10n.\]
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{n\left ( n-3 \right )}{2}=10n\\
n^{2}-3n=20n\\
n^{2}-23n=0\\
n(n-23)=0\\
n=0 \ \vee \ n=23
\end{array}\]
Pierwsze rozwiązanie odrzucamy, gdyż nie należy do dziedziny \((n\geq 3),\) więc \(n=23.\)

 Odpowiedź

W 23- kącie wypukłym liczba przekątnych jest 10 - krotnie większa od liczby boków.
3. Oblicz granicę ciągu \(a_{n}=\sin \displaystyle\frac{T_{n}\cdot \pi }{n^{2}}.\)

 Rozwiązanie

Tworzymy ciąg \(a_{n}.\)
\[a_{n}=\sin \frac{T_{n}\cdot \pi }{n^{2}}=\sin \frac{{\Large\frac{n(n-3)}{2}}\pi }{n^{2}}=\sin \frac{(n^{2}-3n)\cdot \pi }{2n^{2}}.\]
Liczymy granicę ciągu \((a_{n}).\)
\[ \begin{eqnarray}
&& \lim_{n\rightarrow \infty }\sin \frac{(n^{2}-3n)\cdot \pi }{2n^{2}}=\\
&& \lim_{n\rightarrow \infty }\sin \frac{(1-\frac{3}{n})\cdot \pi }{2}=\\
&& \lim_{n\rightarrow \infty }\sin \frac{(1-\cancelto{0}{\frac{3}{n}})\cdot \pi }{2}=\\
&& \sin \frac{\pi }{2}=1.
\end{eqnarray}\]

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=1\)

 Polecenie

Miara kąta wewnętrznego w wielokącie foremnym o \(n\) - bokach wyraża się wzorem \[\alpha _{n}=\frac{\left ( n-2 \right )\cdot \pi }{n}, \textrm{ dla } n\geq 3.\]

Przykład

W sześciokącie foremnym miara kąta wewnętrznego wynosi \[\alpha _{6}=\frac{\left ( 6-2 \right )\cdot \pi }{6}=\frac{2\cdot 180^{\circ}}{3}=120^{\circ}.\]

1. Oblicz granicę ciągu \((\alpha _{n}),\) dla \( n\rightarrow \infty .\)

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}=\pi\)

 Rozwiązanie

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left ( n-2 \right )\cdot \pi }{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left ( 1-\frac{2}{n} \right )\cdot \pi }{1}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left ( 1-\cancelto{0}{\frac{2}{n}} \right )\cdot \pi }{1}=\frac{\pi}{1}=\pi\]
Na animacji można zaobserwować, że miara kąta wewnętrznego w \(n\) - kącie foremnym zbiega do \(\pi,\) czyli obrazowo - kąt wewnętrzny staje się coraz bardziej rozwarty.
2. Oblicz dla jakich \(n\) - kątów foremnych miara kąta wewnętrznego mieści się w przedziale \(\displaystyle\left \langle \frac{5\pi}{6};\frac{8\pi}{9} \right \rangle.\)

 Odpowiedź

Dla \(n\in \left \{ 12,13,14,15,16,17,18 \right \}\) miara kąta wewnętrznego mieści się w przedziale \(\displaystyle\left \langle \frac{5\pi}{6};\frac{8\pi}{9} \right \rangle.\)

 Rozwiązanie

Wystarczy stworzyć i rozwiązać nierówność \[\frac{5\pi}{6}\leq \alpha _{n}\leq \frac{8\pi}{9}.\]
Zatem
\[ \begin{eqnarray}
&& \frac{5\pi}{6}\leq \frac{\left ( n-2 \right )\cdot \pi }{n}\leq \frac{8\pi}{9}\\
&& \frac{\left ( n-2 \right )\cdot \pi }{n}\geq \frac{5\pi}{6} \ \ \wedge \ \ \frac{\left ( n-2 \right )\cdot \pi }{n}\leq \frac{8\pi}{8} \ \ /:\pi\\
&& \frac{n-2}{n}\geq \frac{5}{6} \ \ \wedge \ \ \frac{n-2}{n}\leq \frac{8}{9} \\
&& \frac{6\left (n-2  \right )-5n}{6n}\geq 0\ \ \wedge \ \ \frac{9\left (n-2  \right )-8n}{9n}\leq 0\\
&& \frac{6\left (n-2  \right )-5n}{6n}\geq 0\ \ \wedge \ \ \frac{9\left (n-2  \right )-8n}{9n}\leq 0\\
&& \frac{6n-5n-12}{6n}\geq 0\ \ \wedge \ \ \frac{9n-8n-18}{9n}\leq 0\\
&& \frac{n-12}{6n}\geq 0\ \ \wedge \ \ \frac{n-18}{9n}\leq 0\\
&& 6n \left (n-12  \right )\geq 0\ \ \wedge \ \ 9n\left (n-18  \right )\leq 0\\
&& n=0 \ \vee \ n=12 \ \ \ \wedge \ \ \ \ n=0 \ \vee \ n=18
\end{eqnarray}\]
Rysunek 4.2.5.1
Rysunek 4.2.5.2

Ponieważ interesują nas tylko \(n\geq 3,\)
\[n\in \left \langle 12;\infty   \right ) \ \ \ \wedge \ \ \ n\in \left  \langle  3;18  \right \rangle\]
Zatem  \[n\in \left \langle 12;18 \right \rangle.\]
Czyli \[n\in \left \{ 12,13,14,15,16,17,18 \right \}.\]